Medidas de tendência central são indicadores que apresentam os dados em evidência dentro do conjunto analisado.
As principais medidas de tendência central são:
As medidas de tendência central são utilizadas para determinar o número central dentro de uma pesquisa estatística.
Para descobrir a idade média da equipe, temos que somar as idades dos membros e dividir pela quantidade de membros:
Média = \( \dfrac{18 + 24 + 20 + 22}{4} \) = 21
A média de idade da equipe é de 21 anos. É como se os 4 membros da equipe tivessem 21 anos.
Esta média que acabamos de encontrar é chamada de média aritmética.
Em estatística, a média aritmética é representada por
(\( \bar{x} \))
Para ver se você entendeu, vamos praticar um pouco...
O técnico de um time de futsal tem dois grupos de jogadores à disposição para disputar uma partida contra o líder do campeonato. As idades, em anos, dos jogadores dos dois grupos são:
Para enfrentar o líder do campeonato, o técnico pretende utilizar o grupo mais experiente, ou seja, aquele que tem média de idade maior. Sendo assim, o time será formado pelo grupo:
Até aqui vimos conjunto de dados que não precisaram ser agrupados. Nestes casos, a média que utilizamos foi a média aritmética simples.
Na média aritmética simples, o peso do dado é 1. No exemplo da equipe de Free Fire, tivemos:
Logo, para obtermos a soma das idades poderíamos fazer:
1 × 18 + 1 × 24 + 1 × 20 + 1 × 22
Como o 1 é o elemento neutro da multiplicação (não altera o resultado, todo número multiplicado por 1 é o próprio número), não precisamos multiplicar os dados por 1. Podemos fazer:
18 + 24 + 20 + 22
Agora, existem pesquisas estatísticas que utilizam dados que precisam ser agrupados. Por exemplo, em uma festa de reveillon deseja-se saber a média de idade das pessoas. Certamente, nesta festa, existem várias pessoas com 20 anos, com 21 anos, etc. Neste caso, temos que considerar a quantidade de pessoas com 20 anos, com 21 anos, etc. Então, a média de idade será determinada pela média aritmética ponderada.
Se a diferença entre média aritmética simples e ponderada ainda lhe parece obscura, não se preocupe porque você certamente irá entender adiante, já que iremos trabalhar bastante com elas.
Para determinar a média aritmética para dados não agrupados basta lembrar do exemplo da média de idade dos membros da equipe de Free Fire.
A média aritmética para dados não agrupados é dada por:
\( \bar{x} = \dfrac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} \)
onde \(x_i\) são os valores da variável e n o número de valores.
Como interpretar a fórmula?
Voltemos ao exemplo das idades dos membros da equipe de Free Fire. Suas idades são: 18, 24, 20 e 22 anos.
Temos uma sequência de 4 elementos: 18, 24, 20 e 22.
Na fórmula:
Como i = 1 e n = 4, \(\sum_{i=1}^n x_i\) significa que iremos somar os elementos da sequência, iniciando pela posição 1:
\(\sum_{i=1}^n x_i\) = 18 + 24 + 20 + 22 = 84
A média aritmética, representada por \( \bar{x} \) é igual ao somatório dividido pela quantidade de elementos:
\( \bar{x} = \dfrac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} = \dfrac{84}{4} \) = 21
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA SEM INTERVALOS DE CLASSES
\( \bar{x} = \dfrac{\sum_{i=1}^n f_i \cdot x_i}{\sum_{i=1}^n f_i} \) (média aritmética ponderada)
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA COM INTERVALOS DE CLASSES
Também utiliza-se a média aritmética ponderada, mas os valores de \(X_i\) são os pontos médios de suas respectivas classes.
O desvio em relação à média aritmética é calculado por:
\( d_i = X_i - \bar{x} \)
Propriedades:
Um comerciante de frutas possuía 70 dúzias de laranjas de uma mesma qualidade para vender num dia ensolarado do mês de outubro. Inicialmente, começou vendendo a dúzia dessa laranja por R$ 3,70 e, conforme as vendas não correspondiam às suas expectativas, foi reduzindo o preço para garantir a venda de toda a mercadoria. Dessa forma, o preço da laranja foi reduzido em três ocasiões. A tabela informa a quantidade de dúzias de laranjas vendidas em cada horário daquele dia e os respectivos preços cobrados pelo comerciante.
| Período | Preço por dúzia (R$) | Quantidade de dúzias vendidas |
|---|---|---|
| Das 8h às 10h | 3,70 | 10 |
| Das 10h às 12h | 3,20 | 15 |
| Das 12h às 14h | 2,80 | 30 |
| Das 14h às 16h | 2,50 | 15 |
Solução
a) \( \bar{x} = \dfrac{10 \cdot 3,7 + 15 \cdot 3,2 + 30 \cdot 2,8 + 15 \cdot 2,5}{10 + 15 + 30 + 15} = \dfrac{37 + 48 + 84 + 37,5}{70} = \dfrac{206,5}{70} \) = R$ 2,95
b) \( \bar{x} = \dfrac{25 \cdot 3,42 + 45 \cdot P}{70} \) = 3,15
85,5 + 45P = 220,5
45P = 135
P = 135/45 = R$ 3
Em 2010, uma loja de carros vendeu 270 carros a mais que em 2009. Sabendo que a quantidade de carros vendida em 2009 e em 2010 foi de 3n e 5n, respectivamente, determine a média aritmética simples das vendas efetuadas por essa loja durante os dois anos.
Solução
Sejam V9 e V10 a quantidade de carros vendidos em 2009 e 2010, respectivamente.
Substituindo (I) e (II) em (III), vem:
5n = 3n + 270
2n = 270
n = 135
Substituindo n = 135 em (I) e (II), vem:
A média aritmética é dada por:
\(\bar{x} = \dfrac{V9 + V10}{2} = \dfrac{405 + 675}{2}\) = 1080/2 = 540
Em uma amostra cujas frequências dos elementos não são todas iguais, chama-se moda todo elemento de maior frequência possível.
DADOS NÃO AGRUPADOS
Basta procurar o valor que mais se repete
DADOS AGRUPADOS
SEM INTERVALOS DE CLASSES
Basta identificar o valor da variável que possui maior frequência.
COM INTERVALOS DE CLASSES
A classe com maior frequência é denominada classe modal e o cálculo da moda bruta é semelhante ao do ponto médio do intervalo de classe.
Luiz pesquisou a idade de 18 pessoas e obteve a seguinte tabela:
| 72 | 40 | 37 | 32 | 7 | 7 |
| 68 | 40 | 40 | 14 | 8 | 7 |
| 42 | 40 | 35 | 13 | 13 | 5 |
Determine a moda das idades pequisadas por Luiz?
Solução
Para calcular a moda, deve-se verificar com que frequência cada uma das idades se repete. Observe que as idades variam entre 5 e 72 anos.
| Idade | Freqência absoluta |
|---|---|
| 5 | 1 |
| 7 | 3 |
| 8 | 1 |
| 13 | 2 |
| 14 | 1 |
| 32 | 1 |
| 35 | 1 |
| 37 | 1 |
| 40 | 4 |
| 42 | 1 |
| 68 | 1 |
| 72 | 1 |
Observe na tabela que a idade com maior frequência é 40.
Logo, Mo = 40
A mediana é o número que se encontra no centro de uma série de números, ou seja, separa os valores em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.
DADOS NÃO AGRUPADOS
Se o número de elementos n for ímpar, a mediana é o elemento central:
\( i = \dfrac{n + 1}{2} \)
Se o número de elementos n for par, a mediana é a média aritmética dos elementos centrais:
\( i = \dfrac{n}{2} \)
DADOS AGRUPADOS
No caso de distribuição de frequência deve-se primeiramente determinar a frequência acumulada. Determina-se, então, o valor que divide a distribuição em duas partes iguais, aplicando a fórmula \( \dfrac{\sum f_i}{2} \) e depois verificar qual a menor frequência acumulada que supera esse valor. O valor correspondente a frequência acumulada encontrada é a mediana.
Se acontecer
\( \dfrac{\sum f_i}{2} = F_i \)
a mediana será dada por
Md = \( \dfrac{x_i + x_{i + 1}}{2} \)
Determine a mediana do conjunto de dados: 1 2 2 3 4 4 5.
Solução
Note que o conjunto já estão organizados em ordem crescente e possui 7 elementos.
Logo, a mediana é o elemento central (4º) do conjunto: Md = 3
Determine a mediana do conjunto de dados: 5 7 1 3 2 4 1 7.
Solução
O primeiro passo é ordenar o conjunto em ordem crescente ou decrescente.
5 7 1 3 2 4 1 7
1 1 2 3 4 5 7 7
Note que o conjunto possui 8 elementos.
Logo, a mediana é determinada pela média aritmética entre os dois elementos centrais (4º e 5º elementos) do conjunto:
md = (3 + 4)/2 = 3,5
Determine a mediana do conjunto de dados: 1 5 7 3 3 6 3 2.
Solução
O primeiro passo é ordenar o conjunto em ordem crescente ou decrescente.
1 5 7 3 3 6 3 2
1 2 3 3 3 5 6 7
Note que o conjunto possui 8 elementos.
Logo, a mediana é determinada pela média aritmética entre os dois elementos centrais (4º e 5º elementos) do conjunto:
md = (3 + 3)/2 = 3
A tabela abaixo apresenta a variação de temperatura (em ºC) máxima registrada numa cidade européia entre 14 e 22 de janeiro.
| Dia | 14/01 | 15/01 | 16/01 | 17/01 | 18/01 | 19/01 | 20/01 | 21/01 | 22/01 |
| Temperatura (ºC) | 4,6 | 10,4 | 9,9 | 15,1 | 12,4 | 17,5 | 15,1 | 10,5 | 12,1 |
Determine a moda (Mo), mediana (Md) e a média aritmética (M) das temperaturas.
Solução
Para calcular a média, basta somar as temperaturas e dividir pela quantidade de temperaturas registradas:
M = \(\dfrac{4,6 + 10,4 + 9,9 + 15,1 + 12,4 + 17,5 + 15,1 + 10,5 + 12,1}{9}\)
M = 11,96 ºC
Para determinar a moda, basta verificar a temperatura com maior frequência. Observando a tabela, percebe-se que 15,1 apareceu duas vezes, enquanto que as outras apareceram apenas uma vez.
Logo, Mo = 15,1 ºC
Para determinar a mediana, deve-se, ordenar os dados da tabela, pois estão desorganizados:
4,6 - 10,4 - 9,9 - 15,1 - 12,4 - 17,5 - 15,1 - 10,5 - 12,1
4,6 - 9,9 - 10,4 - 10,5 - 12,1 - 12,4 - 15,1 - 15,1 - 17,5
Agora, basta identificar o elemento central. Como tem 9 temperaturas, o elemento central é o 5º: Md = 12,1 ºC
Esta foi uma demonstração gratuita.
Logue para ter acesso a todo conteúdo interativo.
Hum, ainda não criou conta!?
Crie sua conta e ative-a para ter acesso a todo conteúdo interativo.