Equação linear é toda equação do tipo
\( a_1 \cdot x_1 + a_2 \cdot x_2 + a_3 \cdot x_3 + \cdots + a_n \cdot x_n = b \)
Note que ela tem n incógnitas (variáveis).
Exemplos:
a) x + y + z = 6 (3 incógnitas: x, y, z)
b) x - 2y + 5z - 4w = -2 (4 variáveis: x, y, z, w)
Equação linear homogênea: b = 0. Ou seja:
\( a_1 \cdot x_1 + a_2 \cdot x_2 + a_3 \cdot x_3 + \cdots + a_n \cdot x_n = 0 \)
Exemplos:
a) 2x - y = 0 (2 variáveis: x, y)
b) 5x - 3z + k = 0 (3 variáveis: x, z, k)
Sistema linear é o conjunto de equações lineares consideradas simultaneamente.
Exemplo:
\( \left\{\begin{array}{l} x + y + z = 6 \\ x - y - 2z = -7 \\ 2x - 2y + z = 1 \end{array}\right. \)
No exemplo temos 3 equações lineares e cada uma tem 3 variáveis (x, y, z).
Para resolvermos o sistema temos que encontrar os valores de x, y e z que tornam todas as equações verdadeiras. Neste caso, x, y e z formam o conjunto solução do sistema.
Dois sistemas lineares \(S_1\) e \(S_2\) são equivalentes se, e só se, possuem o mesmo conjunto solução (\(S_1 \sim S_2\)).
Exemplo:
\( S_1 \left\{\begin{array}{l} x + y = 4 \\ 2x - y = 2 \end{array}\right. \)
\( S_2 \left\{\begin{array}{l} 3x - 2y = 2 \\ x - y = 0 \end{array}\right. \)
Os dois sistemas serão equivalentes se a solução (x, y) de \(S_1\) é a mesma para \(S_2\).
Note que x = 2 e y = 2 é a solução tanto de \(S_1\) quanto de \(S_2\). Logo, \(S_1 \sim S_2\).
Observação:
x = 2 e y = 2 pode ser representado como (x, y) = (2, 2).
Mas como resolvemos sistemas?
Escalonamento: Método de resolução para sistemas com m equações e n incógnitas, onde m pode ser igual ou diferente de n.
As três transformações algébricas \(T_1\), \(T_2\) e \(T_3\) que se seguem permitirão escalonar um sistema linear dado.
Considere o sistema:
\( \left\{\begin{array}{l} x + y + z = 6 \\ x - y - 2z = -7 \\ 2x - 2y + z = 1 \end{array}\right. \)
Extraindo os coeficientes, forma-se a seguinte matriz:
| coef. de x | coef. de y | coef. de z | coef. independente |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 6 |
| 1 | -1 | -2 | -7 |
| 2 | -2 | 1 | 1 |
A ideia é escalonar até restar apenas um coeficiente dependente (x, y ou z) e o coeficiente independente. Vamos lá?
Aproveitando que o primeiro número da primeira linha é 1, vamos eliminar o primeiro elemento da segunda linha (em cinza).
Para eliminar o coeficiente de x na 2ª equação, basta multiplicar a 1ª por -1 e somar o resultado à 2ª:
Vamos fazer a mesma coisa com o primeiro elemento da terceira linha (em cinza).
Para eliminar o coeficiente de x na 3ª equação, basta multiplicar a 1ª por -2 e somar o resultado à 3ª:
Agora, com os coeficientes de x zerados, vamos eliminar o coeficiente de y da terceira linha (em cinza).
Para eliminar o coeficiente de y na 3ª equação, basta multiplicar a 2ª por -2 e somar o resultado à 3ª:
Pronto, tem-se agora 5z = 15. Basta determinar z para encontrar as demais variáveis.
5z = 15
z = 3
Substituindo z = 3 em -2y - 3z = -13, vem:
-2y - 3(3) = -13
2y = 13 - 9
y = 2
Substituindo z = 3 e y = 2 em x + y + z = 6, vem:
x + (2) + (3) = 6
x = 6 - 5
x = 1
(x, y, z) = (1, 2, 3)
Regra de Cramer: Método de resolução para sistemas com n equações e n incógnitas, com n ≥ 2.
Pela regra de Cramer, as incógnitas são determinadas utilizando-se os determinantes das matrizes formadas com os coeficientes do sistema.
Considere o sistema:
\( \left\{\begin{array}{l} x + y + Z = 6 \\ x - y - 2z = -7 \\ 2x - 2y + z = 1 \end{array}\right. \)
Extraindo os coeficientes, forma-se a seguinte matriz:
| coef. de x | coef. de y | coef. de z | coef. independente |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 6 |
| 1 | -1 | -2 | -7 |
| 2 | -2 | 1 | 1 |
O determinante do sistema (D) igual ao determinante da matriz dos coeficientes das variáveis (ou seja, retira-se a coluna dos coeficientes independentes):
D = \( \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -2 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix} \) = -10
O determinante relativo à variável x (Dx) é igual ao determinante da matriz formada sem os coeficientes de x. Neste caso, substitui-se a coluna referente aos coeficientes de x pela coluna dos coeficientes independentes:
Dx = \( \begin{vmatrix} 6 & 1 & 1 \\ -7 & -1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} \) = -10
O determinante relativo à y (Dy) é igual ao determinante da matriz formada sem os coeficientes de y. Neste caso, substitui-se a coluna referente aos coeficientes de y pela coluna dos coeficientes independentes:
Dy = \( \begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 1 & -7 & -2 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} \) = -20
O determinante relativo à z (Dz) é igual ao determinante da matriz formada sem os coeficientes de z. Neste caso, substitui-se a coluna referente aos coeficientes de z pela coluna dos coeficientes independentes:
Dz = \( \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 1 & -1 & -7 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix} \) = -30
Pela regra de Cramer:
Logo, o terno ordenado (1, 2, 3) é solução do sistema.
Observações:
Um sistema linear pode ter uma única solução, infinitas soluções e a ainda não ter solução.
Dependendo do número de soluções, um sistema linear é classificado como:
Um sistema linear possível á também chamado de compatível, enquanto o impossível é chamado incompatível.
Um sistema pode ser classificado utilizando as regras de Cramer. Acompanhe:
De acordo com as regras de Cramer
Resolva e classifique o sistema \( \left\{\begin{array}{l} x + 3y = 5 \\ 3x - 2y = 1 \end{array}\right. \)
Solução
Multiplicando a primeira equação por -3:
\( \left\{\begin{array}{l} x + 3y = 5 (\times -3) \\ 3x - 2y = 1 \end{array}\right. \)
\( \left\{\begin{array}{l} -3x - 9y = -15 \\ 3x - 2y = 1 \end{array}\right. \)
E somando o resultado com a segunda:
\( \left\{\begin{array}{l} -3x - 9y = -15 \\ 3x - 2y = 1 \end{array}\right. \)
-11y = -14
y = 14/11
Substituindo y = 14/11 na primeira ou segunda equação:
x + 3y = 5
x + 3(14/11) = 5
x = 5 - 42/11 = 13/11
SPD e S = {13/11, 14/11}
Observação: As equações representam retas. Como o sistema é possível e determinado, ou seja, possui solução única, as retas são concorrentes (possuem um único ponto em comum).
Resolva e classifique o sistema \( \left\{\begin{array}{l} x - y = 3 \\ 4x - 4y = 6 \end{array}\right. \)
Solução
Multiplicando a primeira equação por -4:
\( \left\{\begin{array}{l} x - y = 3 (\times -4) \\ 4x - 4y = 6 \end{array}\right. \)
\( \left\{\begin{array}{l} -4x + 4y = -12 \\ 4x - 4y = 6 \end{array}\right. \)
E somando o resultado com a segunda:
\( \left\{\begin{array}{l} -4x + 4y = -12 \\ 4x - 4y = 6 \end{array}\right. \)
0 = -6 (impossível)
SI e S = { }
Observação: As equações representam retas. Como o sistema é impossível, ou seja, não existe x e y que satisfaçam o sistema, as retas são paralelas distintas (não possuem ponto em comum).
Determine o valor de a para que o sistema \( \left\{\begin{array}{l} ax - y = 8 \\ 2x + 4y = 6 \end{array}\right. \) seja possível e determinado.
Solução
Para que seja SPD, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser diferente de 0:
\( \begin{vmatrix} a & -1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} \) ≠ 0
(4)(a) - (-1)(2) ≠ 0
4a + 2 ≠ 0
4a ≠ -2
a ≠ -1/2
Determine o valor de k para que as retas x + 2y = 1 e 4x + 8y = k sejam paralelas distintas.
Solução
Para que as retas sejam paralelas distintas (sem ponto em comum), basta que o sistema entre elas seja impossível:
\( \left\{\begin{array}{l} x + 2y = 1 \\ 4x + 8y = k \end{array}\right. \) seja SI
Multiplicando a primeira equação por 4, vem:
x + 2y = 1 (×4)
4x + 8y = 4
Comparando com a segunda, pode-se perceber que:
Portanto, para que as retas sejam paralelas distintas, k ≠ 4
Classifique o sistema \( \left\{\begin{array}{l} x + 2y = 1 \\ 3x + ky = 0 \end{array}\right. \).
Solução
D = \( \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & k \end{vmatrix} \) = k - 6
Dx = \( \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & k \end{vmatrix} \) = k
Dy = \( \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} \) = -3
Portanto, SPD para k ≠ 6 e SI para k = 6
Um sistema linear é homogêneo quando os termos independentes de todas as suas equações são nulos.
Em um sistema homogêneo, a sequência (0, 0, ..., 0) é sempre solução, e é chamada solução nula ou solução trivial. Assim:
O sistema \( \left\{\begin{array}{l} x + 2y - 3z = 0 \\ 2x + 5y + 2z = 0 \\ 3x - y - 4z = 0 \end{array}\right. \) admite soluções não triviais?
Solução
Para admitir soluções não-triviais, o determinante deve ser nulo.
D = \( \begin{vmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & 5 & 2 \\ 3 & -1 & -4 \end{vmatrix} \) = 61 (≠ 0)
O sistema é determinado e admite apenas a solução trivial.
Portanto, não admite soluções não triviais
Determine k para que o sistema \( \left\{\begin{array}{l} kx - y = 0 \\ x + y + kz = 0 \\ 2y + z = 0 \end{array}\right. \) admita soluções não nulas.
Solução
Para admitir soluções não nulas, o determinante deve ser nulo.
D = \( \begin{vmatrix} k & -1 & 0 \\ 1 & 1 & k \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} \) = 0
2k\(^2\) - k - 1 = 0
Resolvendo a equação do 2º grau, obtém-se k = -1/2 ou k = 1
Logo, k = -1/2 ou k = 1
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