Equação linear é toda equação do tipo

\( a_1 \cdot x_1 + a_2 \cdot x_2 + a_3 \cdot x_3 + \cdots + a_n \cdot x_n = b \)

Note que ela tem n incógnitas (variáveis).

Exemplos:

a) x + y + z = 6 (3 incógnitas: x, y, z)

b) x - 2y + 5z - 4w = -2 (4 variáveis: x, y, z, w)

Equação linear homogênea: b = 0. Ou seja:

\( a_1 \cdot x_1 + a_2 \cdot x_2 + a_3 \cdot x_3 + \cdots + a_n \cdot x_n = 0 \)

Exemplos:

a) 2x - y = 0 (2 variáveis: x, y)

b) 5x - 3z + k = 0 (3 variáveis: x, z, k)

Entendi

Sistema linear é o conjunto de equações lineares consideradas simultaneamente.

Exemplo:

\( \left\{\begin{array}{l} x + y + z = 6 \\ x - y - 2z = -7 \\ 2x - 2y + z = 1 \end{array}\right. \)

No exemplo temos 3 equações lineares e cada uma tem 3 variáveis (x, y, z).

Para resolvermos o sistema temos que encontrar os valores de x, y e z que tornam todas as equações verdadeiras. Neste caso, x, y e z formam o conjunto solução do sistema.

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Dois sistemas lineares \(S_1\) e \(S_2\) são equivalentes se, e só se, possuem o mesmo conjunto solução (\(S_1 \sim S_2\)).

Exemplo:

\( S_1 \left\{\begin{array}{l} x + y = 4 \\ 2x - y = 2 \end{array}\right. \)

\( S_2 \left\{\begin{array}{l} 3x - 2y = 2 \\ x - y = 0 \end{array}\right. \)

Os dois sistemas serão equivalentes se a solução (x, y) de \(S_1\) é a mesma para \(S_2\).

Note que x = 2 e y = 2 é a solução tanto de \(S_1\) quanto de \(S_2\). Logo, \(S_1 \sim S_2\).

Observação:

x = 2 e y = 2 pode ser representado como (x, y) = (2, 2).

Mas como resolvemos sistemas?

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Escalonamento: Método de resolução para sistemas com m equações e n incógnitas, onde m pode ser igual ou diferente de n.

As três transformações algébricas \(T_1\), \(T_2\) e \(T_3\) que se seguem permitirão escalonar um sistema linear dado.

• \(T_1\): Num sistema linear S, trocando-se as posições de duas equações, o sistema linear \(S_1\) obtido é equivalente a S.
• \(T_2\): Num sistema linear S, multiplicando-se (ou dividindo-se) uma equação por um número real não nulo, o sistema linear \(S_2\) obtido é equivalente a S.
• \(T_3\): Num sistema linear S, multiplicando-se (ou dividindo-se) uma equação por um número real não nulo e adicionando-a a uma outra equação, o sistema linear \(S_3\) obtido é equivalente a S.

Considere o sistema:

\( \left\{\begin{array}{l} x + y + z = 6 \\ x - y - 2z = -7 \\ 2x - 2y + z = 1 \end{array}\right. \)

Extraindo os coeficientes, forma-se a seguinte matriz:

A ideia é escalonar até restar apenas um coeficiente dependente (x, y ou z) e o coeficiente independente. Vamos lá?

Aproveitando que o primeiro número da primeira linha é 1, vamos eliminar o primeiro elemento da segunda linha (em cinza).

Para eliminar o coeficiente de x na 2ª equação, basta multiplicar a 1ª por -1 e somar o resultado à 2ª:

Vamos fazer a mesma coisa com o primeiro elemento da terceira linha (em cinza).

Para eliminar o coeficiente de x na 3ª equação, basta multiplicar a 1ª por -2 e somar o resultado à 3ª:

Agora, com os coeficientes de x zerados, vamos eliminar o coeficiente de y da terceira linha (em cinza).

Para eliminar o coeficiente de y na 3ª equação, basta multiplicar a 2ª por -2 e somar o resultado à 3ª:

Pronto, tem-se agora 5z = 15. Basta determinar z para encontrar as demais variáveis.

5z = 15

z = 3

Substituindo z = 3 em -2y - 3z = -13, vem:

-2y - 3(3) = -13

2y = 13 - 9

y = 2

Substituindo z = 3 e y = 2 em x + y + z = 6, vem:

x + (2) + (3) = 6

x = 6 - 5

x = 1

(x, y, z) = (1, 2, 3)

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Regra de Cramer: Método de resolução para sistemas com n equações e n incógnitas, com n ≥ 2.

Pela regra de Cramer, as incógnitas são determinadas utilizando-se os determinantes das matrizes formadas com os coeficientes do sistema.

Considere o sistema:

\( \left\{\begin{array}{l} x + y + Z = 6 \\ x - y - 2z = -7 \\ 2x - 2y + z = 1 \end{array}\right. \)

Extraindo os coeficientes, forma-se a seguinte matriz:

O determinante do sistema (D) igual ao determinante da matriz dos coeficientes das variáveis (ou seja, retira-se a coluna dos coeficientes independentes):

D = \( \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -2 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix} \) = -10

O determinante relativo à variável x (Dx) é igual ao determinante da matriz formada sem os coeficientes de x. Neste caso, substitui-se a coluna referente aos coeficientes de x pela coluna dos coeficientes independentes:

Dx = \( \begin{vmatrix} 6 & 1 & 1 \\ -7 & -1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} \) = -10

O determinante relativo à y (Dy) é igual ao determinante da matriz formada sem os coeficientes de y. Neste caso, substitui-se a coluna referente aos coeficientes de y pela coluna dos coeficientes independentes:

Dy = \( \begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 1 & -7 & -2 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} \) = -20

O determinante relativo à z (Dz) é igual ao determinante da matriz formada sem os coeficientes de z. Neste caso, substitui-se a coluna referente aos coeficientes de z pela coluna dos coeficientes independentes:

Dz = \( \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 1 & -1 & -7 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix} \) = -30

Pela regra de Cramer:

• x = \( \dfrac{Dx}{D} \) = \( \dfrac{-10}{-10} \) = 1
• y = \( \dfrac{Dy}{D} \) = \( \dfrac{-20}{-10} \) = 2
• z = \( \dfrac{Dz}{D} \) = \( \dfrac{-30}{-10} \) = 3

Logo, o terno ordenado (1, 2, 3) é solução do sistema.

Observações:

• Reforçando, a regra de Cramer se aplica a sistemas com n equações e n variáveis, com n ≥ 2
• Quando D ≠ 0, o sistema admite uma única solução

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Um sistema linear pode ter uma única solução, infinitas soluções e a ainda não ter solução.

Dependendo do número de soluções, um sistema linear é classificado como:

• Sistema possível e determinado (SPD), quando tem uma única solução;
• Sistema possível e indeterminado (SPI), quando tem infinitas soluções;
• Sistema impossível (SI), quando não tem solução.

Um sistema linear possível á também chamado de compatível, enquanto o impossível é chamado incompatível.

Um sistema pode ser classificado utilizando as regras de Cramer. Acompanhe:

• Se D ≠ 0, então o sistema é possível e determinado (SPD) ( D é denominador. Logo, sendo diferente de zero teremos solução única )
• Se D = Dx\(_1\) = Dx\(_2\) = ... = Dx\(_n\) = 0, então o sistema é possível e indeterminado (SPI) ( Como todos os determinantes são iguais a zero, teremos 0/0, gerando uma indeterminação. Neste caso, existem várias soluções )
• Se D = 0 e Dx\(_1\) ≠ 0 ou Dx\(_2\) ≠ 0 ou ... ou Dx\(_n\) ≠ 0, então o sistema é impossível (SI) ( Neste caso teremos divisões de numeradores diferentes de zero por zero, o que é impossível )

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De acordo com as regras de Cramer

para que um sistema seja possível e determinado (SPD) basta que o determinante do sistema (D) seja diferente de zero se todos os determinantes (do sistema e relativos às variáveis) forem iguais a zero, o sistema será impossível (SI) se o determinando do sistema for diferente de zero o sistema será indeterminado (SPI)

Resolva e classifique o sistema \( \left\{\begin{array}{l} x + 3y = 5 \\ 3x - 2y = 1 \end{array}\right. \)

Solução

Multiplicando a primeira equação por -3:

\( \left\{\begin{array}{l} x + 3y = 5 (\times -3) \\ 3x - 2y = 1 \end{array}\right. \)

\( \left\{\begin{array}{l} -3x - 9y = -15 \\ 3x - 2y = 1 \end{array}\right. \)

E somando o resultado com a segunda:

\( \left\{\begin{array}{l} -3x - 9y = -15 \\ 3x - 2y = 1 \end{array}\right. \)

-11y = -14

y = 14/11

Substituindo y = 14/11 na primeira ou segunda equação:

x + 3y = 5

x + 3(14/11) = 5

x = 5 - 42/11 = 13/11

SPD e S = {13/11, 14/11}

Observação: As equações representam retas. Como o sistema é possível e determinado, ou seja, possui solução única, as retas são concorrentes (possuem um único ponto em comum).

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Resolva e classifique o sistema \( \left\{\begin{array}{l} x - y = 3 \\ 4x - 4y = 6 \end{array}\right. \)

Solução

Multiplicando a primeira equação por -4:

\( \left\{\begin{array}{l} x - y = 3 (\times -4) \\ 4x - 4y = 6 \end{array}\right. \)

\( \left\{\begin{array}{l} -4x + 4y = -12 \\ 4x - 4y = 6 \end{array}\right. \)

E somando o resultado com a segunda:

\( \left\{\begin{array}{l} -4x + 4y = -12 \\ 4x - 4y = 6 \end{array}\right. \)

0 = -6 (impossível)

SI e S = { }

Observação: As equações representam retas. Como o sistema é impossível, ou seja, não existe x e y que satisfaçam o sistema, as retas são paralelas distintas (não possuem ponto em comum).

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Determine o valor de a para que o sistema \( \left\{\begin{array}{l} ax - y = 8 \\ 2x + 4y = 6 \end{array}\right. \) seja possível e determinado.

Solução

Para que seja SPD, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser diferente de 0:

\( \begin{vmatrix} a & -1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} \) ≠ 0

(4)(a) - (-1)(2) ≠ 0

4a + 2 ≠ 0

4a ≠ -2

a ≠ -1/2

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Determine o valor de k para que as retas x + 2y = 1 e 4x + 8y = k sejam paralelas distintas.

Solução

Para que as retas sejam paralelas distintas (sem ponto em comum), basta que o sistema entre elas seja impossível:

\( \left\{\begin{array}{l} x + 2y = 1 \\ 4x + 8y = k \end{array}\right. \) seja SI

Multiplicando a primeira equação por 4, vem:

x + 2y = 1 (×4)

4x + 8y = 4

Comparando com a segunda, pode-se perceber que:

• se k = 4, o sistema será possível e indeterminado (retas paralelas coincidentes)
• se k ≠ 4, o sistema será impossível (retas paralelas distintas)

Portanto, para que as retas sejam paralelas distintas, k ≠ 4

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Classifique o sistema \( \left\{\begin{array}{l} x + 2y = 1 \\ 3x + ky = 0 \end{array}\right. \).

Solução

D = \( \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & k \end{vmatrix} \) = k - 6

Dx = \( \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & k \end{vmatrix} \) = k

Dy = \( \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} \) = -3

• D ≠ 0 ⇔ k - 6 ≠ 0 ⇔ k ≠ 6 (para k ≠ 6, tem-se SPD)
• D = 0 ⇔ k - 6 = 0 ⇔ k = 6 (Dx = k = 6. Para k = 6, D = 0, Dx ≠ 0 e Dy ≠ 0. Tem-se SI)

Portanto, SPD para k ≠ 6 e SI para k = 6

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Um sistema linear é homogêneo quando os termos independentes de todas as suas equações são nulos.

Em um sistema homogêneo, a sequência (0, 0, ..., 0) é sempre solução, e é chamada solução nula ou solução trivial. Assim:

• todo sistema linear homogêneo é sempre possível (pois admite pelo menos a solução trivial)
• em todo sistema linear homogêneo ocorre Dx\(_1\) = Dx\(_2\) = ... = Dx\(_n\) = 0 (pois os termos independentes são nulos)
• se o determinante de sistema linear homogêneo for diferente de zero, então a única solução é a trivial
• para que um sistema linear homogêneo admita soluções não-triviais (além da trivial) é necessário e suficiente que seu determinante seja nulo (pois, quando D = 0, o sistema é indeterminado)

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O sistema \( \left\{\begin{array}{l} x + 2y - 3z = 0 \\ 2x + 5y + 2z = 0 \\ 3x - y - 4z = 0 \end{array}\right. \) admite soluções não triviais?

Solução

Para admitir soluções não-triviais, o determinante deve ser nulo.

D = \( \begin{vmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & 5 & 2 \\ 3 & -1 & -4 \end{vmatrix} \) = 61 (≠ 0)

O sistema é determinado e admite apenas a solução trivial.

Portanto, não admite soluções não triviais

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Determine k para que o sistema \( \left\{\begin{array}{l} kx - y = 0 \\ x + y + kz = 0 \\ 2y + z = 0 \end{array}\right. \) admita soluções não nulas.

Solução

Para admitir soluções não nulas, o determinante deve ser nulo.

D = \( \begin{vmatrix} k & -1 & 0 \\ 1 & 1 & k \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} \) = 0

2k\(^2\) - k - 1 = 0

Resolvendo a equação do 2º grau, obtém-se k = -1/2 ou k = 1

Logo, k = -1/2 ou k = 1

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