Polinômios são expressões do tipo:
\( a_0 x^n + a_1 x^{n - 1} + \cdots + a_ {n - 1} x + a_n \)
onde
O valor numérico de um polinômio P(x) para x = a é dado por P(a).
Em outras palavras, para descobrir o valor numérico de P(x) para x = a, basta substituir x por a e calcular o resultado.
Exemplo:
O valor numérico de P(x) = 2x³ - 4x² + x - 3 quando:
Observação: α será raiz ou zero do polinômio quando P(α) = 0.
Exemplo:
Em P(x) = x² - 4, x = 2 ou x = -2 são as raízes ou zeros de P(x), pois:
O valor numérico de P(x) = x² - 4x + 2 para x = 3 é
Qual é o valor numérico de P(x) = x² + 5x - 1 para x = 2?
Em relação ao polinômio P(x) = x² - 4x + 4 podemos afirmar que
A condição necessária e suficiente para que um polinômio P(x) seja identicamente nulo é que seus coeficientes sejam todos nulos:
P(x) ≡ 0
P(a) = 0, ∀a
\(a_0\) = \(a_1\) = … = \(a_{n-1}\) = a\(a_n\) = 0.
Exemplo:
Para que P(x) = ax³ - (b + 2)x² + (c - 3) seja identicamente nulo, deve-se ter:
A condição necessária e suficiente para que dois polinômios sejam idênticos, é que seus coeficientes sejam ordenadamente iguais:
A(x) ≡ B(x)
A(a) = B(a), ∀a.
Exemplo:
Para que os polinômios A(x) = 3x² + (b + 1) x + 1 e B(x) = ax² + 4x + c sejam idênticos deve-se ter:
Grau de um polinômio P(x), representado por gr(P), é o maior expoente da variável x, com coeficiente não nulo, que aparece na representação de P(x).
Observação: Não se define grau para o polinômio nulo.
Exemplos:
O grau de um polinômio P(x) determina a quantidade de raízes (ou zeros) de P(x).
Exemplo:
O grau de A(x) = x² - 4 é 2. Repare que A(x) possui 2 raízes: -2 e 2.
Dado o polinômio P(x) = x³ - 4x² + x, determine P(0), P(-1) e P(2).
P(0) = (0)³ - 4(0)² + (0) = 0 - 0 + 0 = 0
P(-1) = (-1)³ - 4(-1)² + (-1) = -1 - 4 - 1 = -6
P(2) = (2)³ - 4(2)² + (2) = 8 - 16 + 2 = -6
Repare que x = 0 é uma raiz de P(x).
Determine os valores de a, b e c para que P(x) = (a - 2)x³ + bx² + c - 1 seja identicamente nulo.
Para que P(x) seja identicamente nulo, todos os coeficientes devem ser nulos:
a = 2, b = 0 e c = 1
Sejam A(x) = 4x³ + ax² e B(x) = bx³ + 2x² + cx. Determine os valores de a, b e c para que A e B sejam idênticos.
Solução
Para que A(x) ≡ B(x), deve-se ter:
(a, b, c) = (2, 4, 0)
Qual é o grau de P(x) = \(3x^2 + 2x^4 + x - 1\)?
Solução
O maior expoente de P(x) é 4. Logo, gr(P) = 4
Agora iremos operar os polinômios. Você vai perceber que é bem tranquilo. Vamos lá?
Sejam os polinômios \( A(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n - 1} + \cdots + a_{n - 1} x + a_n \) e \( B(x) = b_0 x^n + b_1 x^{n - 1} + \cdots + b_{n - 1} x + b_n \).
\( A(x) + B(x) = (a_0 + b_0) x^n + (a_1 + b_1) x^{n - 1} + \cdots + a_n + b_n \)
Exemplo: Sendo A(x) = \(x^2 - 2x + 4\) e B(x) = \(3x^3 + 3x^2 + 5x + 2\), a soma A(x) + B(x) vale:
A(x) + B(x) = \(x^2 - 2x + 4 + 3x^3 + 3x^2 + 5x + 2\) = \(3x^3 + (1 + 3)x^2 + (-2 + 5)x + (4 + 2)\) = \(3x^3 + 4x^2 + 3x + 6\)
Dados os polinômios A(x) = x³ - 2x² + 1, B(x) = x² + 1 e C(x) = 3x - 1, determine:
A(x) + C(x)
Solução
A(x) + C(x) = x³ - 2x² + 1 + 3x - 1 = x³ - 2x² + 3x
Sejam os polinômios \( A(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n - 1} + \cdots + a_{n - 1} x + a_n \) e \( B(x) = b_0 x^n + b_1 x^{n - 1} + \cdots + b_{n - 1} x + b_n \).
\( A(x) - B(x) = (a_0 - b_0) x^n + (a_1 - b_1) x^{n - 1} + \cdots + a_n - b_n \)
Exemplo: Sendo A(x) = \(x^2 - 2x + 4\) e B(x) = \(3x^3 + 3x^2 + 5x + 2\), a diferença A(x) - B(x) vale:
A(x) - B(x) = \(x^2 - 2x + 4\) - \(3x^3 + 3x^2 + 5x + 2\) = \(x^2 - 2x + 4 - 3x^3 - 3x^2 - 5x - 2\) = \(-3x^3 + (1 - 3)x^2 + (-2 - 5)x + (4 - 2)\) = \(-3x^3 - 2x^2 - 7x + 2\)
Dados os polinômios A(x) = x³ - 2x² + 1, B(x) = x² + 1 e C(x) = 3x - 1, determine:
A(x) - B(x)
Solução
A(x) - B(x) = x³ - 2x² + 1 - (x² + 1) = x³ - 2x² + 1 - x² - 1 = x³ - 3x²
Sejam os polinômios \( A(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n - 1} + \cdots + a_{n - 1} x + a_n \) e \( B(x) = b_0 x^n + b_1 x^{n - 1} + \cdots + b_{n - 1} x + b_n \).
\( A(x) \cdot B(x) = (a_0 x^n) (b_0 x^n) + (a_0 x^n) (b_1 x^{n - 1}) \cdot \cdots \cdot (a_n \cdot b_n) \)
Exemplo: Sendo A(x) = \(x^2 - 2x + 4\) e B(x) = 5x + 2, o produto A(x) ∙ B(x) vale:
A(x) ∙ B(x) = \(x^2 - 2x + 4\) ∙ (5x + 2) = \((x^2)(5x) + (x^2)(2) + (-2x)(5x) + (-2x)(2) + (4)(5x) + (4)(2)\) = \(5x^3 + 2x^2 - 10x^2 - 4x + 20x + 8\) = \(5x^3 - 8x^2 + 16x + 8\)
Dados os polinômios A(x) = x³ - 2x² + 1, B(x) = x² + 1 e C(x) = 3x - 1, determine:
B(x) ∙ C(x)
Solução
B(x) ∙ C(x) = (x² + 1) ∙ (3x - 1) = (x²) (3x) + (x²) (-1) + (1) (3x) + (1) (-1) = 3x³ - x² + 3x - 1
Dados os polinômios A(x) = x³ - 2x² + 1, B(x) = x² + 1 e C(x) = 3x - 1, determine:
[C(x)]²
Solução
[C(x)]² = (3x - 1)² = (3x)² - 2 (3x) (1) + (1)² = 9x² - 6x + 1
Dados os polinômios A(x) = x³ - 2x² + 1, B(x) = x² + 1 e C(x) = 3x - 1, determine:
[C(x)]² - B(x)
Solução
[C(x)]² - B(x) = (3x - 1)² - (x² + 1) = (3x)² - 2 (3x) (1) + (1)² - x² - 1 = 9x² - 6x + 1 - x² - 1 = 8x² - 6x
Sejam os polinômios \( A(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n - 1} + \cdots + a_{n - 1} x + a_n \) e \( B(x) = b_0 x^n + b_1 x^{n - 1} + \cdots + b_{n - 1} x + b_n \).
A(x) ≡ B(x) ∙ Q(x) + R(x), sendo que gr(R) < gr(B) ou R(x) ≡ 0.
Se o resto R(x) for nulo, dizemos que A(x) é divisível por B(x) (Lembra de divisibilidade?).
Para calcular a divisão de um polinômio A(x) por B(x) podemos utilizar o método da chave.
Exemplo:
Efetue a divisão de A(x) = 2x³ + 3x - 1 por B(x) = x² + 2x + 5 pelo método da chave.
Antes de iniciarmos a divisão temos que montar a chave:
Agora, seguimos os passos a seguir.
Passo 1: Verificamos se todos os termos estão presentes (do de maior grau até o termo independente). Caso falte, devemos completar.
Note que faltava o termo 0x². Ele adicionado a 2x³ + 3x - 1.
Passo 2: Divide-se o primeiro termo de A(x) pelo primeiro termo de B(x).
Resultado 2x.
Passo 3: Multiplica-se 2x por B(x) e o resultado coloca em baixo de A(x) com sinais trocados.
Observe que os termos de graus iguais foram colocados um em baixo do outro.
Passo 4: Efetua-se a operação.
Observe que o termo em x³ desaparece.
Passo 5: Desce a próxima casa (-1).
Passo 6: Do polinômio -4x² - 7x - 1, divide-se o primeiro termo pelo primeiro termo de B(x).
Resultado -4.
Passo 7: Multiplica-se -4 por B(x) e o resultado coloca em baixo de -4x² - 7x - 1 com sinais trocados.
Lembrando que os termos de graus iguais devem ser colocados um em baixo do outro.
Passo 8: Efetua-se a operação.
Observe que o termo em x² desaparece.
Finalizamos o cálculo e temos que A(x)/B(x) possui:
Em uma divisão de A(x) por B(x), sempre deverá ocorrer:
A(x) ≡ B(x) ∙ Q(x) + R(x)
No exemplo temos:
2x³ + 3x - 1 ≡ (x² + 2x + 5) ∙ (2x - 4) + (x + 19)
Repare que A(x) não é divisível por B(x), pois o resto é diferente de zero:
R(x) = x + 19 R(x)≠ 0
Dividindo P(x) por x² - x + 2, obtém-se quociente Q(x) = 2x + 1 e resto R(x) = 4x - 3. Determine P(x).
Solução
P(x) = D(x) ∙ Q(x) + R(x)
P(x) = (x² - x + 2) ∙ (2x + 1) + (4x - 3) = 2x³ - x² + 7x - 1
O resto r da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio x - a é igual a P(a), ou seja,
r = P(a)
Para provar isso, basta lembrar que na divisão entre dois polinômios P(x) e D(x), tem-se que P(x) ≡ D(x) ∙ Q(x) + r.
Sendo D(x) = x - a, tem-se:
P(x) = (x - a) ∙ Q(x) + r
Substituindo x por a, vem:
P(a) = (a - a) ∙ Q(a) + r
P(a) = (0) ∙ Q(a) + r
P(a) = r
Determine o resto da divisão de x³ - 2x + 1 por x - 2.
Como o dividendo é um binômio (x - 2), o resto pode ser obtido pelo Teorema do resto:
r = P(2) = (2)³ - 2 (2) + 1 = 8 - 4 + 1 = 5
Um polinômio P(x) é divisível por x - a se, e só se, P(a) = 0. Neste caso, a é raiz do polinômio.
Para comprovar esse teorema, basta lembrar de divisibilidade e do teorema visto anteriormente (Teorema do resto):
Em uma divisão P(x) por x - a, o resto vale r = P(a). Se r = 0, tem-se que a é raiz e que P(x) é divisível por x - a.
Qual deve ser o valor de b para que P(x) = x³ + bx² - 2x + 3 seja divisível por x - 1?
Para que P(x) seja divisível por x - 1, deve-se ter P(1) = 0 (resto → Teorema de D' Alembert).
P(x) = (1)³ + b (1)² - 2(1) + 3 = 0
1 + b - 2 + 3 = 0
b = -2
Se um polinômio P(x) é divisível, separadamente, por (x - a) e por (x - b), com a ≠ b, então P(x) será divisível pelo produto (x - a) ∙ (x - b).
Exemplo:
P(x) = \(x^5 - 3x^4 + 2x^3 + 4x^2 - 12x + 8\) é divisível por x - 1 e x - 2. Confira:
P(x)/(x - 1)
P(1) = \((1)^5 - 3(1)^4 + 2(1)^3 + 4(1)^2 - 12(1) + 8\) = 1 - 3 + 2 + 4 - 12 + 8 = 0 (resto)
P(x)/(x - 2)
P(2) = \((2)^5 - 3(2)^4 + 2(2)^3 + 4(2)^2 - 12(2) + 8\) = 32 - 48 + 16 + 16 - 24 + 8 = 0 (resto)
Assim, P(x) é divisível por (x - 1)(x - 2).
Para determinar o resto de P(x) por x - a, como visto anteriormente, é fácil e rápido. Basta determinar P(a).
Para determinar o quociente e o resto, pode-se utilizar o método da chave. Porém, nos casos em que o divisor for um binômio pode-se utilizar o método de Briot-Ruffini. Considere o seguinte exemplo para a demonstração desse método:
Sejam P(x) = 4x³ + 5x² + 7x + 2 e D(x) = x - 1 Observe que D(x) é binômio
Acompanhe como fazer P(x)/D(x) por Briot-Ruffini:
A primeira coisa a ser feita é verificar se os termos de P(x) estão ordenados por grau. Neste exemplo, já estão ordenados.
Após, separar os coeficientes de P(x) e o valor de a em x - a (nesse exemplo, a = 1).
Baixar o primeiro coeficiente de P(x)
Multiplicar esse primeiro coeficiente por 1 e somar o resultado ao próximo coeficiente de P(x): 4 ∙ 1 + 5 = 9
Repete-se o passo anterior. Multiplicar 9 por 1 e somar o resultado ao próximo coeficiente de P(x): 9 ∙ 1 + 7 = 16
Novamente, multiplicar 16 por 1 e somar o resultado ao próximo coeficiente de P(x): 16 ∙ 1 + 2 = 18
O último valor (18) é o resto e os demais são os coeficientes do quociente Q(x).
Como o grau de P(x) é 3 e de D(x) é 1, tem-se que o grau de Q(x) é 2 (3 - 1 = 2).
Logo, Q(x) = 4x² + 9x + 16 e R(x) = 18.
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