Para a construção de números complexos, admite-se a existência de um número, representado por i e denominado unidade imaginária, onde

i² = -1

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Observe as seguintes potências:

• i\(^0\) = 1 Todo nº elevado a zero é igual a 1
• i\(^1\) = i Todo nº elevado a 1 é igual a ele mesmo
• i² = -1 Pela definição de números complexos
• i³ = i² ∙ i = (-1) ∙ i = -i
• i\(^4\) = i² ∙ i² = (-1) ∙ (-1) = 1 ( = i\(^0\) )
• i\(^5\) = i² ∙ i³ = (-1) ∙ (-i) = i ( = i\(^1\) )

Reparou que a partir do expoente 4 os valores das potências se repetem?

Os valores das potências de i sempre se repetem. Os resultados possíveis são:

-1, 1, -i e i

Portanto, dado n ∈ \( \mathbb{N} \), a potência i\(^n\) será um destes quatro valores. Para descobrir qual desses valores ocorrerá, basta dividir o número n por 4. Tem-se, então:

i\(^n\) = i\(^r\) onde r é o resto da divisão de n por 4

Exemplo:

i\(^{26}\) = ?

Para determinar o valor de i\(^{26}\), basta obter o resto da divisão 26 por 4. O resto desta divisão é 2. Logo:

i\(^{26}\) = i² = -1

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Dados dois números reais a e b, chama-se número complexo o número

z = a + bi

onde i é a unidade imaginária.

Considere o número complexo z = a + bi.

• a é a parte real do complexo z
• bi é a parte imaginária do complexo z
• b é o coeficiente da parte imaginária
• Se a = 0, tem-se um número imaginário puro
• Se b = 0, tem-se um número real

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Quem é a unidade imaginária do número complexo z = 2 - 5i?

2 -5 -5i i

Se z = a + bi é um número complexo qualquer, seu conjugado é

\( \bar{z} \) = a - bi

Note que inverteu o sinal da parte imaginária.

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Para obter o conjugado de um nº complexo z basta inverter o sinal de

z sua parte real sua parte imaginária

O conjugado do número complexo z = 2 - 5i é

\( \bar{z} \) = 2 + 5i \( \bar{z} \) = - 2 + 5i \( \bar{z} \) = - 2 - 5i

O nº complexo de \( \bar{z} \) = - 12 + 8i é

z = 12 + 8i z = - 12 - 8i z = - 12 - 8i

Sejam z\(_1\) = a + bi e z\(_2\) = c + di.

Se z\(_1\) = z\(_2\), tem-se que a + bi = c + di.

Então a = c e b = d.

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Sabendo que:

• z\(_1\) = 5 - bi
• z\(_2\) = c + 7i
• z\(_1\) = z\(_2\)

podemos concluir que b + c vale:

12 -2 2

Agora iremos trabalhar um pouco com as operações de números complexos. Está pronto?

Voltar Vamos lá

Seja z\(_1\) = a + bi e z\(_2\) = c + di.

z\(_1\) + z\(_2\) = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Exemplo: Sejam A = 8 + 5i e B = 7 + 4i.

A + B = 8 + 5i + 7 + 4i = (8 + 7) + (5 + 4)i = 15 + 9i

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Sabendo que:

• z\(_1\) = 6 + i
• z\(_2\) = 2 - 2i

Quanto vale z\(_1\) + z\(_2\)?

4 - i 8 + i 8 - i 4 + i

Sejam z\(_1\) = a + bi e z\(_2\) = c + di.

z\(_1\) - z\(_2\) = (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

Exemplo: Sejam A = 8 + 5i e B = 7 + 4i.

A - B = 8 + 5i - (7 + 4i) = 8 + 5i - 7 - 4i = (8 - 7) + (5 - 4)i = 1 + i

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Sabendo que:

• z\(_1\) = 6 + i
• z\(_2\) = 2 - 2i

Quanto vale z\(_1\) - z\(_2\)?

4 + 3i 4 - i 8 + i 4 + i

Sejam z\(_1\) = a + bi e z\(_2\) = c + di.

z\(_1\) ∙ z\(_2\) = (a + bi) ∙ (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Vale ressaltar que o resultado foi obtido efetuando a multiplicação:

(a + bi) ∙ (c + di) = ac + adi + cbi + bdi² = ac + (ad + bc)i - bd = (ac - bd) + (ad + bc)i

Exemplo: Sejam A = 8 + 5i e B = 7 + 4i.

A ∙ B = (8 + 5i) ∙ (7 + 4i) = (8 ∙ 7 - 5 ∙ 4) + (8 ∙ 4 + 5 ∙ 7)i = (56 - 20) + (32 + 35)i = 36 + 67i

Se preferir, A ∙ B pode ser feito passo-a-passo:

A ∙ B = (8 + 5i) ∙ (7 + 4i) = 8 ∙ 7 + 8 ∙ 4i + 5i ∙ 7 + 5i ∙ 4i = 56 + 32i + 35i + 20i² = 56 + 67i - 20 = 36 + 67i

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Sejam z\(_1\) = a + bi e z\(_2\) = c + di.

Para efetuar a divisão \( \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{a + bi}{c + di} \) multiplica-se o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.

\( \dfrac{z_1}{z_2} \cdot \dfrac{\bar{z_2}}{\bar{z_2}} = \dfrac{a + bi}{c + di} \cdot \dfrac{c - di}{c - di} \)

Exemplo: Sejam A = 8 + 5i e B = 7 + 4i.

A/B = \(\dfrac{8 + 5i}{7 + 4i} \cdot \dfrac{7 - 4i}{7 - 4i}\) = \(\dfrac{(8 + 5i)(7 - 4i)}{(7 + 4i)(7 - 4i)}\)

\(\dfrac{(8 + 5i)(7 - 4i)}{(7 + 4i)(7 - 4i)}\) = \(\dfrac{8 \cdot 7 - 8 \cdot 4i + 5i \cdot 7 - 5i \cdot 4i}{7^2 + (4i)^2}\)

\(\dfrac{56 - 32i + 35i - 20i^2}{49 + 16i^2}\) = \(\dfrac{56 + 3i + 20}{49 - 16}\) = \(\dfrac{76 + 3i}{33}\)

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Módulo de um número complexo é o comprimento do segmento formado unindo-se a origem do plano cartesiano ao afixo do número complexo. Dado z = a + bi, seu módulo é

|z| = \( \sqrt{a^2 + b^2} \)

Note que o módulo é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos a e b.

Exemplo:

O módulo de z = 4 + 3i vale:

|z| = \( \sqrt{4^2 + 3^2} \) = \( \sqrt{16 + 9} \) = \( \sqrt{25} \) = 5

Graficamente:

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Argumento (θ) de um número complexo é o ângulo formado entre o segmento, obtido pela união entre a origem e o afixo, e o eixo real, orientado positivamente a partir do eixo para o segmento, no sentido anti-horário.

Exemplo:

Para determinar o argumento de z = 1 + i, primeiramente determina-se o módulo:

|z| = \( \sqrt{1^2 + 1^2} \) = \( \sqrt{1 + 1} \) = \( \sqrt{2} \)

Graficamente:

O próximo passo é determinar o argumento θ:

cos θ = \(\dfrac{a}{|z|}\) = \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) = \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

sen θ = \(\dfrac{b}{|z|}\) = \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) = \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

Note que cos θ > 0 e sen θ > 0. Isso significa que θ está no primeiro quadrante.

Portanto, θ = 45º.

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É possível escrever um complexo z = a + bi (forma algébrica) em função do seu módulo e do seu argumento (forma trigonométrica).

Exemplo:

Para determinar a forma trigonométrica de z = 2\(\sqrt{2}\) + 2\(\sqrt{2}\)i, primeiramente deve-se calcular o módulo e o argumento de z:

Módulo: |z| = \( \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2} \) = \( \sqrt{8 + 8} \) = \( \sqrt{16} \) = 4

Argumento:

cos θ = \(\dfrac{a}{|z|}\) = \(\dfrac{2\sqrt{2}}{4}\) = \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

sen θ = \(\dfrac{b}{|z|}\) = \(\dfrac{2\sqrt{2}}{4}\) = \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

θ = 45º

Com o valor do módulo e do argumento, o próximo passo é determinar a forma trigonométrica de z:

z = |z| ∙ (cos θ + i ∙ sen θ)

z = 4 ∙ (cos 45º + i ∙ sen 45º)

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z\(^n\) = (a + bi)\(^n\)

z\(^n\) = |z|\(^n\) ∙ (cos (n ∙ θ) + i ∙ sen (n ∙ θ))

Exemplo:

Sendo z = 2 ∙ (cos 45º + i ∙ sen 45º), z\(^4\) é calculado da seguinte forma:

z\(^4\) = 2\(^4\) ∙ [cos (4 ∙ 45º) + i ∙ sen (4 ∙ 45º)]

z\(^4\) = 16 ∙ (cos 180º + i ∙ sen 180º)

z\(^4\) = 16 ∙ (-1 + i ∙ 0) = -16

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Determine o módulo de z = -12 + 5i.

Solução

|z| = \( \sqrt{(-12)^2 + 5^2} \) = \( \sqrt{144 + 25} \) = \( \sqrt{169} \) = 13

Graficamente:

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Determine o argumento de z = 2 - 2\(\sqrt{3}\)i.

Solução

O primeiro passo é determinar o módulo:

|z| = \( \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} \) = \( \sqrt{4 + 12} \) = \( \sqrt{16} \) = 4

Com o módulo determinado, o próximo passo é calcular o argumento:

cos θ = \(\dfrac{a}{|z|}\) = \(\dfrac{2}{4}\) = \(\dfrac{1}{2}\)

sen θ = \(\dfrac{b}{|z|}\) = \(\dfrac{-2\sqrt{3}}{4}\) = -\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Note que cos θ > 0 e sen θ < 0. Isso significa que θ está no quarto quadrante.

Portanto, θ = 300º

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Represente z = 4 - 4\(\sqrt{3}\)i na forma trigonométrica.

Solução

Primeiramente deve-se calcular o módulo e o argumento de z:

Módulo: |z| = \( \sqrt{4^2 + (-4\sqrt{3})^2} \) = \( \sqrt{16 + 48} \) = \( \sqrt{64} \) = 8

Argumento:

cos θ = \(\dfrac{a}{|z|}\) = \(\dfrac{4}{8}\) = \(\dfrac{1}{2}\)

sen θ = \(\dfrac{b}{|z|}\) = \(\dfrac{-4\sqrt{3}}{8}\) = -\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

θ = 300º

Com o valor do módulo e do argumento, o próximo passo é determinar a forma trigonométrica de z:

z = |z| ∙ (cos θ + i ∙ sen θ)

z = 8 ∙ (cos 300º + i ∙ sen 300º)

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Sendo z = 3 + 4i, calcule o módulo de z\(^4\).

Solução

O módulo de z\(^4\) é:

|z\(^4\)|

|z\(^4\)| é equivalente a (|z|)\(^4\)

Portanto, basta calcular |z| e, após, elevá-lo ao expoente 4.

Módulo: |z| = \( \sqrt{3^2 + 4^2} \) = \( \sqrt{9 + 16} \) = \( \sqrt{25} \) = 5

5\(^4\) = 625

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