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Antes de estudarmos distribuição de frequência precisamos analisar tabelas.

Tabela primitiva é aquela onde os elementos da variável ainda não foram numericamente organizados.

Exemplo 1: Na tabela seguinte, estão as estaturas, em cm, de 30 alunos de um Curso W.

188	170	172	165	160	180	155	162	154	160
152	185	166	155	165	160	168	175	160	180
168	155	162	180	173	168	175	155	161	157

Observe que os dados estão dispostos aleatoriamente, ou seja, não estão ordenados (crescente ou decrescente).

Rol é a tabela primitiva ordenada. A ordem pode ser crescente ou decrescente.

Exemplo 2: Do exemplo 1, obtenha o rol.

Vamos obter o rol em ordem crescente.

152	154	155	155	155	155	157	160	160	160
160	161	162	162	165	165	166	168	168	168
170	172	173	175	175	180	180	180	185	188

A quantidade de elementos da amostra que pertencem a uma determinada classe é chamada de frequência dessa classe, ou seja, é o número de elementos relacionados a um determinado valor da variável.

Podemos apresentar as classes com suas respectivas frequências através de uma tabela chamada de tabela de distribuição de frequência.

Analisando o rol do exemplo anterior, temos:

Intervalo	Frequência
De 150 até 154	2
De 155 até 159	5
De 160 até 164	7
De 165 até 169	6
De 170 até 174	3
De 175 até 179	2
De 180 até 184	3
De 185 até 189	2

Classes: são os intervalos de variação da variável. O número da classe é representados por i, sendo i = 1, 2, 3, ..., k, onde k é o número total de classes.

Do exemplo anterior, temos:

Classe	Intervalo	Frequência
1	De 150 até 154	2
2	De 155 até 159	5
3	De 160 até 164	7
4	De 165 até 169	6
5	De 170 até 174	3
6	De 175 até 179	2
7	De 180 até 184	3
8	De 185 até 189	2

Limites da classe: são os extremos de cada classe. O extremo menor é chamado de limite inferior (\(l_i\)) e o extremo maior de limite superior (\(L_i\)). Do exemplo anterior, a classe 2 apresenta \(l_i\) = 155 e \(L_i\) = 159. A classe 5 apresenta \(l_i\) = 170 e \(L_i\) = 174.

Amplitude de um intervalo de classe (medida do intervalo que define a classe): é a diferença entre o maior e o menor elemento de uma classe e é representado por h, ou seja, h = \(L_i - l_i\). Do exemplo anterior, tem-se que h = 154 - 150 = 4. Repare que aqui foi usada a classe 1, mas poderia ser utilizada qualquer outra classe que h seria o mesmo.

Amplitude total da distribuição (AT): é a diferença entre o limite superior da última classe (limite superior máximo) e o limite inferior da primeira classe (limite inferior mínimo). Do exemplo anterior, tem-se 189 como limite superior máximo igual a 189 e limite inferior mínimo igual a 150. Então, AT = 189 - 150 = 39.

Amplitude amostral (AA): é a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra. Do exemplo anterior, tem-se 188 como valor máximo e 152 como valor mínimo. Então, AA = 188 - 152 = 36.

Ponto médio de uma classe (\(x_i\)): é o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais, ou seja, \( x_i = \frac{L_i + l_i}{2} \).

Do exemplo anterior, tem-se:

Classe	Intervalo	\(x_i\)	Frequência
1	De 150 até 154	(150 + 154)/2 = 152	2
2	De 155 até 159	(155 + 159)/2 = 157	5
3	De 160 até 164	(160 + 164)/2 = 162	7
4	De 165 até 169	(165 + 169)/2 = 167	6
5	De 170 até 174	(170 + 174)/2 = 172	3
6	De 175 até 179	(175 + 179)/2 = 177	2
7	De 180 até 184	(180 + 184)/2 = 182	3
8	De 185 até 189	187	2

Frequência simples ou absoluta (\(f_i\)): é o número de vezes que o valor de uma variável é citada.

Do exemplo anterior, tem-se:

Classe	Intervalo	\(x_i\)	Frequência (\(f_i\))
1	De 150 até 154	152	2
2	De 155 até 159	157	5
3	De 160 até 164	162	7
4	De 165 até 169	167	6
5	De 170 até 174	172	3
6	De 175 até 179	177	2
7	De 180 até 184	182	3
8	De 185 até 189	187	2

Frequência total: é a soma das frequências simples.

Do exemplo anterior, tem-se:

Classe	Intervalo	\(x_i\)	\(f_i\)
1	De 150 até 154	152	2
2	De 155 até 159	157	5
3	De 160 até 164	162	7
4	De 165 até 169	167	6
5	De 170 até 174	172	3
6	De 175 até 179	177	2
7	De 180 até 184	182	3
8	De 185 até 189	187	2
			30

Frequência relativa (\(fr_i\)): é a razão entre a frequência simples e a frequência total.

Do exemplo anterior, tem-se:

Classe	Intervalo	\(x_i\)	\(f_i\)	fri
1	De 150 até 154	152	2	2/30 = 0,067
2	De 155 até 159	157	5	5/30 = 0,167
3	De 160 até 164	162	7	7/30 = 0,233
4	De 165 até 169	167	6	6/30 = 0,2
5	De 170 até 174	172	3	3/30 = 0,1
6	De 175 até 179	177	2	2/30 = 0,067
7	De 180 até 184	182	3	3/30 = 0,1
8	De 185 até 189	187	2	2/30 = 0,067
			30

Frequência acumulada (\(F_i\)): é o total das frequências de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma determinada classe.

Do exemplo anterior, tem-se:

Classe	Intervalo	\(x_i\)	\(f_i\)	\(fr_i\)	\(F_i\)
1	De 150 até 154	152	2	0,067	2
2	De 155 até 159	157	5	0,167	2 + 5 = 7
3	De 160 até 164	162	7	0,233	2 + 5 + 7 = 14 (ou 7 + 7 = 14)
4	De 165 até 169	167	6	0,2	14 + 6 = 20
5	De 170 até 174	172	3	0,1	20 + 3 = 23
6	De 175 até 179	177	2	0,067	23 + 2 = 25
7	De 180 até 184	182	3	0,1	25 + 3 = 28
8	De 185 até 189	187	2	0,067	28 + 2 = 30
			30

Frequência acumulada relativa (\(Fr_i\)): é a razão entre a frequência acumulada e a frequência total.

Do exemplo anterior, tem-se:

Classe	Intervalo	\(x_i\)	\(f_i\)	\(fr_i\)	\(F_i\)	\(Fr_i\)
1	De 150 até 154	152	2	0,067	2	2/30 = 0,067
2	De 155 até 159	157	5	0,167	7	7/30 = 0,233
3	De 160 até 164	162	7	0,233	14	14/30 = 0,467
4	De 165 até 169	167	6	0,2	20	20/30 = 0,667
5	De 170 até 174	172	3	0,1	23	23/30 = 0,767
6	De 175 até 179	177	2	0,067	25	25/30 = 0,833
7	De 180 até 184	182	3	0,1	28	28/30 = 0,933
8	De 185 até 189	187	2	0,067	30	30/30 = 1
			30

Observação: As frequências relativas fri e Fri podem ser representadas em porcentagem.

Assim, a tabela do exemplo anterior pode ser representada como:

Classe	Intervalo	\(x_i\)	\(f_i\)	\(fr_i\) (%)	\(F_i\)	\(Fr_i\) (%)
1	De 150 até 154	152	2	6,7	2	6,7
2	De 155 até 159	157	5	16,7	7	23,3
3	De 160 até 164	162	7	23,3	14	46,7
4	De 165 até 169	167	6	20	20	66,7
5	De 170 até 174	172	3	10	23	76,7
6	De 175 até 179	177	2	6,7	25	83,3
7	De 180 até 184	182	3	10	28	93,3
8	De 185 até 189	187	2	6,7	30	100
			30

Nesta tabela, o número da classe pode ser tomado como um "intervalo de classe".

Exemplo 3

Do exemplo 1:

188	170	172	165	160	180	155	162	154	160
152	185	166	155	165	160	168	175	160	180
168	155	162	180	173	168	175	155	161	157

Obtenha a distribuição de frequência sem intervalos de classe.

Resolução:

Classe	Frequência
152	1
154	1
155	4
157	1
160	4
161	1
162	2
165	2
166	1
168	3
170	1
172	1
173	1
175	2
180	3
185	1
188	1

O gráfico da figura apresenta dados referentes às faltas diárias dos alunos na classe de uma escola, em determinado tempo.

Distribuição de frequência - Gráfico número de faltas por dia × número de dias

Analisando-se esses dados, conclui-se que ocorreram __ faltas em __ dias.

Solução

A partir do gráfico, obtém-se a tabela de distribuição de frequência:

Nº de faltas por dia (x)	Nº de dias (f)	Total de faltas (x ∙ f)
0	8	0 ∙ 8 = 0
1	5	1 ∙ 5 = 5
2	3	2 ∙ 3 = 6
3	6	3 ∙ 6 = 18
4	2	4 ∙ 2 = 8
5	3	5 ∙ 3 = 15
Total	27	52

Assim, ocorreram 52 faltas em 27 dias

A tabela baixo apresenta o tempo de vida (em anos) de 30 pássaros de uma mesma espécie.

14	12	11	13	14	13
12	14	13	14	11	12
12	14	10	13	15	11
15	13	16	17	14	14
15	16	13	12	11	15

Determine a distribuição de frequência com variável discreta e frequências absoluta e relativa.

Solução

Note que o menor tempo de vida é 10 e o maior, 15.

Vida (em anos)	Nº de passáros (f)	fr (%)
10	1	1 ∙ 100 / 30 = 3,3
11	4	4 ∙ 100 / 30 = 13,3
12	5	5 ∙ 100 / 30 = 16,7
13	6	6 ∙ 100 / 30 = 20
14	7	7 ∙ 100 / 30 = 23,3
15	4	4 ∙ 100 / 30 = 13,3
16	2	2 ∙ 100 / 30 = 6,7
17	1	1 ∙ 100 / 30 = 3,4
Total	30	100

Observação: A última célula da coluna da fr foi ajustada.

Considere os pesos, em kg, de 50 pessoas.

84	68	55	49	48	56	79	58	59	74
89	67	57	55	54	79	74	59	73	75
84	57	55	54	75	59	56	48	49	68
67	88	74	79	67	89	84	73	75	79
68	74	73	75	79	74	84	87	84	68

Determine a distribuição de frequência, tendo 45 par limite inferior na primeira classe e 10 para intervalo de classe. Apresente, além das frequências absoluta e relativa, o ponto médio de cada classe.

Solução

O menor valor da tabela apresentada no enunciado é 48 e o maior 89.

A última classe será de 85 até 95, devido ao 89.

Como 45 é o limite inferior da primeira classe e o intervalo da classe é 10, tem-se:

Nº da classe (i)	Classe	Ponto médio	fi	fri (%)
1	45 \(\vdash\) 55	50	6	6 ∙ 100 / 50 = 12
2	55 \(\vdash\) 65	60	11	11 ∙ 100 / 50 = 22
3	65 \(\vdash\) 75	70	15	15 ∙ 100 / 50 = 30
4	75 \(\vdash\) 85	80	14	14 ∙ 100 / 50 = 28
5	85 \(\vdash\) 95	90	4	4 ∙ 100 / 50 = 8
Total	5 classes	-	50	100

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188	170	172	165	160	180	155	162	154	160
152	185	166	155	165	160	168	175	160	180
168	155	162	180	173	168	175	155	161	157

152	154	155	155	155	155	157	160	160	160
160	161	162	162	165	165	166	168	168	168
170	172	173	175	175	180	180	180	185	188

188	170	172	165	160	180	155	162	154	160
152	185	166	155	165	160	168	175	160	180
168	155	162	180	173	168	175	155	161	157

Classe	Frequência
152	1
154	1
155	4
157	1
160	4
161	1
162	2
165	2
166	1
168	3
170	1
172	1
173	1
175	2
180	3
185	1
188	1

14	12	11	13	14	13
12	14	13	14	11	12
12	14	10	13	15	11
15	13	16	17	14	14
15	16	13	12	11	15

84	68	55	49	48	56	79	58	59	74
89	67	57	55	54	79	74	59	73	75
84	57	55	54	75	59	56	48	49	68
67	88	74	79	67	89	84	73	75	79
68	74	73	75	79	74	84	87	84	68

188	170	172	165	160	180	155	162	154	160
152	185	166	155	165	160	168	175	160	180
168	155	162	180	173	168	175	155	161	157

152	154	155	155	155	155	157	160	160	160
160	161	162	162	165	165	166	168	168	168
170	172	173	175	175	180	180	180	185	188

188	170	172	165	160	180	155	162	154	160
152	185	166	155	165	160	168	175	160	180
168	155	162	180	173	168	175	155	161	157

Classe	Frequência
152	1
154	1
155	4
157	1
160	4
161	1
162	2
165	2
166	1
168	3
170	1
172	1
173	1
175	2
180	3
185	1
188	1

14	12	11	13	14	13
12	14	13	14	11	12
12	14	10	13	15	11
15	13	16	17	14	14
15	16	13	12	11	15

84	68	55	49	48	56	79	58	59	74
89	67	57	55	54	79	74	59	73	75
84	57	55	54	75	59	56	48	49	68
67	88	74	79	67	89	84	73	75	79
68	74	73	75	79	74	84	87	84	68

188	170	172	165	160	180	155	162	154	160
152	185	166	155	165	160	168	175	160	180
168	155	162	180	173	168	175	155	161	157

152	154	155	155	155	155	157	160	160	160
160	161	162	162	165	165	166	168	168	168
170	172	173	175	175	180	180	180	185	188

188	170	172	165	160	180	155	162	154	160
152	185	166	155	165	160	168	175	160	180
168	155	162	180	173	168	175	155	161	157

Classe	Frequência
152	1
154	1
155	4
157	1
160	4
161	1
162	2
165	2
166	1
168	3
170	1
172	1
173	1
175	2
180	3
185	1
188	1

14	12	11	13	14	13
12	14	13	14	11	12
12	14	10	13	15	11
15	13	16	17	14	14
15	16	13	12	11	15

84	68	55	49	48	56	79	58	59	74
89	67	57	55	54	79	74	59	73	75
84	57	55	54	75	59	56	48	49	68
67	88	74	79	67	89	84	73	75	79
68	74	73	75	79	74	84	87	84	68