Quadrado da soma

\( (a + b)^2 = (a + b) \cdot (a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)

Exemplos:

• a) (3 + x)\(^2\) = 3\(^2\) + 2 ∙ a ∙ b + b\(^2\)
• b) (4a + 2b)\(^2\) = (4a)\(^2\) + 2 ∙ (4a) ∙ (2b) + (2b)\(^2\) = 4\(^2\)a\(^2\) + 16ab + 2\(^2\)b\(^2\) = 16a\(^2\) + 16ab + 4b\(^2\)
• c) \( \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)^2 \) = 1\(^2\) + 2 ∙ 1 ∙ \(\dfrac{1}{x}\) + \( \left( \dfrac{1}{x} \right)^2 \) = 1 + \(\dfrac{2}{x}\) + \(\dfrac{1^2}{x^2}\) = 1 + \(\dfrac{2}{x}\) + \(\dfrac{1}{x^2}\)

Voltar Entendi

Quadrado da diferença

\( (a - b)^2 = (a - b) \cdot (a - b) = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)

Exemplos:

• a) (x - 4)\(^2\) = x\(^2\) - 2 ∙ x ∙ 4 + 4\(^2\) = x\(^2\) - 8x + 16
• b) (2x - 3y)\(^2\) = (2x)\(^2\) - 2 ∙ (2x) ∙ (3y) + (3y)\(^2\) = 2\(^2\)x\(^2\) - 12xy + 3\(^2\)y\(^2\) = 4x\(^2\) - 12xy + 9y\(^2\)
• c) \( \left( 1 - \dfrac{a}{2} \right)^2 \) = 1\(^2\) - 2 ∙ 1 ∙ \(\dfrac{a}{2}\) + \( \left( \dfrac{a}{2} \right)^2 \) = 1 - a + \(\dfrac{a^2}{2^2}\) = 1 - a + \(\dfrac{a^2}{4}\)

Voltar Entendi

Produto da soma pela diferença

\( (a + b) \cdot (a – b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 – b^2 \)

Exemplos:

• a) (x + 5)(x - 5) = x\(^2\) - 5\(^2\) = x\(^2\) - 25
• b) (2x - 3)(2x + 3) = (2x)\(^2\) - 3\(^2\) = 2\(^2\)x\(^2\) - 9 = 4x\(^2\) - 9

Voltar Entendi

Cubo da soma

\( (a + b)^3 = (a + b) \cdot (a + b) \cdot (a + b) = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \)

Exemplo:

• (2x + 1)\(^3\) = (2x)\(^3\) + 3 ∙ (2x)\(^2\) ∙ (1) + 3 ∙ (2x) ∙ 1\(^2\) + 1\(^3\) = 8x\(^3\) + 12x\(^2\) + 6x + 1

Voltar Entendi

Cubo da diferença

\( (a - b)^3 = (a - b) \cdot (a - b) \cdot (a - b) = a^3 - 3a^2 b + 3a b^2 - b^3 \)

Exemplo:

• (x - 3)\(^3\) = x\(^3\) - 3 ∙ x\(^2\) ∙ 3 + 3 ∙ x ∙ 3\(^2\) - 3\(^3\) = x\(^3\) - 9x\(^2\) + 27x - 27

Voltar Entendi

A tabela abaixo apresenta os produtos notáveis vistos anteriormente.

Voltar Entendi

Existem outras regras para produtos notáveis, mas que não precisam ser decoradas.

Exemplo:

Para desenvolver (a + b + c)\(^2\), basta aplicar a propriedade distributiva:

(a + b + c)\(^2\) = (a + b + c) ∙ (a + b + c) = a\(^2\) + ab + ac + ba + b\(^2\) + bc + ca + cb + c\(^2\) = a\(^2\) + b\(^2\) + c\(^2\) + 2ab + 2ac + 2bc

Voltar Entendi

Desenvolver

• a) (2x + 1)\(^2\)
• b) \((x + \sqrt{x})^2\)
• c) \(\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2\)

Solução

a) (2x + 1)\(^2\) = (2x)\(^2\) + 2(2x)(1) + (1)\(^2\) = 4x\(^2\) + 4x + 1

b) \((x + \sqrt{x})^2\) = (x)\(^2\) + 2(x)(\(\sqrt{x}\)) + (\(\sqrt{x}^2\)) = x\(^2\) + 2x\(\sqrt{x}\) + x

c) \(\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2\) = (x)\(^2\) + 2(x)\(\left(\dfrac{1}{x}\right)\) + \(\left(\dfrac{1}{x}\right)^2\) = x\(^2\) + 2 + \(\dfrac{1}{x^2}\)

Voltar Entendi

Se \(a + \dfrac{1}{a}\) = b, determine \(a^2 + \dfrac{1}{a^2}\) em função de b.

Solução

Elevando ambos os membros da igualdade \(a + \dfrac{1}{a}\) = b ao quadrado:

\(\left(a + \dfrac{1}{a}\right)\) = b\(^2\) ⇔ \(a^2 + 2 \cdot a \cdot \dfrac{1}{a} + \left(\dfrac{1}{a}\right)^2\) = b\(^2\)

\(a^2 + 2 + \dfrac{1}{a^2}\) = b\(^2\) ⇔ \(a^2 + \dfrac{1}{a^2}\) = b\(^2\) - 2

Voltar Entendi