Relação nos parece familiar... Tivemos que estudar relações para compreendermos bem as funções. Lembra?

Agora iremos estudar as relações lógicas. Pronto para começar?

Toda função é uma relação mas nem toda relação é uma função

Atenção: Para demonstrar que uma determinada propriedade não é válida, basta apresentar um contra-exemplo (exemplo que prova que a propriedade é falsa).

Seja R uma relação em um conjunto A. A relação R é reflexiva se e só se ∀x ∈ A tem-se (x, x) ∈ A.

xRx, ∀x ∈ A

Em outras palavras: Para que a relação R seja reflexiva, todos os elementos do conjunto A tem que se relacionar consigo mesmo na relação R.

Dica pra guardar: Reflexiva vem de refletir, então, lembre-se do espelho. O elemento tem que refletir ele mesmo.

Se houver pelo menos um elemento que não se relaciona (contra-exemplo) com ele mesmo, R não será reflexiva.

Exemplos:

a) Seja A = {1, 2, 3}. A relação R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3)} não é reflexiva porque 3 ∈ A mas (3, 3) ∉ R.

b) A relação em \(\mathbb{R}\) definida pela sentença x ≤ y é reflexiva, pois x ≤ x, ∀x ∈ \(\mathbb{R}\).

c) A relação em \(\mathbb{R}\) definida pela sentença x < y não é reflexiva, pois não tem como x ser menor do que ele mesmo (são iguais).

d) Seja P o conjunto de todas as retas do plano euclidiano. A relação definida em P por "x é paralela a y" (relação de paralelismo entre as retas do plano) é reflexiva, pois toda reta é paralela a si mesma.

e) Seja P o conjunto de todas as retas do plano euclidiano. A relação definida em P por "x é perpendicular a y" não é reflexiva, pois não tem como uma reta ser perpendicular a si mesma.

f) A relação definida em \(\mathbb{N}\) definida por "x é múltiplo de y" é reflexiva, pois todo número natural é múltiplo dele mesmo.

g) Seja T o conjunto de pessoas. A relação definida por "o nome de x tem a mesma inicial que o nome de y" é reflexiva, pois toda pessoa x tem a mesma inicial que ela mesma.

Qual relação é reflexiva, sabendo que todas elas são relações em \(\mathbb{R}\)?

  • ( 1 ) x é a metade do dobro de y
  • ( 2 ) x é o triplo da terça parte de y
  • ( 4 ) | x |

As opções acima são relações em \(\mathbb{Z}\). A soma das opções que apresentam relações reflexivas é

Seja R uma relação em um conjunto A. A relação R é simétrica se e só se vale a seguinte condição:

Se (x, y) ∈ R, então (y, x) ∈ R ⇔ Se xRy ∈ R, então yRx ∈ R

Em outras palavras: Se para todo elemento x que se relaciona com outro y tiver y se relacionando com o x, a relação será simétrica.

Dica pra guardar: Se você gosta de uma pessoa e ela também gosta de você, a relação de vocês é simétrica.

Exemplos:

a) Seja A = {1, 2, 3}. A relação R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 3)} não é simétrica porque (2, 3) ∈ R mas (3, 2) ∉ R.

b) A relação em \(\mathbb{R}\) definida pela sentença x ≤ y não é simétrica, pois, por exemplo, 2 ≤ 3 é verdadeiro mas 3 ≤ 2 é falso.

c) A relação em \(\mathbb{R}\) definida pela sentença x < y não é simétrica, pois, por exemplo, 1 < 2 mas 2 > 1.

d) Seja P o conjunto de todas as retas do plano euclidiano. A relação definida em P por "x é paralela a y" (relação de paralelismo entre as retas do plano) é simétrica, pois se r//s, então s//r.

e) Seja P o conjunto de todas as retas do plano euclidiano. A relação definida em P por "x é perpendicular a y" é simétrica, pois se r⊥s, então s⊥r.

f) A relação definida em \(\mathbb{N}\) definida por "x é múltiplo de y" não é simétrica, pois, por exemplo, 10 é múltiplo de 5 mas 5 não é múltiplo de 10.

g) Seja T o conjunto de pessoas. A relação definida por "o nome de x tem a mesma inicial que o nome de y" é simétrica, pois, se a pessoa x tem a mesma inicial que y, então y tem a mesma inicial que x.

A relação "A é pai de B" é simétrica?

Seja R uma relação em um conjunto A. A relação R é transitiva se e só se vale a seguinte condição:

Se (x, y) ∈ R e (y, z) ∈ R, então (x, z) ∈ R ⇔ Se xRy ∈ R e yRz ∈ R, então xRz ∈ R

Em outras palavras: A relação será transitiva se tiver um primeiro elemento se relacionando com um segundo elemento, esse segundo elemento se relacionando com um terceiro elemento e esse terceiro elemento se relacionando com o primeiro.

Dica pra guardar: Lembra de 3 irmãos. Se Fulano é irmão de Beltrano e Beltrano é irmão de Cicrano, então Fulano é irmão de Cicrano.

Exemplos:

a) Seja A = {1, 2, 3}. A relação R = {(1, 2), (2, 2), (2, 1), (2, 3)} não é transitiva pois, por exemplo, (1, 2) ∈ R e (2, 3) ∈ R mas (1, 3) ∉ R.

b) Seja A = {1, 2, 3}. A relação R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)} é transitiva.

Agora, observe o seguinte exemplo:

Seja A = {1, 2, 3}. As relação R1 = {(1, 2), (1, 3)} e R2 = {(1, 2)}são transitivas, pois não existe um contra-exemplo que comprove que R1 e R2 não são transitivas.

Mais exemplos:

a) A relação em \(\mathbb{R}\) definida pela sentença x ≤ y é transitiva, pois se x ≤ y e y ≤ z, então x ≤ z.

b) A relação em \(\mathbb{R}\) definida pela sentença x < y é transitiva, pois se x < y e y < z, então x > z.

c) Seja P o conjunto de todas as retas do plano euclidiano. A relação definida em P por "x é paralela a y" (relação de paralelismo entre as retas do plano) é transitiva, pois se r//s e s//t, então r//t.

d) Seja P o conjunto de todas as retas do plano euclidiano. A relação definida em P por "x é perpendicular a y" não é transitiva, pois se r⊥s e s⊥t, então r não é perpendicular a t.

e) A relação definida em \(\mathbb{N}\) definida por "x é múltiplo de y" é transitiva, pois se n é múltiplo de m e m é múltiplo de p, então n é múltiplo de p.

f) A relação "x é filho de y" não é transitiva, pois se A é filho de B e B é filho de C, então A não é filho de C (A é neto de C).

g) A relação "x é descendente de y" é transitiva, pois se A é descendente de B e B é descendente de C, então A é descendente de C.

h) Seja T o conjunto de pessoas. A relação definida por "o nome de x tem a mesma inicial que o nome de y" é transitiva, pois, se a pessoa x tem a mesma inicial que y e y a mesma inicial que z, então x tem a mesma inicial que z.

A relação "A é pai de B" é transitiva?

Seja R uma relação definida em um conjunto A. R é uma relação de equivalência se e só se R é simultaneamente:

  • reflexiva
  • simétrica e
  • transitiva

Seja R a relação definida em \(\mathbb{Z}\) por "x + y = 6". Verifique quais propriedades de R em \(\mathbb{Z}\) e se R é uma relação de equivalência.

Solução

  • Reflexiva: Não, pois, por exemplo, 2 ∈ \(\mathbb{Z}\) mas (2, 2) ∉ R (2 + 2 ≠ 6)
  • Simétrica: Sim, pois se x + y = 6, então y + x = 6
  • Transitiva: Não, pois, por exemplo, (5, 1) ∈ R (5 + 1 = 6) e (1, 5) ∈ R (1 + 5 = 6), mas (5, 5) ∉ R (5 + 5 ≠ 6)

Para ser uma relação de equivalência R deve satisfazer as três propriedades. Como só satisfaz uma (simétrica), R não é de equivalência.

R é simétrica e R não é de equivalência

Seja P o conjunto de países definido pela relação "x tem o nome iniciado com a mesma letra que y". Verifique quais propriedades de R em \(\mathbb{Z}\) e se R é uma relação de equivalência.

Solução

  • Reflexiva: Sim, pois todo país tem a primeira letra do nome igual ao seu próprio nome (Ex: Brasil - Brasil)
  • Simétrica: Sim, pois se x inicia com a mesma letra que y, então y inicia com a mesma letra que x. Exemplo: se (Brasil, Bolívia) então (Bolívia, Brasil)
  • Transitiva: Sim, pois se x inicia com a mesma letra que y e y inicia com a mesma letra que z, então x inicia com a mesma letra que z. Exemplo: se (Argentina, Alemanha) e (Alemanha, Austrália) então (Argentina, Austrália)

Como satisfaz as três propriedades, a relação é de equivalência.

A relação é reflexiva, simétrica e transitiva, logo a relação é de equivalência

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