Para entendermos equações modulares, precisamos saber o que é módulo de um número real.

Note que temos 2 casos a considerar:

• Caso I: Se x for nulo ou positivo, seu módulo será ele mesmo
• Caso II: Se x for negativo, seu módulo será seu oposto

Exemplos:

• a) |5| = 5 Caso I pois 5 é positivo
• b) |-5| = 5 Caso II pois -5 é negativo. Logo seu módulo é -(-5) = 5
• c) |0| = 0 Caso I pois 0 é nulo

Ok, entendi!

A raiz quadrada de um número elevado ao quadrado é igual ao módulo desse número.

\( \sqrt{x^2} = \vert x \vert \)

Exemplos:

• a) \(\sqrt{(21)^2}\) = | 21 | = 21
• b) \(\sqrt{(-8)^2}\) = | -8 | = 8

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Determine \(\sqrt{(-5)^2}\).

Solução

Como \( \sqrt{x^2} = \vert x \vert \), tem-se:

\(\sqrt{(-5)^2}\) = | -5 | = 5

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Determine \(\sqrt{(1 - \sqrt{3})^2}\).

Solução

Como \( \sqrt{x^2} = \vert x \vert \), tem-se:

\(\sqrt{(1 - \sqrt{3})^2}\) = | 1 - \( \sqrt{3} \) | = \( \sqrt{3} \) - 1

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Equação modular é toda equação em que aparece a variável em módulo.

Para a resolução de equações modulares, basta aplicar a definição de módulo.

Exemplo: Resolver a equação modular |x + 2| = 3.

Sabemos que:

\( \vert x \vert = \left\{\begin{array}{rll} x, & \hbox{se} & x ≥ 0 \\ -x, & \hbox{se} & x<0 \end{array}\right. \)

Pela definição, temos dois casos:

\( \vert x + 2 \vert = \left\{\begin{array}{rll} 3, & \hbox{se} & x + 2 ≥ 0 \\ -3, & \hbox{se} & x + 2 < 0 \end{array}\right. \)

1º caso 3, se x + 2 ≥ 0

x + 2 = 3

x = 3 - 2

x = 1

2º caso -3, se x + 2 < 0

x + 2 = - 3

x = - 3 - 2

x = - 5

S = {1, -5}

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Determine o valor de |x - 3| = 2.

Solução

|x - 3| = 2 ⇔ \( \left\{\begin{array}{l} x - 3 = 2 \\ x - 3 = -2 \end{array}\right. \)

Caso I:

x - 3 = 2

x = 2 + 3 = 5

Caso II:

x - 3 = -2

x = 3 - 2 = 1

S = {1, 5}

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Determine o valor de |3x - 1| = |2x + 3|.

Solução

|3x - 1| = |2x + 3| ⇔ \( \left\{\begin{array}{l} 3x - 1 = 2x + 3 \\ 3x - 1 = -(2x + 3) \end{array}\right. \)

Caso I:

3x - 1 = 2x + 3

3x - 2x = 3 + 1

x = 4

Caso II:

3x - 1 = -(2x + 3)

3x - 1 = -2x - 3

3x + 2x = 1 - 3

5x = -2

x = -2/5

S = {-2/5, 4}

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Determine o valor de |3x - 4| = x + 3.

Solução

|3x - 4| = x + 3 ⇔ \( \left\{\begin{array}{l} 3x - 4 = x + 3 \\ 3x - 4 = -(x + 3) \end{array}\right. \)

Caso I:

3x - 4 = x + 3

3x - x = 3 + 4

2x = 7

x = 7/2

Caso II:

3x - 4 = -(x + 3)

3x - 4 = - x - 3

3x + x = 4 - 3

4x = 1

x = 1/4

Atenção: Na equação |3x - 4| = x + 3, observe que x + 3 deve ser maior ou igual a zero, pois não existe módulo negativo. Assim, deve ser realizada a verificação dos valores encontrados:

• Para x = 7/2, tem-se que x + 3 = 7/2 + 3 = 13/2 > 0 (é solução)
• Para x = 1/4, tem-se que x + 3 = 1/4 + 3 = 13/4 > 0 (é solução)

Portanto, S = {1/4, 7/2}

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Determine o valor de |2 + |1 - 3x|| = 3.

Solução

|2 + |1 - 3x|| = 3 ⇔ \( \left\{\begin{array}{l} 2 + |1 - 3x| = 3 \\ 2 + |1 - 3x| = -3 \end{array}\right. \)

Caso I:

2 + |1 - 3x| = 3

|1 - 3x| = 3 - 2

|1 - 3x| = 1 Outra equação módular

|1 - 3x| = 1 \( \left\{\begin{array}{l} 1 - 3x = 1 \Leftrightarrow x = 0 \\ 1 - 3x = -1 \Leftrightarrow x = 2/3 \end{array}\right. \)

Caso II:

2 + |1 - 3x| = -3

|1 - 3x| = -5 (Impossível pois não existe módulo negativo)

S = {0, 2/3}

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Determine o conjunto solução da equação |3x² - 4| = x² - 4.

Solução

|3x² - 4| = x² - 4 ⇔ \( \left\{\begin{array}{l} 3x^2 - 4 = x^2 - 4 \\ 3x^2 - 4 = - (x^2 - 4) \end{array}\right. \)

Caso I:

3x² - 4 = x² - 4

3x² - x² = 4 - 4

2x² = 0

x = 0

Caso II:

3x² - 4 = - (x² - 4)

3x² - 4 = -x² + 4

3x² + x² = 4 + 4

4x² = 8

x² = 2

x = ±\(\sqrt{2}\)

Fazendo a verificação → x² - 4 não pode ser negativo:

• Para x = 0 → 0² - 4 = -4 < 0 (não é solução)
• Para x = -\(\sqrt{2}\) → (-\(\sqrt{2})^2\) - 4 = -2 < 0 (não é solução)
• Para x = \(\sqrt{2}\) → (\(\sqrt{2})^2\) - 4 = -2 < 0 (não é solução)

Portanto, S = ∅

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