Vc já jogou batalha naval?
Neste jogo, o jogador escolhe uma linha e uma coluna e informa o adversário o ponto escolhido. Ao determinar a linha e a coluna, o jogador está determinando uma coordenada.
O tabuleiro nada mais é do que uma matriz de m linhas e n colunas. A posição escolhida é uma coordenada da matriz que o tabuleiro representa.
O total de posições desse tabuleiro é igual ao produto de m por n:
Total de posições = m × n
Como assim!? Já?
Você consegue!!!
Selecione a coluna de número 1 da tabela abaixo.
Uma matriz do tipo m × n (leia: m por n) é uma tabela de números reais dispostos em m linhas e n colunas.
O número de elementos de uma matriz é igual ao produto da linha pela coluna:
Total de elementos da matriz m × n = m ∙ n
Genericamente, se a matriz tem m linhas e n colunas, temos:
A = \( \left[\begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ldots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \ldots & a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} \ldots & a_{mn} \end{array}\right] \)
que podemos representar como
A = \( (a_{ij})_{m \times n} \)
onde:
| Tipos de matrizes | Representação | Exemplos |
|---|---|---|
| Matriz retangular: o número de linhas é diferente do número de colunas. | A = \( (a_{ij})_{m \times n} \) com m ≠ n |
\( \begin{pmatrix} 2 & -3 & 0 & 5 \\ 8 & 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & -4 & -2 \end{pmatrix} \) |
| Matriz quadrangular (ou quadrada): o número de linhas é igual ao número de colunas. Os elementos em a\(_{ij}\) tais que i = j, formam a diagonal principal da matriz. A outra diagonal é chamada de secundária. Matrizes quadradas podem ser representadas como: A\(_{n \times n}\) ou A\(_n\) (matriz de ordem n) |
A = \( (a_{ij})_{n \times n} \) | \( \begin{pmatrix} 2 & 0 & 5 \\ 8 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & -2 \end{pmatrix} \) 2, -1 e -2 formam a diagonal principal, enquanto que 5, -1 e 3 formam a diagonal secundária |
| Matriz linha: quando a matriz tem uma única linha. | A = \( (a_{ij})_{1 \times n} \) | \( \begin{pmatrix} 2 & 8 & 1 & -4 \end{pmatrix} \) |
| Matriz coluna: quando a matriz tem uma única coluna. | A = \( (a_{ij})_{m \times 1} \) | \( \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix} \) |
| Matriz nula: quando todos os elementos de uma matriz são nulos. | \( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) | |
| Matriz triangular: é toda matriz quadrada em que todos os elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a 0 e a diagonal principal possui pelo menos um elemento diferente de 0. | \( \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \) | |
| Matriz identidade ou unidade (I): é toda matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais iguais a 0. Repare que toda matriz identidade é triangular mas nem toda triangular é identidade. | \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) | |
| Matriz oposta de outra: dada uma matriz A, obtém a matriz oposta –A, trocando-se o sinal de todos os elementos da matriz A. | Se A = \( \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 7 & 1 \end{pmatrix} \), então -A = \( \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -7 & -1 \end{pmatrix} \) |
Selecione a cor e marque a coordenada representada por ela no mapa.
Elemento
Elemento
Elemento
Elemento
Elemento
Escrever a matriz A = (a\(_{ij}\)), quadrada de ordem 2, sabendo que a\(_{ij}\) = 3i - 2j.
Solução
Como a matriz é de ordem 2, tem-se:
A = \( \left[\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right] \)
Para determinar cada elemento basta aplicar a relação a\(_{ij}\) = 3i - 2j (dada no enunciado):
Portanto, A = \( \left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 4 & 2 \end{array}\right] \)
Descubra os elementos da matriz E = (a\(_{ij}\)), quadrada de ordem 3, sabendo que a\(_{ij}\) =
Preencha os valores da matriz abaixo, sabendo que seus elementos são iguais a i + j, onde i e j representam os números da linha e da coluna, respectivamente.
Dadas as matrizes A = \((a_{ij})_{2\times2}\) tal que a\(_{ij}\) = i\(^j\) e B = \((b_{ij})_{2\times2}\) tal que b\(_{ij}\) = j\(^i\), determine \(a_{22} \cdot (b_{11} + b_{22})\).
Solução
\(a_{22}\) = 2\(^2\) = 4
\(b_{11}\) = 1\(^1\) = 1
\(b_{22}\) = 2\(^2\) = 4
Logo, \(a_{22} \cdot (b_{11} + b_{22})\) = 4 (1 + 4) = 20
Duas matrizes A e B são iguais se forem do mesmo tipo e se tiverem seus elementos correspondentes (que ocupam posições iguais em A e B), respectivamente iguais.
Exemplo:
\( \left[\begin{array}{ccc} 3 & 2 & x \\ 0 & 2 & y \end{array}\right] \) = \( \left[\begin{array}{ccc} z & t & 9 \\ 0 & 1 & -1 \end{array}\right] \)
Complete os elementos das matrizes para que elas sejam iguais
\( \left[\begin{array}{cc} -2 & 6 \\ a & 2 \\ 4 & b \end{array}\right] \) = \( \left[\begin{array}{cc} c & 6 \\ 5 & d \\ 4 & 3 \end{array}\right] \)
a = b = c = d =
A partir de agora iremos ver as operações com matrizes. Está preparado?
Multiplica-se o número real por todos os elementos da matriz.
Exemplo:
2 ∙ \( \left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 4 & 2 \end{array}\right] \) = \( \left[\begin{array}{cc} 2 \cdot 1 & 2 \cdot (-1) \\ 2 \cdot 4 & 2 \cdot 2 \end{array}\right] \) = \( \left[\begin{array}{cc} 2 & -2 \\ 8 & 4 \end{array}\right] \)
Para haver a soma de matrizes, estas tem que ser do mesmo tipo (números de linhas iguais e número de colunas iguais) e sua soma será a matriz (do mesmo tipo) cujos elementos serão a soma dos elementos correspondentes das outras.
Exemplos:
a) \( \left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 4 & 2 \end{array}\right] \) + \( \left[\begin{array}{ccc} 1 & 4 & 0 \\ 5 & -2 & 2 \end{array}\right] \)
Não existe pois a primeira é do tipo 2×2 e a segunda, 2×3
b) \( \left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 4 & 2 \end{array}\right] \) + \( \left[\begin{array}{cc} 4 & 0 \\ -2 & 2 \end{array}\right] \) = \( \left[\begin{array}{cc} 1 + 4 & -1 + 0 \\ 4 - 2 & 2 + 2 \end{array}\right] \) = \( \left[\begin{array}{cc} 5 & -1 \\ 2 & 4 \end{array}\right] \)
Para haver a subtração de matrizes, estas tem que ser do mesmo tipo (números de linhas iguais e número de colunas iguais) e sua diferença será a matriz (do mesmo tipo) cujos elementos serão a diferença dos elementos correspondentes das outras.
Exemplo:
\( \left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 4 & 2 \end{array}\right] \) - \( \left[\begin{array}{cc} 4 & 0 \\ -2 & 2 \end{array}\right] \) = \( \left[\begin{array}{cc} 1 - 4 & -1 - 0 \\ 4 - (-2) & 2 - 2 \end{array}\right] \) = \( \left[\begin{array}{cc} -3 & -1 \\ 6 & 0 \end{array}\right] \)
Sejam as matrizes A e B.
O número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B.
A matriz produto AB tem o mesmo número de linhas de A e o mesmo número de colunas de B.
A matriz produto AB será obtida multiplicando-se os elementos da linha de A pelos elementos da coluna de B.
Exemplo:
Considere as matrizes A = \( \left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\right] \) e B = \( \left[\begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array}\right] \).
Para facilitar o cálculo de AB, pode-se utilizar a seguinte regra:
\( \left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array}\right] \)
Para facilitar a visualização iremos utilizar linhas na cor cinza claro.
| Abaixar a matriz B |  |
| 1ª linha de A × 1ª coluna de B |  |
| 1ª linha de A × 1ª coluna de B (resultado) |  |
| 1ª linha de A × 2ª coluna de B |  |
| 1ª linha de A × 2ª coluna de B (resultado) |  |
| 2ª linha de A × 1ª coluna de B |  |
| 2ª linha de A × 1ª coluna de B (resultado) |  |
| 2ª linha de A × 2ª coluna de B |  |
| 2ª linha de A × 2ª coluna de B (resultado) |  |
Obtemos, assim, o produto AB:
\( \left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{array}\right] \)
Repare que a matriz resultante é quadrada de ordem 2 (2×2).
Determine x e y na igualdade \( \left[\begin{array}{cc} x & 3 \\ 4 & y \end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc} -1 & 5 \\ 8 & y \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 4 & 8 \\ 12 & -6 \end{array}\right] \).
Solução
\( \left[\begin{array}{cc} x & 3 \\ 4 & y \end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc} -1 & 5 \\ 8 & y \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 4 & 8 \\ 12 & -6 \end{array}\right] \)
\( \left[\begin{array}{cc} x - 1 & 3 + 5 \\ 4 + 8 & y + y \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 4 & 8 \\ 12 & -6 \end{array}\right] \)
\( \left[\begin{array}{cc} x - 1 & 8 \\ 12 & 2y \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 4 & 8 \\ 12 & -6 \end{array}\right] \)
Portanto, (x, y) = (5, -3)
Dadas as matrizes A = \( \left[\begin{array}{cc} 3 & 5 \\ 1 & -3 \end{array}\right] \) e B = \( \left[\begin{array}{cc} 4 & 0 \end{array}\right] \), determine X tal que B = XA.
Solução
A é do tipo 2×2 e B do tipo 1×2. Tem-se:
X\(_{m\times n}\) ∙ A\(_{2\times2}\) = B\(_{1\times2}\)
Em um produto entre duas matrizes, a matriz produto (resultante) possui o número linhas igual ao número de linhas da primeira matriz e o número de colunas igual ao número de colunas da segunda matriz:
X\(_{m\times n}\) ∙ A\(_{2\times2}\) = B\(_{1\times2}\)
m = 1
Para haver produto entre duas matrizes, o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda:
X\(_{m\times n}\) ∙ A\(_{2\times2}\) = B\(_{1\times2}\)
n = 2
Assim, a matriz X é do tipo 1×2. Vamos representá-la como:
X = \( \left[\begin{array}{cc} a & b \end{array}\right] \)
\( \left[\begin{array}{cc} a & b \end{array}\right] \) ∙ \( \left[\begin{array}{cc} 3 & 5 \\ 1 & -3 \end{array}\right] \) = \( \left[\begin{array}{cc} 4 & 0 \end{array}\right] \)
\( \left[\begin{array}{cc} 3a + b & 5a - 3b \end{array}\right] \) = \( \left[\begin{array}{cc} 4 & 0 \end{array}\right] \)
Tem-se o seguinte sistema:
Multiplicando a primeira equação por 3:
9a + 3b = 12
E somando com a segunda:
5a - 3b + 9a + 3b = 12 + 0
14a = 12
a = 6/7
Substituindo a = 6/7 na primeira equação:
3(6/7) + b = 4
b = 4 - 18/7 = (28 - 18)/7 = 10/7
Portanto, X = \( \left[\begin{array}{cc} 6/7 & 10/7 \end{array}\right] \)
Dada uma matriz A do tipo m × n, chama-se transposta de A (A\(^t\)) à matriz do tipo n × m que tem as colunas ordenadamente iguais às linhas de A.
Dadas as matrizes A = \( \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right] \) e B = \( \left[\begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 3 & 0 \\ 4 & -3 \end{array}\right] \), determine A + 2 ∙ B\(^T\).
Solução
B\(^T\) = \( \left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 4 \\ -2 & 0 & -3 \end{array}\right] \)
A + 2 ∙ B\(^T\) = \( \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right] \) + 2 ∙ \( \left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 4 \\ -2 & 0 & -3 \end{array}\right] \)
\( \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right] \) + \( \left[\begin{array}{ccc} 2 & 6 & 8 \\ -4 & 0 & -6 \end{array}\right] \) = \( \left[\begin{array}{ccc} 3 & 8 & 5 \\ 0 & 5 & 0 \end{array}\right] \)
Uma matriz quadrada A, de ordem n, é inversível se existir uma matriz A\(^{–1}\) (que também será de ordem n) tal que \( A \cdot A^{-1} = A^{–1} \cdot A = I_n \). Caso não exista a matriz \(A^{–1}\), diremos que A não é inversível ou que é singular.
Propriedades:
Obtenha a inversa da matriz A = \( \left[\begin{array}{cc} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{array}\right] \).
Solução
\( A \cdot A^{-1} = I_n \)
\( \left[\begin{array}{cc} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc} x & y \\ z & w \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \)
\( \left[\begin{array}{cc} 2x + 5z & 2y + 5w \\ x + 3z & y + 3w \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \)
Resolvendo o sistema entre (I) e (III), vem:
Substituindo x = -3z na primeira:
2 (-3z) + 5z = 1
-6z + 5z = 1
z = -1
Substituindo z = -1 na segunda:
x + 3 (-1) = 0
x = 3
Resolvendo o sistema entre (I) e (III), vem:
Substituindo y = 1 - 3w na primeira:
2 (1 - 3w) + 5w = 0
2 - 6w + 5w = 0
w = 2
Substituindo w = 2 na segunda:
y + 3 (2) = 1
y + 6 = 1
y = -5
Portando, \(A^{-1}\) = \( \left[\begin{array}{cc} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{array}\right] \)
Obter a inversa da matriz A = \( \left[\begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 7 & 5 \end{array}\right] \).
Solução
\( A \cdot A^{-1} = I_n \)
\( \left[\begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 7 & 5 \end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc} x & y \\ z & w \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \)
Resolvendo o sistema entre (I) e (III), vem:
Substituindo x = -5z/7 na primeira:
3 (-5z/7) + 2z = 1
-15z/7 + 2z = 1
-15z + 14z = 7
z = -7
Substituindo z = -7 na segunda:
x = -5z/7 = -5 (-7)/7 = 5
Resolvendo o sistema entre (I) e (III), vem:
Substituindo y = (1 - 5w)/7 na primeira:
3 [(1 - 5w)/7] + 2w = 0
(3 - 15w)/7 + 2w = 0
3 - 15w + 14w = 0
w = 3
Substituindo w = 3 na segunda:
7y + 5 (3) = 1
7y + 15 = 1
y = -2
Portando, \(A^{-1}\) = \( \left[\begin{array}{cc} 5 & -2 \\ -7 & 3 \end{array}\right] \)
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