Seja \( P(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n – 1} + \cdots + a_{n – 1} x + a_n \), um polinômio na variável x, de grau n > 0 (\(a_0 \ne 0\)).
Então
\( a_0 x^n + a_1 x^{n – 1} + \cdots + a_{n – 1} x + a_n = 0 \)
é uma equação algébrica (ou polinomial) de grau n.
Na equação algébrica P(x) = 0, todo número complexo r, tal que P(r) = 0, chama-se raiz (ou zero) da equação.
Em uma equação algébrica P(x) = 0, r será raiz de P(x) se
Toda equação algébrica de grau n, onde n ≥ 1, admite pelo menos uma raiz complexa.
\( P(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n – 1} + \cdots + a_{n – 1} x + a_n \) é um polinômio de grau n > 0 e pode ser fatorado da seguinte forma:
\( P(x) = a_0 \cdot (x - r_1) \cdot (x - r_2) \cdot \cdots \cdot (x - r_n) \)
onde \(r_1\), \(r_2\), ..., \(r_n\) são raízes de P(x).
Se P(x) = (x - r)\(^m\) ∙ Q(x), com m ∈ \(\mathbb{N}^*\) e Q(r) ≠ 0, então r é uma raiz de multiplicidade m de P(x) = 0.
Seja P(x) um polinômio de grau n, onde n ≥ 2, com coeficientes reais. Seja o complexo z = a + bi, se P(z) = 0, então P(\( \bar{z} \)) = 0.
Deste teorema, tiramos as seguintes conclusões:
São as relações entre os coeficientes de uma equação algébrica e as raízes da mesma equação.
Soma das raízes:
\( r_1 + r_2 + \cdots + r_n = -\frac{a_1}{a_0} \)
Soma dos produtos das raízes duas a duas:
\( r_1 \cdot r_2 + r_1 \cdot r_3 + \cdots + r_{n-1} \cdot r_n = \frac{a_2}{a_0} \)
Soma dos produtos das raízes três a três:
\( r_1 \cdot r_2 \cdot r_3 + r_1 \cdot r_2 \cdot r_4 + \cdots + r_{n-2} \cdot r_{n-1} \cdot r_n = -\frac{a_3}{a_0} \)
.
.
.
Produto das raízes:
\( r_1 \cdot r_2 \cdot r_3 \cdot \cdots \cdot r_n = (-1)^n \cdot \frac{a_n}{a_0}\)
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