Binômio de Newton é toda expressão do tipo
(x + a)\( ^n \) com x ∈ \( \mathbb{C} \), a ∈ \( \mathbb{C} \) e n ∈ \( \mathbb{N} \)
Sendo n e p números naturais, com n ≥ p, defini-se:
\( {n \choose p} = \dfrac{n!}{p! (n - p!)} \)
Exemplos:
a) \( {5 \choose 3} = \dfrac{5!}{3! (5 - 3!)} = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2!} = \dfrac{20}{2} \) = 10
b) \( {8 \choose 5} = \dfrac{8!}{5! (8 - 5!)} = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 3!} = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} \) = 8 ∙ 7 = 56
Determine \( {12 \choose 8} \).
Solução
\( {12 \choose 8} = \dfrac{12!}{8! (12 - 8!)} = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}{8! \cdot 4!} = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \) = 11 ∙ 5 ∙ 9 = 495
Sendo n e p números naturais, com n ≥ p, chamamos de números binomiais complementares aos binomiais \( {n \choose p} \) e \( {n \choose k} \), onde p + k = n.
Exemplos:
a) \( {9 \choose 3} \) e \( {9 \choose 6} \)
b) \( {14 \choose 5} \) e \( {14 \choose 9} \)
O principal fato relativo entre os números binomiais complementares é que eles são iguais.
n, p, k ∈ \( \mathbb{N} \) e p + k = n \( \Rightarrow {n \choose p} = {n \choose k} \)
O valor de k para que \( {7 \choose 2} \) e \( {7 \choose k} \) sejam complementares é
\( {x \choose 4} \) e \( {x \choose 15} \) serão complementares se, e somente se, x for igual a
Dois números binomiais do tipo \( {n \choose p} \) e \( {n \choose k} \) são iguais se e só se têm o mesmo "denominador" ou são complementares.
Exemplos:
a) \( {9 \choose p} = {9 \choose 4} \)
\( \left\{\begin{array}{l} p = 4 \ ou \\ p + 4 = 9 \Leftrightarrow p = 5 \end{array}\right. \)
b) \( {6 \choose p} = {6 \choose 2p} \)
\( \left\{\begin{array}{l} p = 2p \Leftrightarrow p - 2p = 0 \Leftrightarrow -p = 0 \Leftrightarrow p = 0 \ ou \\ p + 2p = 6 \Leftrightarrow 3p = 6 \Leftrightarrow p = 2 \end{array}\right. \)
Analise e marque as afirmações verdadeiras:
Os números binomiais \( {12 \choose 4} \) e \( {12 \choose p} \) serão iguais se
Determine a solução da equação \( {15 \choose 3 - x} = {15 \choose 2x} \).
Solução
Note que x = 12 não serve pois o denominador do 1º número binomial ficaria negativo (3 - x ⇔ 3 - 12 = -9) e o denominador do 2º número binomial ficaria maior do que o "numerador" (2x ⇔ 2 ∙ 12 = 24 > 15). Isso não pode acontecer.
Logo, S = {1}
Os números binomiais \( {n \choose p} \) podem ser escritos numa tabela triangular de tal modo que os binomiais de mesmo numerador fiquem todos numa mesma linha e os de mesmo denominador fiquem todos numa mesma coluna, formando assim o triângulo de Pascal, também conhecido como triângulo de Tartaglia.
\( {0 \choose 0} \)
\( {1 \choose 0} \quad {1 \choose 1} \)
\( {2 \choose 0} \quad {2 \choose 1} \quad {2 \choose 2} \)
\( {3 \choose 0} \quad {3 \choose 1} \quad {3 \choose 2} \quad {3 \choose 3} \)
\( {4 \choose 0} \quad {4 \choose 1} \quad {4 \choose 2} \quad {4 \choose 3} \quad {4 \choose 4} \)
\( \vdots \)
\( {n \choose 0} \quad {n \choose 1} \quad {n \choose 2} \quad {n \choose 3} \quad {n \choose 4} \cdots {n \choose n} \)
Calculando cada número binomial, obtém-se:
\( {0 \choose 0} \) = 1
\( {1 \choose 0} \) = 1 \( {1 \choose 1} \) = 1
\( {2 \choose 0} \) = 1 \( {2 \choose 1} \) = 2 \( {2 \choose 2} \) = 1
\( {3 \choose 0} \) = 1 \( {3 \choose 1} \) = 3 \( {3 \choose 2} \) = 3 \( {3 \choose 3} \) = 1
\( {4 \choose 0} \) = 1 \( {4 \choose 1} \) = 4 \( {4 \choose 2} \) = 6 \( {4 \choose 3} \) = 4 \( {4 \choose 4} \) = 1
.........
Substituindo os valores nos locais correspondentes no triângulo de Pascal, obtém-se:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
.........
Note que a soma de todos os elementos da linha de numerador n é igual à 2\(^n\):
n = 0 → 1 (soma 1 = 2\(^0\))
n = 1 → 1 + 1 (soma 2 = 2\(^1\))
n = 2 → 1 + 2 + 1 (soma 4 = 2\(^2\))
n = 3 → 1 + 3 + 3 + 1 (soma 8 = 2\(^3\))
n = 4 → 1 + 4 + 6 + 4 + 1 (soma 16 = 2\(^4\))
.........
Escolha, calcule e selecione um número binomial e verifique se acertou
| \( {0 \choose 0} \) | |||||
| \( {1 \choose 0} \) | \( {1 \choose 1} \) | ||||
| \( {2 \choose 0} \) | \( {2 \choose 1} \) | \( {2 \choose 2} \) | |||
| \( {3 \choose 0} \) | \( {3 \choose 1} \) | \( {3 \choose 2} \) | \( {3 \choose 3} \) | ||
| \( {4 \choose 0} \) | \( {4 \choose 1} \) | \( {4 \choose 2} \) | \( {4 \choose 3} \) | \( {4 \choose 4} \) | |
| \( {5 \choose 0} \) | \( {5 \choose 1} \) | \( {5 \choose 2} \) | \( {5 \choose 3} \) | \( {5 \choose 4} \) | \( {5 \choose 5} \) |
Como o nome sugere, a relação de Stifel fornece uma relação entre os elementos do triângulo de Pascal. Acompanhe.
Sabemos que dois números binomiais vizinhos estão na mesma linha e, portanto, têm o mesmo numerador n:
Por exemplo, numerador (linha) 5 e denominadores (colunas) 0 e 1 → \( {5 \choose 0} \) \( {5 \choose 1} \)
Sabemos, também, que dois números binomiais vizinhos estão em colunas consecutivas e, portanto, seus denominadores são dois números naturais consecutivos p e p + 1:
\( {n \choose p} \) \( {n \choose p+1} \)
Relação de Stifel: Então, o resultado da adição destes binomiais é um binomial situado na linha imediatamente seguinte (numerador n + 1) e debaixo do 2º número somado (denominador p + 1):
\( {n \choose p} + {n \choose p + 1} = {n + 1 \choose p + 1} \)
Exemplos:
a) \( {7 \choose 2} + {7 \choose 3} = {8 \choose 3} \)
b) \( {14 \choose 5} + {14 \choose 6} = {15 \choose 6} \)
Como exemplo, temos 1 + 1 = 2 e 3 + 3 = 6:
| \( {0 \choose 0} \) = 1 | ||||||||
| \( {1 \choose 0} \) = 1 | + | \( {1 \choose 1} \) = 1 | ||||||
| = | ||||||||
| \( {2 \choose 0} \) = 1 | \( {2 \choose 1} \) = 2 | \( {2 \choose 2} \) = 1 | ||||||
| \( {3 \choose 0} \) = 1 | \( {3 \choose 1} \) = 3 | + | \( {3 \choose 2} \) = 3 | \( {3 \choose 3} \) = 1 | ||||
| = | ||||||||
| \( {4 \choose 0} \) = 1 | \( {4 \choose 1} \) = 4 | \( {4 \choose 2} \) = 6 | \( {4 \choose 3} \) = 4 | \( {4 \choose 4} \) = 1 | ||||
| ......... |
E assim sucessivamente...
Determine \( {4 \choose 0} + {4 \choose 1} + {4 \choose 2} + {4 \choose 3} + {4 \choose 4} \).
Solução
Temos uma soma de binomiais. Pelo triângulo de Pascal, observe que o numerador é 4 e a linha está completa (colunas 0, 1, 2, 3, 4).
Logo, 2\(^4\) = 16
Determine \( {7 \choose 1} + {7 \choose 2} + {7 \choose 3} + {7 \choose 4} + {7 \choose 5} + {7 \choose 6} + {7 \choose 7} \).
Solução
Pelo triângulo de Pascal, observe que o numerador é 7. Mas a linha do numerador 7 não está completa. Note que falta o número binomial \( {7 \choose 0} \).
Então, temos que somar todos os elementos e subtrair o elemento referente ao número binomial \( {7 \choose 0} \):
2\(^7\) - 1 = 128 - 1 = 127
Determine \( {n \choose 0} + {n \choose 1} + {n \choose 2} + {n \choose 3} + ... + {n \choose n} \) = 4096.
Solução
Observe que a soma apresentada é a soma dos números binomiais da linha de numerador n do triângulo de Pascal. Então:
2\(^n\) = 4096
2\(^n\) = 2\(^{12}\)
n = 12
Determine \( {20 \choose 15} + {20 \choose 16} + {21 \choose 17} \).
Solução
Aplicando Stifel nos dois primeiros termos, temos:
\( {20 \choose 15} + {20 \choose 16} \) + \( {21 \choose 17} \) = \( {21 \choose 16} \) + \( {21 \choose 17} \)
Novamente, aplicando Stifel nos dois termos, temos:
\( {21 \choose 16} + {21 \choose 17} \) = \( {22 \choose 17} \)
\( {22 \choose 17} \) = \( \dfrac{22!}{17! (22 - 17!)} = \dfrac{22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17!}{17! \cdot 5!} = \dfrac{22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \) = 26.334
O desenvolvimento do Binômio de Newton segue o seguinte:
\( (x + a)^n = {n \choose 0} \cdot x^n + {n \choose 1} \cdot x^{n-1} \cdot a^1 + \cdots + {n \choose n} \cdot a^n \)
O desenvolvimento do binômio (x + a)\( ^n \) é formado por n + 1 termos.
Exemplo:
O desenvolvimento do binômio (x + 2)\(^5\) é formado por 5 + 1 termos, isto é, 6 termos.
\( (x + 2)^5 = {5 \choose 0} \cdot x^5 \cdot 2^0 + {5 \choose 1} \cdot x^{5-1} \cdot 2^1 + {5 \choose 2} \cdot x^{5-2} \cdot 2^2 + {5 \choose 3} \cdot x^{5-3} \cdot 2^3 + {5 \choose 4} \cdot x^{5-4} \cdot 2^4 + {5 \choose 5} \cdot x^{5-5} \cdot 2^5 \)
\( (x + 2)^5 = 1 \cdot x^5 \cdot 1 + 5 \cdot x^4 \cdot 2 + 10 \cdot x^3 \cdot 4 + 10 \cdot x^2 \cdot 8 + 5 \cdot x \cdot 16 + 1 \cdot 1 \cdot 32 \)
\( (x + 2)^5 = x^5 + 10 \cdot x^4 + 40 \cdot x^3 + 80 \cdot x^2 + 80 \cdot x + 32 \)
O termo geral do binômio de Newton é:
\( T_{p+1} = {n \choose p} \cdot x^{n-p} \cdot a^p \)
Exemplo:
No desenvolvimento do binômio (3x - 2)\(^6\) o 3º termo é dado por:
\( T_{p+1} = {n \choose p} \cdot x^{n-p} \cdot a^p \)
Como é o 3º termo, p = 2 (Lembra que a coluna começa em 0):
\( T_{2+1} = {6 \choose 2} \cdot (3x)^{6-2} \cdot (-2)^2 \)
\( T_3 = \dfrac{6!}{2! \cdot (6-2)!} \cdot (3x)^4 \cdot 4 \)
\( T_3 = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2! \cdot 4!} \cdot 81x^4 \cdot 4 \)
\( T_3 = 15 \cdot 81x^4 \cdot 4 = 4860x^4 \)
Desenvolva (2x + 3)\(^4\).
Solução
O desenvolvimento do binômio (2x + 3)\(^4\) é formado por 5 termos (4 + 1).
\( (2x + 3)^4 = {4 \choose 0} \cdot (2x)^4 \cdot 3^0 + {4 \choose 1} \cdot (2x)^{4-1} \cdot 3^1 + {4 \choose 2} \cdot (2x)^{4-2} \cdot 3^2 + {4 \choose 3} \cdot (2x)^{4-3} \cdot 3^3 + {4 \choose 4} \cdot (2x)^{4-4} \cdot 3^4 \)
\( (2x + 3)^4 = 1 \cdot 16x^4 \cdot 1 + 4 \cdot 8x^3 \cdot 3 + 6 \cdot 4x^2 \cdot 9 + 4 \cdot 2x \cdot 27 + 1 \cdot 1 \cdot 81 \)
\( (2x + 3)^4 \) = \( 16x^4 + 96 \cdot x^3 + 216 \cdot x^2 + 216 \cdot x + 81 \)
Determine o 6º termo do binômio (3x - 2)\(^6\).
Solução
\( T_{p+1} = {n \choose p} \cdot x^{n-p} \cdot a^p \)
Como é o 6º termo, p = 5:
\( T_{5+1} = {6 \choose 5} \cdot (3x)^{6-5} \cdot (-2)^5 \)
\( T_6 = \dfrac{6!}{5! \cdot (6-5)!} \cdot (3x)^1 \cdot (-32) \)
\( T_6 \) = 6 ∙ 3x ∙ (-32) = -576x
Determine, se existir, o termo em x\(^{10}\) no desenvolvimento do binômio \((2x^2 - 5)^8\).
Solução
\( T_{p+1} = {n \choose p} \cdot x^{n-p} \cdot a^p \)
\( T_{p+1} = {8 \choose p} \cdot (2x^2)^{8-p} \cdot (-5)^p \)
\( T_{p+1} = {8 \choose p} \cdot 2^{8-p} \cdot x^{16-2p} \cdot (-5)^p \)
O termo procurado é em x\(^{10}\). Então:
\( x^{16-2p} = x^{10} \)
16 - 2p = 10
2p = 6
p = 3
Note que o termo procurado é o 4º, pois p + 1 = 3 + 1 = 4. Substituindo p = 3, vem:
\( T_{3+1} = {8 \choose 3} \cdot 2^{8-3} \cdot x^{16-2(3)} \cdot (-5)^3 \)
\( T_4 = \dfrac{8!}{3! \cdot (8-3)!} \cdot 2^5 \cdot x^{10} \cdot (-125) \)
\( T_4 = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{3! \cdot 5!} \cdot 32 \cdot x^{10} \cdot (-125) \)
\( T_4 = 56 \cdot 32 \cdot x^{10} \cdot (-125) \)
\( T_4 \) = -224000 x\(^{10}\)
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