Vamos transformar arcos?
Sendo x um número real positivo, tem-se as seguintes relações entre o seno, cosseno e tangente de x e -x:
Exemplos:
Dados dois arcos trigonométricos, de medidas a e b, podemos calcular o seno, cosseno e a tangente da soma desses arcos através das identidades a seguir, conhecidas por fórmulas de adição de arcos:
Exemplo:
Para calcular sen 75º, pode-se proceder da seguinte maneira:
sen 75º = sen (45º + 30º) = sen 45º ∙ cos 30º + sen 30º ∙ cos 45º
\(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{6}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{4}\) = \(\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)
Determine o valor de y = sen(\(\pi\) + x).
Solução
sen(\(\pi\) + x) = sen \(\pi\) ∙ cos x + sen x ∙ cos \(\pi\)
0 ∙ cos x + sen x ∙ (-1) = - sen x
Determine cos 75º.
Solução
cos 75º
cos (45º + 30º)
cos 45º ∙ cos 30º - sen 30º ∙ sen 45º
\(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{6}}{4} - \dfrac{\sqrt{2}}{4}\) = \(\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\)
Determine tg 105º.
Solução
tg 105º
tg (45º + 60º)
\( \dfrac{tg 45º + tg 60º}{1 - tg 45º \cdot tg 60º} \)
\( \dfrac{1 + \sqrt{3}}{1 - (1)(\sqrt{3})} \)
\( \dfrac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} \cdot \dfrac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} \)
\( \dfrac{(1 + \sqrt{3})^2}{1^2 - \sqrt{3}^2} \)
\( \dfrac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{1 - 3} \)
\( \dfrac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} \) = - 2 - \(\sqrt{3}\)
Sendo a + b = 135º e tg a = 2, determine tg b.
Solução
tg (a + b) = \( \dfrac{tg a + tg b}{1 - tg a \cdot tg b} \)
tg (135º) = \( \dfrac{2 + tg b}{1 - 2 \cdot tg b} \)
-1 = \( \dfrac{2 + tg b}{1 - 2 \cdot tg b} \)
(-1)(1 - 2 tg b) = 2 + tg b
- 1 + 2 tg b = 2 + tg b
2 tg b - tg b = 2 + 1
tg b = 3
Dados dois arcos trigonométricos, de medidas a e b, podemos calcular o seno, cosseno e a tangente da diferença desses arcos através das identidades a seguir, conhecidas por fórmulas de subtração de arcos:
Exemplo:
Para determinar sen 15º, pode-se proceder da seguinte maneira:
sen 15º = sen (45º - 30º) = sen 45º ∙ cos 30º - sen 30º ∙ cos 45º
\(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{6}}{4} - \dfrac{\sqrt{2}}{4}\) = \(\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\)
Determine cos 15º.
Solução
cos 15º
cos (45º - 30º)
cos 45º ∙ cos 30º + sen 30º ∙ sen 45º
\(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{6}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{4}\) = \(\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)
Determine tg 15º.
Solução
tg 15º
tg (60º - 45º)
\( \dfrac{tg 60º - tg 45º}{1 + tg 60º \cdot tg 45º} \)
\( \dfrac{\sqrt{3} - 1}{1 + (\sqrt{3})(1)} \)
\( \dfrac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} \cdot \dfrac{1 - \sqrt{3} }{1 - \sqrt{3} } \)
\( \dfrac{-(\sqrt{3} - 1)^2}{1^2 - \sqrt{3}^2} \)
\( \dfrac{-(3 - 2\sqrt{3} + 1)}{1 - 3} \)
\( \dfrac{-4 + 2\sqrt{3}}{-2} \) = 2 - \(\sqrt{3}\)
Sabendo que sen x = 3/5, 0 < x < π/2 e cos y = -5/13, π < y < 3π/2, calcule sen (x - y).
Solução
Como sen (x - y) = sen x ∙ cos y - sen y ∙ cos x, inicialmente deve-se determinar sen y e cos x.
Sendo sen\(^2\)x + cos\(^2\)x = 1, vem:
(3/5)\(^2\) + cos\(^2\)x = 1
cos²x = 1 - 9/25
cos²x = (25 - 9)/25
cos²x = 16/25
cos x = ±\(\sqrt{16/25}\) = ± 4/5
Como x ∈ 1ºQ, cos x > 0. Então, cos x = 4/5
De modo análogo, sendo sen²y + cos²y = 1, vem:
sen²y + (-5/13)² = 1
sen²y = 1 - 25/169
sen²y = (169 - 25)/169
sen²y = 144/169
sen y = ±\(\sqrt{144/169}\) = ± 12/13
Como y ∈ 3ºQ, sen y < 0. Então, sen y = - 12/13
Substituindo os valores dados e os obtidos em sen (x - y), vem:
sen (x - y) = sen x ∙ cos y - sen y ∙ cos x = 3/5 ∙ (-5/13) - (-12/13) ∙ 4/5
-3/13 + 48/65 = (-15 + 48)/65 = 33/65
A partir das fórmulas de soma de arcos, pode-se obter as fórmulas de arco duplo. Acompanhe:
Assim:
Sabendo que sen x + cos x = 0,2, determine sen 2x.
Solução
sen 2x = 2 sen x cos x
Elevando os dois membros de sen x + cos x = 0,2 ao quadrado, vem:
(sen x + cos x)² = 0,2²
sen²x + 2 ∙ senx ∙ cosx + cos²x = 0,04
1 + 2 ∙ senx ∙ cosx = 0,04
1 + sen 2x = 0,04
sen 2x = 0,04 - 1
sen 2x = -0,96
Calcule sen 2x sabendo-se que tg x + cotg x = 3.
Solução
Escrevendo a tgx e cotgx em função de senx e cosx , vem:
\(\dfrac{sen x}{cos x} + \dfrac{cos x}{sen x} = 3\)
Tirando o mmc entre cos x e sen x:
\(\dfrac{sen^2x + cos^2 x}{sen x \cdot cos x} = 3\)
Como sen²x + cos²2 x = 1:
\(\dfrac{1}{sen x \cdot cos x} = 3\)
sen x ∙ cos x = 1/3 (I)
Como sen 2x = 2 ∙ senx ∙ cosx, tem-se:
senx ∙ cosx = (sen 2x) / 2 (II)
Substituindo (II) em (I), vem:
1/3 = (sen 2x) / 2
sen 2x = 2/3
Exemplo:
Sabe-se que sen 30º = 1/2
Calculando sen 30º como sen (60º/2), vem:
60º/2 = 30º ∈ 1ºQ (seno positivo)
sen (60º/2) = \(\sqrt{\dfrac{1 - cos 60º}{2}}\) = \(\sqrt{\dfrac{1 - 1/2}{2}}\)
\(\sqrt{\dfrac{1/2}{2}}\) = \(\sqrt{\dfrac{1}{4}}\) = 1/2
Determine sen 22º30'.
Solução
22º30' = 45º/2
Se 2x = 45º, então 2x/2 = x = 22º30'
Como cos (2x) = cos²x – sen²x, tem-se:
cos (2x) = (1 - sen²x) – sen²x
cos (2x) = 1 - 2 sen²x
Substituindo 2x = 45º e x = 22º30', vem:
cos (45º) = 1 - 2 sen²(22º30')
\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) = 1 - 2 sen²(22º30')
2 sen²(22º30') = 1 - \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
2 sen²(22º30') = \(\dfrac{2 - \sqrt{2}}{2}\)
sen²(22º30') = \(\dfrac{\dfrac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}\)
sen²(22º30') = \(\dfrac{2 - \sqrt{2}}{4}\)
sen (22º30') = \(\sqrt{\dfrac{2 - \sqrt{2}}{4}}\)
Como 22º30' está no 1ºQ, sen 22º30' é positivo.
sen (22º30') = \(\dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\)
Considere a função t = arc sen x. Neste caso temos que descobrir qual é o arco t cujo seno é igual a x.
t = arc sen x ⇔ sen t = x
De igual modo, para arccos e arctg temos:
t = arc cos x ⇔ cos t = x
t = arc tg x ⇔ tg t = x
Qual o domínio e o conjunto imagem da função y = arcsen 4x?
Solução
y = arcsen 4x
4x = seny
Note, no ciclo trigonométrico , que sen y varia entre -1 e 1. Então
-1 ≤ 4x ≤ 1
-1/4 ≤ x ≤ 1/4
O domínio D = [-1/4, 1/4]
Para obter a imagem, bastas substituir os extremos do domínio em y = arcsen 4x. Acompanhe:
Para x = -1/4: y = arcsen 4(-1/4) = arcsen (-1) = -π/2
Para x = 1/4: y = arcsen 4(1/4) = arcsen (1) = π/2
y varia -π/2 e π/2
Portanto, D = [-1/4, 1/4] e Im = [-π/2, π/2]
Calcule y = tg(arcsen 2/3)
Solução
Chamando arcsen 2/3 de w, tem-se:
w = arcsen 2/3
y = tg (arcsen 2/3) = tg (w) = \(\dfrac{sen w}{cos w}\)
Para determinar tg w, é necessário calcular sen w e cos w.
w = arcsen 2/3 ⇔ sen w = 2/3
Observe que sen w = 2/3 indica que o seno é positivo, ou seja, w varia de -π/2 a π/2 (w está no 4º ou 1º quadrante no ciclo trigonométrico).
Utilizando a relação fundamental da Trigonometria, pode-se obter cos w:
sen²w + cos²w = 1
(2/3)² + cos²w = 1
cos²w = 1 – 4/9 = 5/9
cos w = ±\(\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)
Como w está no 4º ou 1º quadrante, o cos w é positivo. Então, cos w = \(\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)
y = tg (arcsen 2/3)
y = tg w
y = \(\dfrac{sen w}{cos w}\)
y = \(\dfrac{2/3}{\sqrt{5}/3}\)
y = \(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)
y = \(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\)
Calcular o valor de y = sen(arc tg 3/4).
Solução
Chamando arc tg 3/4 de w, tem-se:
w = arc tg 3/4
tg w = 3/4
Observe que tg w = 3/4 indica que a tangente é positiva, ou seja, w está no 1º ou 3º quadrante no ciclo trigonométrico.
tg w = 3/4
\(\dfrac{sen w}{cos w} = \dfrac{3}{4}\)
sen w = \(\dfrac{3 \cdot cos w}{4}\)
Substituindo na relação fundamental da Trigonometria, vem:
sen²w + cos²w = 1
\(\left(\dfrac{3 \cdot cos w}{4}\right)^2 + cos^2w = 1\)
\(\dfrac{9 cos^2 w}{16} + cos^2w = 1\)
\(\dfrac{9 cos^2 w + 16 cos^2w}{16} = 1\)
\(\dfrac{25 cos^2 w}{16} = 1\)
cos²w = 16/25
cosw = ± 4/5.
Como w está no 1º ou 3º quadrante (cos é positivo no 1º quadrante e negativo no 2º quadrante), tem-se:
Para cos w = 4/5:
y = sen(arc tg 3/4)
y = sen w
y = \(\dfrac{3 \cdot 4/5}{4}\)
y = 3/5
Para cos w = -4/5:
y = sen(arc tg 3/4)
y = sen w
y = \(\dfrac{3 \cdot –(4/5)}{4}\)
y = -3/5
S = {-3/5, 3/5}
Qual o domínio da função y = arccos(1 – logx)?
Solução
arccos(1 – logx)
cos w = 1 – log x
log x = 1 – cos w
Note, que, no ciclo trigonométrico, cos w varia entre -1 e 1. Então:
Para cos w = -1:
log x = 1 – (-1) = 1 + 1 = 2
log x = 2
10² = x
x = 100
Para cos w = 1:
log x = 1 – (1) = 1 - 1 = 0
log x = 0
10\(^0\) = x
x = 1
Logo, D = [1,100]
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