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O conjunto dos números reais \(\mathbb{R}\) é a união do conjunto dos racionais \(\mathbb{Q}\) com o conjunto dos irracionais \(\mathbb{I}\)

\(\mathbb{R}\) = \(\mathbb{Q} \cup \mathbb{I}\).

Como o conjuntos dos racionais contém o conjunto dos inteiros, que por sua vez contém o conjunto dos naturais, temos o seguinte diagrama:

Diagrama de Venn dos conjuntos numéricos

Repare no diagrama que:

\(\mathbb{N}\) ⊂ \(\mathbb{Z}\) ⊂ \(\mathbb{Q}\) ⊂ \(\mathbb{R}\)
\(\mathbb{I}\) ⊂ \(\mathbb{R}\)
\(\mathbb{Q}\) ∩ \(\mathbb{I}\) = ∅

Observação:

O sinal * (asterisco) elimina o número zero de um conjunto.
O sinal + (mais) elimina os números negativos de um conjunto.
O sinal – (menos) elimina os números positivos de um conjunto.

Exemplos:

\( \mathbb{Z}^* \) = {..., -2, -1, 1, 2, 3, ...}
\( \mathbb{Z}_+ \) = {0, 1, 2, 3, ...}
\( \mathbb{Z}_- \) = {..., -2, -1, 0}
\( \mathbb{Z}^*_+ \) = {1, 2, 3, 4, ...}

O conjunto dos números reais positivos é representado por

Os intervalos lineares são subconjuntos do conjunto dos números reais e podem ser:

Finitos: quando estão compreendidos entre dois extremos definidos
Infinitos: quando possuem apenas um extremo definido ou nenhum extremo

Alguns subconjuntos de \(\mathbb{R}\) tem notações especiais:

H = {x ∈ \(\mathbb{R}\) | a ≤ x ≤ b} é formado por todos os números reais compreendidos entre a e b, inclusive a e b. Este subconjunto de \(\mathbb{R}\), recebe o nome de intervalo fechado de extremos a e b.

Intervalos lineares finitos fechado em a e b

J = {x ∈ \(\mathbb{R}\) | d < x < h} é formado por todos os números reais compreendidos entre d e h, exclusive d e h. Este subconjunto de \(\mathbb{R}\), recebe o nome de intervalo aberto de extremos d e h.

Intervalos lineares finitos aberto em d e h

K = {x ∈ \(\mathbb{R}\) | c ≤ x < j} é formado por todos os números reais compreendidos entre c e j, inclusive c e exclusive j. Este subconjunto de \(\mathbb{R}\), recebe o nome de intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de extremos c e j.

Intervalos lineares finitos fechado em c e aberto em j

L = {x ∈ \(\mathbb{R}\) | m < x ≤ n} é formado por todos os números reais compreendidos entre m e n, exclusive m e inclusive n. Este subconjunto de \(\mathbb{R}\), recebe o nome de intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de extremos m e n.

Intervalos lineares finitos aberto em m e fechado em n