n! = n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2) ∙ ... ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
para n ∈ \( \mathbb{N} \) e n > 1
n! lê-se fatorial de n ou n fatorial
Por exemplo: 5! lê-se fatorial de 5 ou 5 fatorial.
Exemplos:
Importante: Por definição → 0! = 1
Arraste e confira os fatoriais dos números
0!
1
Se n ≥ 1:
n! = n ∙ (n - 1)!
Exemplos:
Simplifique
a) 4!
b) \(\dfrac{5!}{3!}\)
c) \(\dfrac{7!}{5 \cdot 3!}\)
Solução
a) 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24
b) \(\dfrac{5!}{3!}\) = \(\dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!}\) = 5 ∙ 4 = 20
c) \(\dfrac{7!}{5 \cdot 3!}\) = \(\dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{5 \cdot 3!}\) = 168
Simplifique
a) \(\dfrac{12! \cdot 7! \cdot 4!}{3! \cdot 11! \cdot 8!}\)
b) \(\dfrac{(n + 2)!}{n!}\)
c) \(\dfrac{(3n)!}{(3n – 2)!}\)
Solução
a) \(\dfrac{12! \cdot 7! \cdot 4!}{3! \cdot 11! \cdot 8!}\) = \(\dfrac{12 \cdot 11! \cdot 7! \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 11! \cdot 8 \cdot 7!}\) = \(\dfrac{12 \cdot 4}{8}\) = 6
b) \(\dfrac{(n + 2)!}{n!}\) = \(\dfrac{(n + 2) (n + 1) n!}{n!}\) = (n + 2) (n + 1)
c) \(\dfrac{(3n)!}{(3n – 2)!}\) = \(\dfrac{(3n) (3n - 1) (3n – 2)!}{(3n – 2)!}\) = 3n (3n - 1) = 9n\(^2\) - 3n
Determine o valor de n sabendo que n ∈ \(\mathbb{R}\)
a) (3n - 2)! = 120
b) (n + 1)! = 12 ∙ (n - 1)!
Solução
a) (3n - 2)! = 120
(3n - 2)! = 5!
(3n - 2)! = 5!
3n - 2 = 5
3n = 5 + 2
3n = 7
n = 7/3
b) (n + 1)! = 12 ∙ (n - 1)!
(n + 1) (n) (n - 1)! = 12 ∙ (n - 1)!
(n + 1) (n) = 12
n\(^2\) + n - 12 = 0
n = 3 ou n = -4
Apesar de n ser real, n = -4 não convém, pois ao substituir na equação teríamos (-4 + 1)! = 12 ∙ (-4 - 1)!
(-3)! = 12 ∙ (-5)!
Pela definição de fatorial, não existe fatorial negativo.
Logo: S = {3}
Determine o valor de x sabendo que x ∈ \(\mathbb{R}\)
\(\dfrac{(x + 1)! - x!}{(x - 1)!}\) = 8x
Solução
\(\dfrac{(x + 1)! - x!}{(x - 1)!}\) = 8x
\(\dfrac{(x + 1) (x) (x - 1)! - x (x - 1)!}{(x - 1)!}\) = 8x
(x + 1) x - x = 8x
x\(^2\) + x - x - 8x = 0
x\(^2\) - 8x = 0
x (x - 8) = 0
x = 0 ou x = 8
Note que x = 0 não convém por causa do denominador (x - 1)!
Determine o valor real x sabendo que (x + 1)! < 150
Solução
O maior fatorial menor que 150 é 5! (5! = 120). Repare que 6! (6! = 720) é maior que 150. Assim, x + 1 ≤ 5. Logo x ≤ 4 (I)
Pela definição de fatorial, x + 1 ≥ 0. Logo x ≥ 1 (II)
Fazendo (I) ∩ (II) iremos obter os valores reais de x que satisfazem as duas condições:
(I) ∩ (II) = 1 ≤ x ≤ 4 = [1, 4]
Toda sequência da Análise Combinatória baseia-se nesse princípio.
Se tivermos dois acontecimentos, A e B, sendo que a ocorrência de um deles independe da ocorrência do outro, A acontecendo de m maneiras diferentes e B de n maneiras diferentes, o total de possibilidades da ocorrência de A seguida da ocorrência de B, será m ∙ n.
Uma mulher possui quatro blusas e duas saias. De quantas maneiras diferentes ela poderá se vestir?
A escolha de uma saia poderá ser feita de duas maneiras diferentes. Escolhida a primeira saia, a mulher poderá escolher qualquer uma das quatro blusas, formando portanto quatro conjuntos diferentes. Se tivesse escolhido a segunda saia, novamente poderia combinar essa saia com as quatro blusas que possui, formando outros quatro conjuntos diferentes.
Portanto, o número total de maneiras diferentes de se vestir será 2 ∙ 4 = 8.
Esquematicamente, tem-se:
Total = 2 ∙ 4 = 8
Num grupo de 4 meninos e 3 meninas, de quantos modos distintos podem ser escolhidos uma menina para presidente e um menino para vice-presidente?
Total = 4 ∙ 3 = 12 modos distintos
Observe no próximo exemplo, que o princípio multiplicativo pode ser generalizado para mais de dois eventos.
Quantos números de três algarismos podem ser formados com os algarismos de 1 a 9?
Total = 9 ∙ 9 ∙ 9 = 729 números
Quantos pares distintos de figuras podemos ter sendo que em cada par deve-se ter um círculo e um quadrado?
Quantos números de dois algarismos podem ser formados no sistema de numeracao decimal?
Solução
Total → 9 ∙ 10 = 90
Esquematicamente, tem-se:
| Casa | Dezenas | Unidades |
| Possibilidades | 9 | 10 |
Quantos números pares de dois algarismos podem ser formados com os algarismos de l a 9?
Solução
Repare que nada foi mencionado quanto à repetição de algarismos. Assim, pode ocorrer a repetição de algarismos, ou seja, o algarismo da unidade pode ser o mesmo da dezena. Exemplo: 22, 44, etc.
Total → 90 ∙ 4 = 36
Esquematicamente, tem-se:
| Casa | Dezenas | Unidades |
| Possibilidades | 9 | 4 |
Quantos números pares de dois algarismos distintos podem ser formados com os algarismos de l a 9?
Solução
Repare que os algarismos devem ser distintos (diferentes). Logo, não pode ocorrer a repetição de algarismos.
Total → 8 ∙ 4 = 32
Esquematicamente, tem-se:
| Casa | Dezenas | Unidades |
| Possibilidades | 8 | 4 |
Quantos são os divisores do número 72?
Solução
Decompondo 72 em fatores primos obtem-se:
2³ ∙ 3²
Cada divisor de 72 é da forma 2\(^x\) ∙ 3\(^y\), onde x ∈ {0, 1, 2, 3} e y ∈ {0, 1, 2}.
Total → 4 ∙ 3 = 12 divisores
Esquematicamente, tem-se:
| Casa | x | y |
| Possibilidades | 4 | 3 |
No sistema decimal, quantos são os numeros de três algarismos distintos que podemos formar?
Solução
Total → 9 ∙ 9 ∙ 8 = 648
Esquematicamente, tem-se:
| Casa | Centenas | Dezenas | Unidades |
| Possibilidades | 9 | 9 | 8 |
Em um teste da loteria esportiva com 10 jogos, quantos são os resultados possíveis?
Solução
Para cada um dos 10 jogos, tem-se 3 resultados possíveis (coluna 1, coluna do meio e coluna 2)
T = \(\begin{matrix} \underbrace{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot ... \cdot 3} \\ 10 \ vezes \end{matrix}\) = 3\(^{10}\) = 59.049 resultados possíveis
Arranjos simples são agrupamentos formados por elementos distintos e cuja ordem é considerada.
Sendo n o número de elementos de um conjunto A, o número de arranjos simples de n elementos tomados p a p será dada por:
\( A_{n,p} = \dfrac{n!}{(n - p)!} \)
Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados com os elementos do conjunto {1, 3, 5, 8, 9}?
O conjunto possui 5 elementos e os números a serem formados são de 3 em 3 algarismos.
Repare que a ordem dos algarismos é considerada:
135 é diferente de 531, por exemplo
Logo, a quantidade de números é obtida pelo arranjo de 5 elementos tomados de 3 em 3:
\( A_{5,3} = \dfrac{5!}{(5 - 3)!} \) = \(\dfrac{5!}{2!}\) = \(\dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!}\) = 60
Em 2017, vinte clubes disputam o campeonato brasileiro de futebol. Um bolão está sendo realizado e o ganhador será aquele que acertar o campeão e o vice-campeão. Quantos palpites distintos o apostador tem à disposição?
Repare, por exemplo, que Chapecoense campeã e Palmeiras vice é diferente de Palmeiras campeão e Chapecoense vice.
Logo, a ordem é considerada.
Os 20 clubes serão tomados de 2 em 2 (campeão e vice).
\( A_{20,2} = \dfrac{20!}{(20 - 2)!} \) = \(\dfrac{20!}{18!}\) = \(\dfrac{20 \cdot 19 \cdot 18!}{18!}\) = 380
\(\dfrac{A_{5,2} - A_{4,1}}{A_{6,2}}\) =
Solução
\(\dfrac{A_{5,2} - A_{4,1}}{A_{6,2}}\) = \(\dfrac{\dfrac{5!}{(5 - 2)!} - \dfrac{4!}{(4 - 1)!}}{\dfrac{6!}{(6 - 2)!}}\) = \(\dfrac{\dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} - \dfrac{4 \cdot 3!}{3!}}{\dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!}}\) = \(\dfrac{20 - 4}{30}\) = \(\dfrac{16}{30}\) = 8/15
Determine o valor de x na equação
A\(_{x,3}\) = 10 ∙ A\(_{x,2}\)
Solução
\(\dfrac{x}{(x - 3)!}\) = 10 ∙ \(\dfrac{x}{(x - 2)!}\)
\(\dfrac{x (x - 1) (x - 2) (x - 3)!}{(x - 3)!}\) = 10 ∙ \(\dfrac{x (x - 1) (x - 2)!}{(x - 2)!}\)
x ∙ (x - 1) ∙ (x - 2) = 10 ∙ x ∙ (x - 1)
x - 2 = 10
x = 12
Quantos números compreendidos entre 100 e 1000 podem ser formados com os algarismos 0, 1, 3, 6 e 8, sem os repetir?
Solução
Os números terão 3 algarismos, pois estão compreendidos entre 100 e 1000.
Não pode haver repetição de algarismos e a ordem é considerada (136 é diferente de 613).
Logo, trata-se de um problema de arranjo simples.
O total de números é:
4 ∙ A\(_{4,2}\) = 4 ∙ \(\dfrac{4!}{(4 - 2)!}\) = 4 ∙ \(\dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!}\) = 4 ∙ 4 ∙ 3 = 48
Esse problema pode ser resolvido pelo Princípio Multiplicativo. Veja:
__ __ __
(4) __ __ ⇒ a primeira casa pode ter o algarismo 1, 3, 6 ou 8. Logo, 4 possibilidades
(4) (4) __ ⇒ a segunda casa pode ter todos os algarismos, exceto o que está na primeira casa. Logo, 5 - 1 = 4 possibilidades
(4) (4) (3) ⇒ a terceira casa pode ter todos os algarismos, exceto os que estão nas primeira e segunda casas. Logo, 5 - 2 = 3 possibilidades
Total = 4 ∙ 4 ∙ 3 = 48
Observação:
Todos os problemas de Arranjos Simples também podem ser resolvidos pelo Princípio Multiplicativo.
Combinações simples são agrupamentos onde a ordem com que os elementos comparecem não é considerada.
Sendo n o número de elementos de um conjunto A, o número de combinações simples de n elementos tomados p a p será dada por:
\( C_{n,p} = \dfrac{n!}{(n - p)! \ \cdot\ p!} \)
Quantas duplas distintas podem ser formadas com 4 pessoas?
São 4 elementos que serão tomados de 2 em 2.
Repare que a ordem dos elementos para formar a dupla não é considerada. Assim, nomeando as pessoas como A, B, C e D, a dupla formada por AB é a mesma formada por BA.
O problema trata-se de Combinações Simples:
\( C_{4,2} = \dfrac{4!}{(4 - 2)! \ \cdot\ 2!} = \dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2 \cdot 1} \) = 6
Quantas comissões formadas de 3 elementos cada podem ser formadas com 8 pessoas de uma equipe?
Solução
Repare que a ordem não é considerada. Alterando a ordem dos elementos nas comissões não resultará em uma nova comissão (será a mesma).
Logo:
\( C_{8,3} = \dfrac{8!}{(8 - 3)! \ \cdot\ 3!} = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \) = 56
Em uma equipe existem 9 homens e 7 mulheres. Quantas comissões de 4 homens e 3 mulheres podem ser formadas?
Solução
Repare que temos 2 grupos para a comissão: Um será composto por homens e outro por mulheres.
Logo, a quantidade de comissões possíveis é:
126 ∙ 35 = 4.410
Quantas diagonais tem um hexágono?
Solução
Um hexágono tem 6 vértices e 6 lados.
Unindo os vértices de 2 em 2 obtem-se as diagonais e os lados do vértice
Para obter a quantidade de vértices, basta unir os vértices de 2 em 2 e pois subtrair o número de lados.
D = \( C_{6,2}\) - 6 = \(\dfrac{6!}{(6 - 2)! \ \cdot\ 2!}\) - 6 = \(\dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 2 \cdot 1}\) - 6 = 15 - 6 = 9
Observação:
O número de diagonais de um polígonos de n lados, com n > 3, pode ser obtido por:
D = \( C_{n,2}\) - n
Seja I um conjunto com n elementos. Chama-se permutação simples dos n elementos de I todo arranjo simples desses n elementos tomados n a n.
Em outras palavras, Permutações Simples é o Arranjo Simples quando n = p.
\( P_n = A_{n, n} = n! \)
Quantos números de 5 algarismos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?
Solução
Repare que são 5 elementos que serao tomados de 5 em 5. A ordem é considerada. Logo, A\(_{5,5}\) = P\(_5\):
P\(_5\) = 5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120
Quantos anagramas podemos formar com a palavra bola?
Solução
Anagramas são palavras obtidas efetuando-se todas trocas possíveis entre as letras de uma palavra dada, independente de ter ou não sentido.
São 4 letras (b, o, l, a) que serão tomadas de 4 em 4 para formar novas palavras.
P\(_4\) = 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24
O número total de permutações de n elementos onde existem r elementos repetidos de um mesmo tipo, t elementos repetidos de um outro tipo, e assim sucessivamente, é dado por:
\( P_n^{r,t,…,k} = \dfrac{n!}{r! \ \cdot\ t! \ \cdot\ … \ \cdot\ k!} \)
Quantos anagramas podem ser formados com a palavra ARARA?
Solução
A palavra ARARA tem 5 letras, mas existem letras repetidas. A letra A repete 3 vezes e a letra R, 2 vezes.
Ao trocar a letra A por outra A, por exemplo, o anagrama será o mesmo. Portanto, é necessário descontar pois haverá anagramas repetidos. Logo, deve-se utilizar \( P_5^{3,2} \):
\( P_5^{3,2} = \dfrac{5!}{3! \cdot 2!} = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2 \cdot 1} \) = 10
Complete o quadro abaixo sendo: (P) Permutação - (A) Arranjo - (C) Combinação
| Descrição | P | A | C |
|---|---|---|---|
| Ordem dos elementos é considerada | |||
| Todos os elementos estarão presentes | |||
| Ordem dos elementos não é considerada |
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