Equações exponenciais são equações em que a variável aparece como expoente de uma ou mais potências de base conhecida.
Exemplos:
a) 10\(^x\) = 1000
b) 2\(^{x + 5}\) = 64
c) 3\(^x\) ∙ 9\(^{2x}\) - 81 = 0
Analise as equações e descubra quais são exponenciais
I → 10\(^{-x}\) = 100
II → x² = 16
III → 5\(^{2x}\) = 625
IV → 2\(^x\) ∙ 2\(^{3x}\) = 128
V → 3x + 1 = 6
Para resolvê-las basta fazer com que as bases sejam iguais.
Exemplo:
10\(^x\) = 1000 (1000 = 10\(^3\))
10\(^x\) = 10\(^3\)
Como as bases são iguais (10), operamos os expoentes.
x = 3
2\(^{x + 5}\) = 64 (64 = 2\(^6\))
2\(^{x + 5}\) = 2\(^6\)
Bases são iguais (2), operamos os expoentes.
x + 5 = 6
x = 1
3\(^x\) ∙ 9\(^{2x}\) – 81 = 0
3\(^x\) ∙ (3\(^2\)) \(^{2x}\) = 81
3\(^x\) ∙ 3\(^{4x}\) = 3\(^4\)
3\(^{x + 4x}\) = 3\(^4\)
3\(^{5x}\) = 3\(^4\)
Bases são iguais (3), operamos os expoentes.
5x = 4
x = 4/5
João está resolvendo a equação m² - 8m + 16 = 0 e mônica, a 3\(^{m + 1}\) = 243.
Quem está estudando equação exponencial?
Resolver a equação 2\(^x\) = 16.
Solução
2\(^x\) = 16
2\(^x\) = 2\(^4\)
Como as bases são iguais basta analisar os expoentes:
x = 4
Resolver a equação 9\(^{3x}\) = 27\(^{x - 1}\).
Solução
O primeiro passo é tranformar em potências de mesma base:
9\(^{3x}\) = 27\(^{x - 1}\)
\( (3^2)^{3x} \) = \( (3^3)^{x - 1}\)
\(3^{6x}\) = \(3^{3x - 3}\)
Como as bases são iguais (3) basta igualar os expoentes:
6x = 3x - 3
6x - 3x = -3
3x = -3
x = -1
Determine a solução da equação 5\(^x\) = 1.
Solução
O primeiro passo é tranformar em potências de mesma base:
5\(^x\) = 1 (1 pode ser escrito como 5\(^0\))
5\(^x\) = 5\(^0\)
Como as bases são iguais (5) basta analisar os expoentes:
x = 0
Determine a solução da equação \(3^{x + 1} + 3^x - 3^{x + 2} = -5\).
Solução
\(3^{x + 1} + 3^x - 3^{x + 2} = -5\)
\(3 \cdot 3^x + 3^x - 3^2 \cdot 3^x = -5\)
\(3 \cdot 3^x + 3^x - 9 \cdot 3^x = -5\)
\(- 5 \cdot 3^x = -5\)
\(3^x\) = -5/(-5)
\(3^x\) = 1
\(3^x\) = \(3^0\)
x = 0
Determine a solução da equação \(4^{2x - 2} \cdot 8^{x^2} = 1\).
Solução
\(4^{2x - 2} \cdot 8^{x^2} = 1\)
\((2^2)^{2x - 2} \cdot (2^3)^{x^2} = 1\)
\(2^{4x - 4} \cdot 2^{3x^2} = 1\)
\(2^{4x - 4 + 3x^2} = 1\)
\(2^{4x - 4 + 3x^2} = 2^0\)
4x - 4 + 3x\(^2\) = 0
Resolvendo a equação do 2º grau, obtém-se:
S = {-2, 2/3}
Determine a solução da equação \(3 \cdot 2^{x + 3} = 192 \cdot 3^{x - 3}\).
Solução
\(3 \cdot 2^{x + 3} = 192 \cdot 3^{x - 3}\)
\(3 \cdot 2^x \cdot 2^3 = 192 \cdot 3^x \cdot 3^{-3}\)
\(24 \cdot 2^x = 192 \cdot 3^x \cdot 3^{-3}\)
\(2^x = 8 \cdot 3^x \cdot 3^{-3}\)
\(2^x = 8 \cdot \dfrac{3^x}{3^3}\)
\(2^x = 2^3 \cdot \dfrac{3^x}{3^3}\)
\(\dfrac{2^x}{3^x} = \dfrac{2^3}{3^3}\)
\(\left(\dfrac{2}{3}\right)^x = \left(\dfrac{2}{3}\right)^3\)
x = 3
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