Dados um número real a e um número natural n > 1, chama-se potência enésima de \( a \), e indica-se por \( a^n \), o produto de n fatores iguais a \( a \).
\( a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{\mbox{n fatores}} \)
onde \( a \) é a base e n o expoente.
Por definição:
Exemplos:
Observações:
a) (-a)\(^n\) ≠ -a\(^n\)
Exemplo:
b) Toda potência de expoente par é positiva. Exemplo: 2\(^4\) = 16 e (-2)\(^4\) = 16.
A partir de agora iremos conhecer as propriedades operatórias da potenciação.
Produto de potências de mesma base
Considere, por exemplo, o produto 3\(^2\) ∙ 3\(^4\).
3\(^2\) ∙ 3\(^4\) = \( \underbrace{3 \cdot 3}_{3^2} \) ∙ \( \underbrace{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}_{3^4} \) = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 3\(^6\)
Logo, 3\(^2\) ∙ 3\(^4\) = 3\(^6\). Note que basta conservar a base e somar os expoentes.
Portanto:
\( a^m \cdot a^n = a^{m + n} \)
Divisão de potências de mesma base
Considere, por exemplo, a divisão \(\dfrac{6^5}{6^3}\).
\(\dfrac{6^5}{6^3}\) = \(\dfrac{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6}{6 \cdot 6 \cdot 6}\) = 6\(^2\)
Logo, \(\dfrac{6^5}{6^3}\) = 6\(^2\). Note que basta conservar a base e subtrair os expoentes.
Portanto:
\( \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
Com essa propriedade, demonstra-se o motivo pelo qual todo número elevado a zero é igual a 1. Por exemplo:
\(\dfrac{7^9}{7^9}\) = 7\(^{9-9}\) = 7\(^0\). Pela propriedade, conserva-se a base e subtrai os expoentes.
\(\dfrac{7^9}{7^9}\) = 1, pois o numerador e o denominador são iguais.
Note a igualdade 7\(^0\) = 1.
Com essa propriedade, demonstra-se, também, a questão sobre os expoentes negativos. Por exemplo:
\(\dfrac{2^2}{2^3}\) = 2\(^{2 - 3}\) = 2\(^{-1}\). Pela propriedade, conserva-se a base e subtrai os expoentes.
\(\dfrac{2^2}{2^3}\) = \(\dfrac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2}\) = \(\dfrac{1}{2}\).
Note a igualdade 2\(^{-1}\) = \(\dfrac{1}{2}\).
Potência de potência
Considere, por exemplo, \( (5^2)^3 \).
\( (5^2)^3 \) = \(5^2\) ∙ \(5^2\) ∙ \(5^2\) = (5 ∙ 5) ∙ (5 ∙ 5) ∙ (5 ∙ 5) = 5\(^6\)
Logo, \( (5^2)^3 \) = 5\(^6\). Note que basta conservar a base e multiplicar os expoentes.
Portanto:
\( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
Potência de um produto
Considere, por exemplo, \( (3 \cdot 5)^2 \).
\( (3 \cdot 5)^2 \) = \( 15^2 \) = 225
\( 3^2 \cdot 5^2 \) = 9 ∙ 25 = 225
Logo, \( (3 \cdot 5)^2 \) = \( 3^2 \cdot 5^2 \).
Portanto:
\( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \)
Potência de um quociente
\( \left( \dfrac{a}{b} \right)^n = \dfrac{a^n}{b^n} \)
Potência de base fracionária e expoente negativo
\( \left( \dfrac{a}{b} \right)^{-n} = \left( \dfrac{b}{a} \right)^n \)
Classifique em verdadeira ou falsa.
a) 2\(^3\) ∙ 2\(^8\) = 2\(^{24}\)
2\(^3\) ∙ 2\(^8\) = 2\(^{3 + 8}\) = 2\(^{11}\). Falsa
b) \(\dfrac{3^{10}}{3^2}\) = 3\(^5\)
\(\dfrac{3^{10}}{3^2}\) = 3\(^{10 - 2}\) = 3\(^8\). Falsa
c) \( (3^3)^4 \) = \( 3^{3^4} \)
\( (3^3)^4 \) = \( 3^{3 \cdot 4} \) = 3\(^{12} \)
\( 3^{3^4} \) = 3\(^{81}\)
3\(^{12}\) ≠ 3\(^{81}\). Falsa
d) (3 + 5)\(^2\) = 3\(^2\) + 5\(^2\) = 9 + 25 = 34
(3 + 5)\(^2\) = 8\(^2\) = 64. Falsa
e) \(\left( -\dfrac{4}{3} \right)^{-1}\) = \( -\dfrac{3}{4} \)
\(\left( -\dfrac{4}{3} \right)^{-1}\) = \(\left( -\dfrac{3}{4} \right)^{1}\) = \( -\dfrac{3}{4} \). Verdadeira
Qual é o valor da expressão x = \(\dfrac{(a \cdot b)^5 \cdot (a \cdot c)^4}{(a \cdot b \cdot c)^2}\)?
\(\dfrac{(a \cdot b)^5 \cdot (a \cdot c)^4}{(a \cdot b \cdot c)^2}\) = \(\dfrac{a^5 \cdot b^5 \cdot a^4 \cdot c^4}{a^2 \cdot b^2 \cdot c^2}\) =
= \(\dfrac{a^{5 + 4} \cdot b^5 \cdot c^4}{a^2 \cdot b^2 \cdot c^2}\) = \( \dfrac{a^9 \cdot b^5 \cdot c^4}{a^2 \cdot b^2 \cdot c^2}\) =
= a\(^{9 - 2}\) ∙ b\(^{5 - 2}\) ∙ c\(^{4 - 2}\) = a\(^7\) ∙ b\(^3\) ∙ c\(^2\)
Determine o valor de A = (-0,3)\(^{-2}\) + \((3^{-2})^{-1}\) + 3\(^{-2}\).
(-0,3)\(^{-2}\) + \((3^{-2})^{-1}\) + 3\(^{-2}\) = \(\left(-\dfrac{3}{10}\right)^{-2}\) + \(3^{(-2) \cdot (-1)}\) + \(\dfrac{1}{3^2}\) =
= \(\left(-\dfrac{10}{3}\right)^2\) + \(3^2\) + \(\dfrac{1}{9}\) = \(\dfrac{100}{9}\) + 9 + \(\dfrac{1}{9}\) = \(\dfrac{100 + 81 + 1}{9}\) = 182/9
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