Considere duas proposições p e q. Chama-se conjunção de p e q a proposição representada por:
p ∧ q
e se lê p e q.
A conjunção p ∧ q tem como valor lógico V se, e somente se, p e q forem ambas V. Caso contrário, seu valor será F, ou seja, basta p ou q for F para a conjunção ser F.
Observe que:
Temos 2 átomos, o que nos dá \(2^2\) = 4 linhas.
| p | q |
|---|---|
Para preencher a tabela, utilizaremos um método simples para evitar linhas repetidas.
Dividiremos o número de linhas por 2.
4/2 = 2 (I) guarde esse resultado
O resultado representa de quanto em quanto iremos preencher as linhas da 1ª coluna (por opção, pois poderia ser a 2ª coluna) com V (por opção, pois poderia ser F).
Por opção, preencheremos as duas primeiras linhas da primeira coluna com V.
| p | q |
|---|---|
| V | |
| V | |
As outras duas linhas preencheremos com F.
| p | q |
|---|---|
| V | |
| V | |
| F | |
| F |
Você já deve ter notado que na 1ª coluna, a primeira metade das linhas recebe o valor lógico V e a outra metade, recebe F. Por opção, construiremos todas as tabelas utilizando esse método.
Agora iremos preencher a 2ª coluna. Basta pegar o resultado (I) e dividir novamente por 2.
2/2 = 1
O resultado representa de quanto em quanto iremos preencher as linhas da 2ª coluna com V (por opção, pois poderia ser F). Repare que iremos intercalar os valores V e F.
Por opção, iniciaremos com V.
Repare que a intercalação será de 1 em 1. Isso sempre acontece na coluna da última proposição simples.
| p | q |
|---|---|
| V | V |
| V | F |
| F | V |
| F | F |
Assim, obtemos todos os valores possíveis na relação entre os átomos.
Em seguida acrescentaremos a coluna da proposição p ∧ q.
| p | q | p ∧ q |
|---|---|---|
| V | V | |
| V | F | |
| F | V | |
| F | F |
E, finalmente, analisaremos a operação.
1ª linha: se p e q tem V como valor lógico, a conjunção entre elas é V.
| p | q | p ∧ q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | |
| F | V | |
| F | F |
2ª linha: se p tem V como valor lógico e q tem F, a conjunção entre elas é F. Lembre-se que a conjunção será V se e só se todas forem V.
| p | q | p ∧ q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | |
| F | F |
3ª linha: se p tem F como valor lógico e q tem V, a conjunção entre elas é F.
| p | q | p ∧ q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F |
4ª linha: se p e q tem F como valor lógico, a conjunção entre elas é F.
| p | q | p ∧ q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
Pronto! Obtemos, assim, a tabela-verdade da conjunção entre dois átomos.
Obter a tabela-verdade da seguinte proposição p ∧ q ∧ r
Solução
Repare que temos 3 átomos: p, q e r.
Então, nossa tabela-verdade terá \(2^3\) = 8 linhas.
| p | q | r | p ∧ q | p ∧ q ∧ r |
|---|---|---|---|---|
| V | V | V | ||
| V | V | F | ||
| V | F | V | ||
| V | F | F | ||
| F | V | V | ||
| F | V | F | ||
| F | F | V | ||
| F | F | F |
Fazendo p ∧ q, vem:
| p | q | r | p ∧ q | p ∧ q ∧ r |
|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | |
| V | V | F | V | |
| V | F | V | F | |
| V | F | F | F | |
| F | V | V | F | |
| F | V | F | F | |
| F | F | V | F | |
| F | F | F | F |
Fazendo p ∧ q ∧ r, vem:
| p | q | r | p ∧ q | p ∧ q ∧ r |
|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V |
| V | V | F | V | F |
| V | F | V | F | F |
| V | F | F | F | F |
| F | V | V | F | F |
| F | V | F | F | F |
| F | F | V | F | F |
| F | F | F | F | F |
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