A partir de agora você irá iniciar sua jornada com múltiplos e divisores inteiros. Se você estudou os múltiplos e divisores naturais, não terá dificuldade pois tudo o que fizemos com os números naturais iremos fazer com os inteiros.
Logo, iremos aprender:
Considere o seguinte exemplo:
3 ∙ 2 = 6
O 6 é o resultado da multiplicação entre 3 e 2. Logo, 6 é múltiplo de 3 e também é múltiplo de 2.
Sendo X e Y números inteiros, X é múltiplo de Y se e só se X é o produto de Y por um outro número inteiro K (X = Y ∙ K).
No exemplo anterior vimos que 6 é múltiplo de 3 porque 6 é o produto de 3 por 2 (6 = 3 ∙ 2).
Vimos também que o 6 é múltiplo de 2 porque 6 é o produto de 2 por 3.
Exemplos:
Escolha um número inteiro e veja os múltiplos dele:
Na expressão 4 ∙ 3 = 12, quem é o múltiplo?
O 5 é múltiplo de 10?
Hum! O 5 não é múltiplo de 10 e sim o 10 que é múltiplo de 5.
Reveja novamente!
Ok
Muito bem! O 5 não é múltiplo de 10 e sim o 10 que é múltiplo de 5.
O 10 é múltiplo de 5 porque existe outro número inteiro que multiplicado por 5 dá 10. E você sabe que número é este?
Observações:
Exemplos de múltiplos:
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Solução
Os múltiplos são
M(5) = {..., -10, -5, 0, 5, 10, 15, ...}
Solução
Os múltiplos de 3 são:
M(3) = {..., -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, 12, ...}
Os múltiplos pares maiores do que 6 são:
M(3) = {6, 12, 18, 24, ...}
Considere o exemplo que utilizamos quando estudamos múltiplos:
3 ∙ 2 = 6
Vimos que o 6 é múltiplo de 3 e também é múltiplo de 2.
Então, o 2 e o 3 são divisores de 6, pois dividindo 6 por 2 e por 3 dá conta exata, ou seja, resto 0.
Você pode estar se perguntando: "Então quer dizer que sempre que tiver um número X que dividido por Y der resto 0, significa que Y é divisor de X?"
É isto mesmo!
Exemplos:
Observações:
Exemplos de divisores:
Escolha um número inteiro e veja os divisores dele:
NÚMEROS PRIMOS
Um número inteiro p, p ≠ 0, p ≠ – 1 e p ≠ 1, é primo se e só se, seus únicos divisores são – 1, 1, – p e p. Note que são 4 divisores inteiros.
Do exemplo anterior, observe que apenas 2 e 3 são números primos.
Observação:
Escolha um número inteiro e veja se é primo:
MÁXIMO DIVISOR COMUM
Dados dois inteiros a e b, seu máximo divisor comum, que se indica por m.d.c(a, b), é o maior elemento do conjunto D(a) ∩ D(b).
Exemplo:
Qual é o máximo divisor comum de 16 e 20?
Efetuando a intersecção entre eles, obtém-se:
D(16) ∩ D(20) = {-4, -2, -1, 1, 2, 4}
Observe que o maior elemento do conjunto obtido é 4. Logo, mdc(16, 20) = 4.
NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI
Dois inteiros a e b são primos entre si (ou a é primo com b), se e só se, m.d.c.(a, b) = 1.
Exemplo:
Os divisores de 16 e 25 são:
Efetuando a intersecção entre eles, obtém-se:
D(16) ∩ D(25) = {-1, 1}
Observe que mdc(16, 25) = 1. Logo, 16 e 25 são primos entre si.
Observação:
No exemplo anterior, 16 e 25 são primos entre si. Mas nenhum dos dois são primos.
D(16) = {-16, -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8, 16}
D(25) = {-25, -5, -1, 1, 5, 25}
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
Dados dois inteiros a e b, não nulos, seu mínimo múltiplo comum, que se indica por m.m.c(a, b), é o menor elemento positivo do conjunto M(a) ∩ M(b).
Exemplo:
Qual é o mínimo múltiplo comum de 16 e 20?
Efetuando a intersecção entre eles, obtém-se:
M(16) ∩ M(20) = {..., -80, 0, 80, 160, 240, ...}
O menor elemento positivo do conjunto obtido é 80. Logo, mmc(16, 20) = 80.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Solução
D(12) = {-12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12}
M(2) = {..., -10, -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}
D(12) - M(2) resulta no conjunto que possui os elementos que pertencem ao conjunto dos divisores de 12 e não pertencem ao conjunto dos múltiplos de 2.
D(12) - M(2) = {-3, -1, 1, 3}
Solução
O primeiro ônibus passa pelo terminal de 60 em 60 minutos.
O segundo ônibus passa pelo terminal de 80 em 80 minutos (1h20).
Logo, o tempo para que eles estejam juntos no terminal é dado pelo mmc(60, 80) = 240
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