Sendo f: A → B uma função bijetora, dizemos que a função g: B → A é a inversa de f se e só se
f(u) = v ⇔ g(v) = u
para todo u ∈ A e v ∈ B.
Repare que o domínio de f é o contra-domínio de g e o contra-domínio de f é o domínio de g.
A função inversa da função f é indicada por f\(^{-1}\).
Observação: Somente as funções bijetoras são inversíveis e suas inversas são também funções bijetoras. Só para lembrar, uma função é bijetora se ela é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.
Exemplo:
Se f(x) = x - 3, sua inversa será indicada por f\(^{-1}\)(x) e calculada da seguinte forma:
Sabemos que f(x) = y (eixo vertical). Substituindo em f(x) = x - 3, temos:
y = x - 3
Invertemos x por y e y por x, ficando assim:
x = y - 3
Agora isolamos y:
y = x + 3
E chegamos na inversa de f(x):
f\(^{-1}\)(x) = x + 3
Sejam as afirmações:
I - Toda função injetora é inversível.
II - Toda função sobrejetora é inversível.
III - Toda função bijetora é inversível.
Está(ão) correta(s)
Seja f(x) = x + 2. Determine f\(^{-1}\)(x).
Solução
y = x + 2
Para determinar a inversa, basta trocar x por y e y por x:
x = y + 2
E isolar y:
x = y + 2
y = x - 2
Logo, f\(^{-1}\)(x) = x - 2
Determine a lei da função inversa de y = 2x - 4.
Solução
y = 2x - 4
Trocando x por y e y por x:
x = 2y - 4
Isolando y:
x = 2y - 4
2y = x + 4
y = \(\dfrac{x + 4}{2}\)
Determine a função inversa de
y = \(\dfrac{x + 2}{x - 1}\)
para x ≠ 1.
Solução
y = \(\dfrac{x + 2}{x - 1}\)
Trocando x por y e y por x:
x = \(\dfrac{y + 2}{y - 1}\)
Isolando y:
x = \(\dfrac{y + 2}{y - 1}\)
x(y - 1) = y + 2
xy - x = y + 2
xy - y = x + 2
y(x - 1) = x + 2
y = \(\dfrac{x + 2}{x - 1}\), para x ≠ 1
Determine f\(^{-1}\)(4) sabendo que f(x) = 3x - 2.
Solução
Primeiramente, calcula-se a inversa de f(x):
y = 3x - 2
Trocando x por y e y por x:
x = 3y - 2
Isolando y:
x = 3y - 2
3y = x + 2
y = \(\dfrac{x + 2}{3}\)
f\(^{-1}\)(x) = \(\dfrac{x + 2}{3}\)
Com a função inversa descoberta, basta substituir 4 em f\(^{-1}\)(x):
f\(^{-1}\)(4) = \(\dfrac{4 + 2}{3}\) = 2
Para que uma função tenha inversa é necessário que ela seja
Sabendo que f(x) = -2x + 1, f\(^{-1}\)(3) vale
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