Estudar o sinal de uma função é determinar para quais valores de x ∈ D(f) tem-se:
Em outras palavras, estudar o sinal de uma função é determinar os valores do domínio que fazem com que a imagem da função seja:
Seja a função do 1º grau f(x) = ax + b.
A raiz dela é dada por:
y = ax + b
0 = ax + b
x = -b/a
O quadro abaixo apresenta o estudo do sinal para y = ax + b.
| a > 0 | a < 0 |
|---|---|
|
|
Analise o gráfico e as afirmações abaixo:
Podemos afirmar que é(são) verdadeira(s)
Dada a função f(x) = 2x – 4, determine os valores reais de x para os quais:
Solução
Podemos notar que a função é crescente, pois a = 2 > 0.
O zero da função é dado por:
2x – 4 = 0
2x = 4
x = 2
Note que:
Dada a função f(x) = -2x – 4, determinar os calores reais de x para os quais:
Solução
Podemos notar que a função é decrescente, pois a = -2 < 0.
O zero da função é dado por:
-2x – 4 = 0
-2x = 4
x = -2
Note que:
Seja a função do 2º grau definida por f(x) = ax² + bx + c. Os sinais desta função são determinados a partir dos sinais do coeficiente a e do discriminante ∆.
Sejam x\(_1\) e x\(_2\) as raízes de f(x). O quadro abaixo apresenta o estudo do sinal para f(x).
| ∆ | a > 0 | a < 0 |
|---|---|---|
| ∆ > 0 |
|
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| ∆ = 0 |
|
|
| ∆ < 0 |
|
|
Dada a função f(x) = 3x² - 4x + 5, determine os valores reais de x para os quais:
Solução
A concavidade da parábola é voltada para cima pois o coeficiente é positivo (3 > 0).
∆ = b² - 4ac = (-4)² - 4 (3) (5) = 16 - 60 = -44 < 0
Como ∆ é negativo, não existem raízes reais.
Assim:
Dê a variação de sinais da função f(x) = x² - 4x.
Solução
A concavidade da parábola é voltada para cima pois o coeficiente é positivo (1 > 0).
Raízes: x² - 4x = 0
x (x - 4) = 0
x = 0 ou x = 4
Esquematicamente, tem-se:
Assim:
Dê a variação de sinais da função f(x) = -x² + 4x - 3.
Solução
A concavidade da parábola é voltada para baixo pois o coeficiente é negativo (-1 < 0).
Raízes:
∆ = b² - 4ac = (4)² - 4 (-1) (-3) = 16 - 12 = 4
x = \(\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\) = \(\dfrac{-4 \pm \sqrt{4}}{2(-1)}\) = \(\dfrac{-4 \pm 2}{-2}\)
x' = \(\dfrac{-4 + 2}{-2}\) = \(\dfrac{-2}{-2}\) = 1
x" = \(\dfrac{-4 - 2}{-2}\) = \(\dfrac{-6}{-2}\) = 3
Esquematicamente, tem-se:
Assim:
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