Antes de iniciarmos o assunto sobre determinante, vamos descobrir o número escondido no jogo abaixo.
Observe o quadro:
| 2 | 4 |
| 1 | 5 |
Adivinhe o número escondido do quadro obedecendo a seguinte regra:
O resultado irá mostrar o número escondido.
E aí, descobriu?
Resolvendo, temos:
6 é o número escondido
Que tal ampliarmos o quadro? Vamos usar 3 linhas e 3 colunas.
| 4 | 0 | 3 |
| 2 | 2 | 4 |
| 3 | 1 | 5 |
Agora, para descobrirmos o número escondido, iremos seguir os seguintes passos:
O resultado irá mostrar o número escondido. Quem é o número escondido?
Determinante é um número associado a uma matriz quadrada. Ele é um número real obtido a partir dos elementos dessa matriz.
Em outras palavras, toda matriz quadrada possui um número real que é gerado por seus elementos.
Observações:
Determinante associado a uma matriz quadrada de ordem 1: Se uma matriz é formada por um único elemento, este é o determinante da matriz.
| Matriz | Determinante |
|---|---|
| \( \begin{pmatrix} x \end{pmatrix} \) | \( \begin{vmatrix} x \end{vmatrix} \) = x |
Determinante associado a uma matriz quadrada de ordem 2: O determinante de uma matriz de ordem 2, é obtido através da diferença entre a soma do produto dos elementos da diagonal principal, e a soma do produto dos elementos da diagonal secundária.
| Matriz | Determinante |
|---|---|
| \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) | \( \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \) = ad - bc |
Determinante associado a uma matriz quadrada de ordem 3: O determinante de uma matriz de ordem 3, é obtido através da diferença entre a soma dos produtos dos elementos das flechas que acompanham a diagonal principal, e a soma dos produtos dos elementos das flechas que acompanham a diagonal secundária (regra de Sarrus).
| Matriz | Determinante |
|---|---|
| \( \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \) | \( \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} \) = aei + bfg + cdh - ceg - dbi - ahf |
Determinante associado a uma matriz quadrada de ordem n > 3: Com os métodos apresentados até agora, é difícil calcularmos o determinante de matrizes quadradas de ordem n > 3. Será apresentado, então, um processo que pode ser utilizado para o cálculo do determinante de matrizes quadradas de qualquer ordem, inclusive 3 e 2, que já foram estudados.
| Matriz | Determinante |
|---|---|
| \( \left[\begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{array}\right] \) | \( \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{vmatrix} \) |
O cálculo que representa o determinante da matriz \( \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \) é
Qual é a opção falsa?
Se A é uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2, e a\(_{ij}\) é um de seus elementos, então o menor complementar do elemento a\(_{ij}\) é o determinante que se obtém retirando a linha i e a coluna j da matriz A.
O menor complementar de a\(_{ij}\) é indicado por M\(_{ij}\).
Exemplo:
Considere a matriz A = \( \begin{pmatrix} 11 & 12 & 13 \\ 21 & 22 & 23 \\ 31 & 32 & 33 \end{pmatrix} \)
Vamos determinar M\(_{11}\)?
O menor complementar de a\(_{11}\) é indicado por M\(_{11}\) e é calculado da seguinte forma:
Por ser M\(_{11}\), retira-se a primeira linha e a primeira coluna de A.
Irá sobrar uma nova matriz:
\( \begin{pmatrix} 22 & 23 \\ 32 & 33 \end{pmatrix} \)
O determinante dessa matriz é:
\( \begin{vmatrix} 22 & 23 \\ 32 & 33 \end{vmatrix} \) = 22 ∙ 33 - 23 ∙ 32 = -10
O determinante dessa matriz é o menor complementar M\(_{11}\):
M\(_{11}\) = -10
Vamos determinar M\(_{32}\)?
Por ser M\(_{32}\), retira-se a terceira linha e a segunda coluna de A.
Irá sobrar uma nova matriz:
\( \begin{pmatrix} 11 & 13 \\ 21 & 23 \end{pmatrix} \)
O determinante dessa matriz é:
\( \begin{vmatrix} 11 & 13 \\ 21 & 23 \end{vmatrix} \) = 11 ∙ 23 - 13 ∙ 21 = -20
O determinante dessa matriz é o menor complementar M\(_{32}\):
M\(_{32}\) = -20
O cofator ou complemento algébrico do elemento a\(_{ij}\) é o número:
\( A_{ij} = (-1)^{i + j} \cdot M_{ij} \)
Exemplo:
O cofator de a\(_{11}\) do exemplo anterior é dado por:
\( A_{11} = (-1)^{1 + 1} \cdot M_{11} \) = \( (-1)^2 \cdot (-10) \) = -10
E o cofator de a\(_{32}\) do exemplo anterior é dado por:
\( A_{32} = (-1)^{3 + 2} \cdot M_{32} \) = \( (-1)^5 \cdot (-20) \) = 20
O determinante de uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2 é igual à soma dos produtos dos elementos de sua primeira linha pelos seus respectivos cofatores.
Em uma matriz de ordem 2, o determinante pode ser calculado como:
D = \( \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \) = \(a_{11} \cdot A_{11}\) + \(a_{12} \cdot A_{12}\)
Exemplo:
D = \( \begin{vmatrix} 3 & 10 & 1 \\ 4 & 5 & 2 \\ 3 & 10 & 6 \end{vmatrix} \) = 3 ∙ \(A_{11}\) + 10 ∙ \(A_{12}\) + 1 ∙ \(A_{13}\)
Calculando \(A_{11}\), \(A_{12}\) e \(A_{13}\), temos:
\(A_{11} = (-1)^{1 + 1} \cdot \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 10 & 6 \end{vmatrix} \) = 10
\(A_{12} = (-1)^{1 + 2} \cdot \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 6 \end{vmatrix} \) = -18
\(A_{13} = (-1)^{1 + 3} \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 10 \end{vmatrix} \) = 25
Substituindo em:
D = 3 ∙ \(A_{11}\) + 10 ∙ \(A_{12}\) + 1 ∙ \(A_{13}\)
temos:
D = 3 ∙ 10 + 10 ∙ (-18) + 1 ∙ 25
D = 30 - 180 + 25
D = -125
Teorema de Laplace: o determinante de uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2 é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores.
Esse teorema permite que seja utilizado qualquer linha ou coluna da matriz para calcular seu determinante. Não é mais necessário utilizar apenas a primeira linha, como visto anteriormente.
Esse modo de obter o determinante é muito útil quando a matriz possui zeros como elementos.
Exemplo:
Considere o determinante \( \begin{vmatrix} 4 & 3 & 1 & 5 \\ 6 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 1 & 7 & 8 & 1 \end{vmatrix} \).
Escolhendo a segunda linha, tem-se:
D = \( \begin{vmatrix} 4 & 3 & 1 & 5 \\ 6 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 1 & 7 & 8 & 1 \end{vmatrix} \) = 6 ∙ \(A_{21}\) + 0 ∙ \(A_{22}\) + 0 ∙ \(A_{23}\) + 2 ∙ \(A_{24}\)
Como 0 vezes qualquer coisa é 0:
D = 6 ∙ \(A_{21}\) + 2 ∙ \(A_{24}\)
Calculando \(A_{21}\) e \(A_{24}\), temos:
\(A_{21} = (-1)^{2 + 1} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 & 5 \\ 1 & 3 & 5 \\ 7 & 8 & 1 \end{vmatrix} \) = 142
\(A_{24} = (-1)^{2 + 4} \cdot \begin{vmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 7 & 8 \end{vmatrix} \) = -44
D = 6 ∙ \(A_{21}\) + 2 ∙ \(A_{24}\)
D = 6 ∙ 142 + 2 ∙ (-44)
D = 852 - 88
D = 764
Calcule o determinante da matriz X = \( \begin{pmatrix} -3 & 6 & 0 \\ -8 & 2 & 0 \\ 4 & 20 & 0 \end{pmatrix} \).
Solução
Repare que todos os elementos da 3ª coluna são iguais a zero.
Portanto, det X = 0
Calcule o determinante da matriz M = \( \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 3 \\ -1 & 2 & 1 & 4 \\ 3 & 4 & 6 & -1 \\ 2 & 0 & 4 & 1 \end{pmatrix} \).
Solução
A primeira linha de M possui três zeros. Portanto, pode-se o determimante de M pode ser obtido por meio do teorema de Laplace:
det M = 3 ∙ \(A_{14}\)
det M = 3 ∙ (-1)\(^{1 + 4}\) ∙ \( \begin{vmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 6 \\ 2 & 0 & 4 \end{vmatrix} \) = 3 ∙ (-1) ∙ (-16 + 24 - 8 -24) = (-3)(-24) = 72
A partir de agora iremos ver as propriedades dos determinantes.
Transpondo-se uma matriz, seu determinante não se altera.
Exemplo:
det A = det A\(^T\)
Trocando-se de posição duas filas paralelas de uma matriz, seu determinante troca de sinal, mantendo o valor absoluto.
Exemplo:
\( \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \) = -6
Trocando as linhas de posição
↓
\( \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} \) = 6
Para tirar a prova, vamos calcular os determinantes:
\( \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \) = 0 ∙ 1 - 2 ∙ 3 = -6
\( \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} \) = 2 ∙ 3 - 0 ∙ 1 = 6
Se duas filas paralelas de uma matriz são iguais ou proporcionais, então seu determinante é nulo.
Exemplo:
\( \begin{vmatrix} a & b & c \\ 2 & 1 & -14 \\ a & b & c \end{vmatrix} \) = 0
Neste exemplo, as linhas 1 e 3 são iguais.
Vamos calcular o determinante pra tirar prova:
\( \begin{vmatrix} a & b & c \\ 2 & 1 & -14 \\ a & b & c \end{vmatrix} \) =
a ∙ 1 ∙ c + b ∙ (-14) ∙ a + c ∙ 2 ∙ b - a ∙ 1 ∙ c - b ∙ (-14) ∙ a - c ∙ 2 ∙ b =
ac -14ab + 2bc - ac + 14ab - 2bc = 0
Multiplicando-se (ou dividindo-se) uma fila qualquer de uma matriz por um número, seu determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número.
Exemplo:
\( \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ x & y \end{vmatrix} \) = 4y - 2x
multiplicando-se a 2ª coluna por 4
↓
\( \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 4x & 4y \end{vmatrix} \) = 16y - 8x = 4 ∙ (4y - 2x)
Note que o determinante ficou multiplicado por 4.
Multiplicando-se uma matriz A, quadrada, de ordem n, por um número α, obtemos a matriz α ∙ A, cujo determinante é igual ao determinante de A multiplicado por α\(^n\), ou seja, det (α ∙ A) = α\(^n\) ∙ det A.
Exemplo:
\( \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \) = -6
multiplicando-se a matriz por 3
↓
\( \begin{vmatrix} 0 & 9 \\ 6 & 3 \end{vmatrix} \) = -54
Repare que:
det (3 ∙ A) = 3² ∙ (-6) = 9 ∙ (-6) = -54
Se uma fila de uma matriz é formada pela soma de duas parcelas, então seu determinante é igual à soma de outros dois determinantes: o primeiro formado pelas primeiras parcelas e o segundo formado pelas segundas parcelas, permanecendo inalteradas as demais filas.
Exemplo:
\( \begin{vmatrix} a + b & c \\ d + e & f \end{vmatrix} \) = \( \begin{vmatrix} a & c \\ d & f \end{vmatrix} \) + \( \begin{vmatrix} b & c \\ e & f \end{vmatrix} \)
Calcule o determinante da matriz A = \( \begin{pmatrix} -4 & 5 & 1 \\ -8 & 10 & 2 \\ 4 & 3 & 7 \end{pmatrix} \).
Solução
Repare que a 2ª linha é o dobro da 1ª linha.
Segundo as propriedades dos determinantes, pode-se afirmar que det A = 0
Calcule o determinante da matriz T = \( \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 0 & 4 \\ -1 & 4 & 2 \end{pmatrix} \).
Solução
A 3ª coluna é igual à soma do dobro da 1ª linha com a 2ªlinha.
De acordo com as propriedades, det T = 0
Sabendo que det \( \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} \) = 4, determine \( \begin{vmatrix} 5x & 5y \\ 4z & 4w \end{vmatrix} \).
Solução
\( \begin{vmatrix} 5x & 5y \\ 4z & 4w \end{vmatrix} \) = ?
Repare que a 1ª linha é o quíntuplo da 1ª linha da primeira matriz e que a 2ª linha é o quádruplo da 2ª linha da primeira matriz.
Assim, pela propriedade (P4):
\( \begin{vmatrix} 5x & 5y \\ 4z & 4w \end{vmatrix} \) = 4 ∙ 5 ∙ 4 = 80
Sabendo que det \( \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} \) = 4, determine \( \begin{vmatrix} 5y & 5x \\ 4w & 4z \end{vmatrix} \).
Solução
Você pode achar que o exercício está repetido. Mas repare que houve inversão de colunas. De acordo com a propriedade (P2), deve-se inverter o sinal:
\( \begin{vmatrix} 5y & 5x \\ 4w & 4z \end{vmatrix} \) = -4 ∙ 5 ∙ 4 = -80
Um determinante não se altera quando se soma a uma de suas filas uma outra fila paralela, previamente multiplicada por uma constante.
Combinando esse teorema com o teorema de Laplace é possível simplificar o cálculo de determinante. Pode-se obter zeros numa determinada fila da matriz, sem alterar o seu determinante. Acompanhe o exemplo.
Exemplo:
Seja D = \( \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 4 & 5 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 7 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} \)
Confira os passos:
Passo 1: Multiplicando a 1ª coluna por -2 e somando o resultado à 2ª coluna
D = \( \begin{vmatrix} 1 & (-2)(1) + 2 & 1 & 1 \\ 4 & (-2)(4) + 5 & 3 & 1 \\ 1 & (-2)(1) + 3 & 7 & 0 \\ 1 & (-2)(1) + 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} \) = \( \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 4 & -3 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 7 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} \)
Passo 2: Multiplicando a 1ª coluna por -1 e somando o resultado à 3ª coluna
D = \( \begin{vmatrix} 1 & 0 & (-1)(1) + 1 & 1 \\ 4 & -3 & (-1)(4) + 3 & 1 \\ 1 & 1 & (-1)(1) + 7 & 0 \\ 1 & 0 & (-1)(1) + 1 & 0 \end{vmatrix} \) = \( \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 4 & -3 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 6 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} \)
Passo 3: Note que a 4ª linha está cheia de zeros. Então, pode-se calcular o determinante utilizando o teorema de Laplace na 4ª linha.
D = \(1 \cdot A_{41} = 1 \cdot (-1)^{4 + 1} \cdot \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -3 & -1 & 1 \\ 1 & 6 & 0 \end{vmatrix} \) = -17
Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então:
det (A ∙ B) = (det A) ∙ (det B)
Como consequência do Teorema de Binet, temos que o determinante da matriz inversa de uma matriz quadrada A é igual ao inverso do determinante de A.
det A\(^{–1}\) = \( \dfrac{1}{det A} \) com det A ≠ 0
Então podemos enunciar que, a condição necessária e suficiente para que uma matriz seja inversível é que seu determinante seja diferente de zero:
Exemplo:
Considere a matriz A quadrada de ordem 3 tal que det A = 3 e a matriz B, também de ordem 3, tal que det B = 4.
a) det (A ∙ B) = (det A) ∙ (det B) = 3 ∙ 4 = 12
Repare que você pode obter a matriz A ∙ B e depois calcular seu determinante.
b) det A\(^{-1}\) = \( \dfrac{1}{det A} \) = \( \dfrac{1}{3} \)
Repare que você obter a matriz inversa A\(^{-1}\) e depois calcular seu determinante.
c) det B\(^{-1}\) = \( \dfrac{1}{det B} \) = \( \dfrac{1}{4} \)
Repare que você obter a matriz inversa B\(^{-1}\) e depois calcular seu determinante.
Determine x na matriz A = \( \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & x \end{pmatrix} \) sabendo que det A\(^{-1}\) = -1/10.
Solução
det A\(^{-1}\) = \(\dfrac{1}{det A}\)
Substituindo vem:
det A\(^{-1}\) = -1/10
\(\dfrac{1}{det A} = -\dfrac{1}{10}\)
det A = -10 (I)
det A = det \( \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & x \end{pmatrix} \) = \( \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 3 & x \end{vmatrix} \) = -x - 6 (II)
Igualando (I) e (II), vem:
-x - 6 = -10
x = 4
Sendo A = \( \begin{pmatrix} -9 & 4 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \), determine A + A\(^{-1}\).
Solução
det A = (-9)(-2) - (-1)(4) = 18 + 4 = 22
Como det A é diferente de zero, A possui inversa.
A ∙ A\(^{-1}\) = I
\( \begin{pmatrix} -9 & 4 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)
\( \begin{pmatrix} -9a + 4c & -9b + 4d \\ -a - 2c & -b - 2d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)
Isolando a em (III):
-a - 2c = 0
a = -2c
E substituindo em (I):
-9 (-2c) + 4c = 1
18c + 4c = 1
22c = 1
c = 1/22
Substituindo c = 1/22 em a = -2c:
a = -2 (1/22) = -1/11
Isolando b em (IV):
-b - 2d = 1
b = -2d - 1
E substituindo em (II):
-9 (-2d - 1) + 4d = 0
18d + 9 + 4d = 0
22d = -9
d = -9/22
Substituindo d = -9/22 em b = -2d - 1:
b = -2 (-9/22) - 1 = 9/11 - 1 = (9 - 11)/11 = -2/11
A matriz inversa é:
\( \begin{pmatrix} -\dfrac{1}{11} & -\dfrac{2}{11} \\ \dfrac{1}{22} & -\dfrac{9}{22} \end{pmatrix} \)
A + A\(^{-1}\) = \( \begin{pmatrix} -9 & 4 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -\dfrac{1}{11} & -\dfrac{2}{11} \\ \dfrac{1}{22} & -\dfrac{9}{22} \end{pmatrix} \) =
\( \begin{pmatrix} -9 -\dfrac{1}{11} & 4 - \dfrac{2}{11} \\ -1 + \dfrac{1}{22} & -2 - \dfrac{9}{22} \end{pmatrix} \) =
\( \begin{pmatrix} -100/11 & 42/11 \\ -21/22 & -53/22 \end{pmatrix} \)
São determinantes em que as filas se encontram em PG com o primeiro termo igual a 1.
Exemplos:
a) \( \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ a & b \end{vmatrix} \)
b) \( \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} \)
c) \( \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & b & c & d \\ a^2 & b^2 & c^2 & d^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 & d^3 \end{vmatrix} \)
Os elementos da segunda fila são chamados de elementos característicos e o determinante será obtido efetuando-se o produto de todas as diferenças possíveis entre os elementos característicos, respeitando-se a condição: cada elemento, a partir do segundo, menos os seus antecessores.
Exemplos:
a) \( \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} \) = (b - a) (c - a) (c - b)
b) \( \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 5 & 4 & 2 \\ 9 & 25 & 16 & 4 \\ 27 & 125 & 64 & 8 \end{vmatrix} \) = (5 - 3) (4 - 3) (2 - 3) (4 - 5) (2 - 5) (2 - 4) = 12
Resolva a equação \( \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & x \\ 1 & 4 & 9 & x^2 \\ 1 & 8 & 27 & x^3 \end{vmatrix} \) = 0.
Solução
\( \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & x \\ 1 & 4 & 9 & x^2 \\ 1 & 8 & 27 & x^3 \end{vmatrix} \) = 0
\( \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & x \\ 1^2 & 2^2 & 3^2 & x^2 \\ 1^3 & 2^3 & 3^3 & x^3 \end{vmatrix} \) = 0
Note que o determinante é de Vandermonde cujos elementos característicos são 1, 2, 3 e x. Então:
(2 - 1) (3 - 1) (x - 1) (3 - 2) (x - 2) (x - 3) = 0
2 (x - 1) (x - 2) (x - 3) = 0
(x - 1) (x - 2) (x - 3) = 0
S = {1, 2, 3}
Calcule V = \( \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ log 2 & log 20 & log 200 \\ (log 2)^2 & (log 20)^2 & (log 200)^2 \end{vmatrix} \).
Solução
V = \( \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ log 2 & log 20 & log 200 \\ (log 2)^2 & (log 20)^2 & (log 200)^2 \end{vmatrix} \)
Note que o determinante é de Vandermonde cujos elementos característicos são log 2, log 20 e log 200. Então:
V = (log 20 - log 2) ∙ (log 200 - log 2) ∙ (log 200 - log 20)
V = \( \left( log \dfrac{20}{2} \right) \left( log \dfrac{200}{2} \right) \left( log \dfrac{200}{20} \right) \)
V = (log 10) ∙ (log 100) ∙ (log 10)
V = (1) ∙ (2) ∙ (1) = 2
Vamos praticar com mais exercícios?
Calcule o determinante da matriz Y = \( \begin{pmatrix} 8 & 9 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \).
Solução
A matriz Y é triangular. Portanto, o determinante de Y é o produto dos elementos da diagonal principal:
det Y = 8 ∙ 2 ∙ 0 ∙ 1 = 0
Determine x na equação \( \begin{vmatrix} x + 3 & 2x - 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} \) = 0.
Solução
\( \begin{vmatrix} x + 3 & 2x - 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} \) = 0
2(x + 3) - 3(2x - 1) = 0
2x + 6 - 6x + 3 = 0
-4x = -9
x = 9/4
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