O conjunto dos números naturais é formado pelos números que são utilizados na contagem dos elementos de um conjunto.

\(\mathbb{N}\) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

Observação: O zero não é natural, porém, a maioria dos autores de livros de Matemática o consideram um número natural. Então, observe as referências bibliográficas dos vestibulares e concursos públicos que for fazer.

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O conjunto dos números inteiros é formado por todos os números naturais e também pelos opostos dos naturais.

\(\mathbb{Z}\) = {..., – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

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Os números naturais pertencem ao conjunto dos números inteiros?

Sim Não

Chama-se racional todo número que é o quociente entre dois números inteiros.

Assim, são números racionais:

• os números inteiros. Exemplo: 2 = \(\dfrac{4}{2}\) = \(\dfrac{6}{3}\) = \(\dfrac{-20}{-10}\)
• os decimais exatos. Exemplo: 4,5 = \(\dfrac{9}{2}\) = \(\dfrac{45}{10}\)
• os decimais não exatos e periódicos (dízimas). Exemplo: 0,333 = \(0,\bar{3}\) = \(\dfrac{3}{9}\)

\(\mathbb{Q}\) = { p/q | p ∈ \(\mathbb{Z}\), q ∈ \(\mathbb{Z}\), q ≠ 0 }

Observação: O conjunto dos números racionais é formado pelos números inteiros, decimais exatos e decimais não exatos e periódicos (conhecidos também como dízimas periódicas). Em outras palavras, todo número que pode ser representado na forma \( \dfrac{p}{q} \) é racional.

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• ( 1 ) O conjunto dos números naturais está contido no conjuntos dos números racionais
• ( 2 ) O conjunto dos números inteiros está contido no conjuntos dos números racionais
• ( 4 ) O conjunto dos números racionais está contido no conjuntos dos números inteiros
• ( 8 ) Se p e q são inteiros, então p/q é inteiro

A soma das alternativas verdadeiras está entre

1 e 5 6 e 10 11 e 15

Se A e B são números inteiros, então B/A é um número

natural inteiro racional

O conjunto dos números irracionais (\(\mathbb{I}\)) é formado pelos números decimais não exatos e não periódicos. Ou seja, números com infinitas casas decimais após a vírgula e sem repetição de período são chamados de irracionais.

Exemplos:

• 4,157856...
• 0,125005486...
• 150,95670513...

Os conjuntos dos números irracionais e racionais não possuem elemento em comum, ou seja, a intersecção entre eles é vazia.

\(\mathbb{Q}\) ∩ \(\mathbb{I}\) = ∅

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O conjunto dos números reais é a união do conjunto dos racionais (\(\mathbb{Q}\)) com o conjunto dos irracionais (\(\mathbb{I}\)):

\(\mathbb{R}\) = \(\mathbb{Q} \cup \mathbb{I}\)

Repare no diagrama que:

• \(\mathbb{N}\) ⊂ \(\mathbb{Z}\) ⊂ \(\mathbb{Q}\) ⊂ \(\mathbb{R}\)
• \(\mathbb{I}\) ⊂ \(\mathbb{R}\)
• \(\mathbb{Q}\) ∩ \(\mathbb{I}\) = ∅

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Alguns elementos podem ser excluídos de um conjunto por meio de delimitadores. Estes delimitadores são representados por *, + e -:

• O sinal * (asterisco) elimina o número zero de um conjunto.
• O sinal + (mais) elimina os números negativos de um conjunto.
• O sinal – (menos) elimina os números positivos de um conjunto.

Exemplos:

• \( \mathbb{Z}^* \) = {..., -2, -1, 1, 2, 3, ...}
• \( \mathbb{Z}_+ \) = {0, 1, 2, 3, ...}
• \( \mathbb{Z}_- \) = {..., -2, -1, 0}
• \( \mathbb{Z}^*_+ \) = {1, 2, 3, 4, ...}

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O conjunto dos números reais positivos é representado por

\( \mathbb{R}_+ \) \( \mathbb{R}_- \) \( \mathbb{R}^*_+ \) \( \mathbb{R}^* \)

Os intervalos lineares são subconjuntos do conjunto dos números reais e podem ser:

• Finitos: quando estão compreendidos entre dois extremos definidos
• Infinitos: quando possuem apenas um extremo definido ou nenhum extremo

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Alguns subconjuntos de \(\mathbb{R}\) tem notações especiais:

H = {x ∈ \(\mathbb{R}\) | a ≤ x ≤ b} é formado por todos os números reais compreendidos entre a e b, inclusive a e b. Este subconjunto de \(\mathbb{R}\), recebe o nome de intervalo fechado de extremos a e b.

J = {x ∈ \(\mathbb{R}\) | d < x < h} é formado por todos os números reais compreendidos entre d e h, exclusive d e h. Este subconjunto de \(\mathbb{R}\), recebe o nome de intervalo aberto de extremos d e h.

K = {x ∈ \(\mathbb{R}\) | c ≤ x < j} é formado por todos os números reais compreendidos entre c e j, inclusive c e exclusive j. Este subconjunto de \(\mathbb{R}\), recebe o nome de intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de extremos c e j.

L = {x ∈ \(\mathbb{R}\) | m < x ≤ n} é formado por todos os números reais compreendidos entre m e n, exclusive m e inclusive n. Este subconjunto de \(\mathbb{R}\), recebe o nome de intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de extremos m e n.

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Sendo a um número real qualquer, os intervalos infinitos são conjuntos da forma:

{x ∈ \(\mathbb{R}\) | x ≤ a} = ]–∞; a] = (–∞; a]

{x ∈ \(\mathbb{R}\) | x < a} = ]–∞; a[ = (–∞; a)

{x ∈ \(\mathbb{R}\) | x ≥ a} = [a; ∞[ = [a; ∞)

{x ∈ \(\mathbb{R}\) | x > a} = ]a; ∞[ = (a; ∞)

Observação: \(\mathbb{R}\) = ]–∞; ∞[ = (–∞;∞)

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Observe a figura:

A bolinha fechada indica que o ponto c _____ ao intervalo e a bolinha aberta indica que o ponto j _____ ao intervalo.

não pertence - não pertence pertence - não pertence pertence - pertence não pertence - pertence

Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso)

• a) Se a ∈ \(\mathbb{I}\) e B ∈ \(\mathbb{I}\), então (a + b) ∈ \(\mathbb{I}\)
• b) Se a ∈ \(\mathbb{I}\) e B ∈ \(\mathbb{I}\), então (a ∙ b) ∈ \(\mathbb{I}\)

Solução

a) Para provar que uma afirmação é falsa, basta apresentar um exemplo que comprove a falsidade.

\(\sqrt{3}\) ∈ \(\mathbb{I}\) e -\(\sqrt{3}\) ∈ \(\mathbb{I}\). Mas a soma \(\sqrt{3}\) + (-\(\sqrt{3}\)) = 0. 0 ∉ \(\mathbb{I}\). F

b) Considere os mesmos dados do item anterior.

\(\sqrt{3}\) ∙ (-\(\sqrt{3}\)) = \(\sqrt{3}^2\) = 3. 3 ∉ \(\mathbb{I}\). F

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Determine uma propriedade para os conjuntos D(12) e M(2), onde D é o conjunto dos divisores e M o conjunto dos múltiplos

Solução

D(12) = {x ∈ Z | x divide 12}

M(2) = {x ∈ Z | x é múltiplo de 2}

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