Como visto, as proposições relacionam-se através dos conectivos.
O resultado da relação é conhecido através de uma tabela chamada de tabela-verdade.
Para montarmos a tabela-verdade correspondente a operação lógica, precisamos identificar a quantidade de átomos presentes na operação.
Identificada a quantidade de átomos, utilizamos a seguinte fórmula:
Nº de linhas = \(2^n\) (onde n é o número de átomos)
para obtermos a quantidade de linhas que irão compor a tabela, além da linha título.
Assim:
Calma! Não será necessário construir tabelas com muitas linhas numa prova. Mas é necessário aprender a construí-las para que na prova você enxergue o resultado imediatamente.
Como o próprio nome já diz, a negação recebe um valor lógico diferente: se a proposição é V, a negação dela será F, e vice-versa.
A negação é o único conectivo que pode ser utilizado independentemente da quantidade de proposições simples.
Os outros conectivos são utilizados para relacionar mais de uma proposição.
Dada uma proposição p, chama-se negação de p a proposição denotada por ~p, que se lê não p.
Vamos agora montar a tabela-verdade da negação de p, ou seja, ~p.
Observe que temos apenas 1 átomo: p. O ~ é negação.
Utilizando a fórmula,
2\(^1\) = 2
teremos uma tabela com 2 linhas.
| p |
|---|
Vamos preencher a coluna da proposição p com os possíveis valores lógicos.
| p |
|---|
| V |
| F |
Em seguida acrescentaremos a coluna da proposição ~ p.
| p | ~p |
|---|---|
| V | |
| F |
E, finalmente, analisaremos a operação.
1ª linha: se p tem V como valor lógico, a negação de p será F (a negação de V é F).
| p | ~p |
|---|---|
| V | F |
| F |
2ª linha: a negação de F é V.
| p | ~p |
|---|---|
| V | F |
| F | V |
Pronto! Obtemos a tabela-verdade da negação.
Considere duas proposições p e q. Chama-se conjunção de p e q a proposição representada por:
p ∧ q
e se lê p e q.
A conjunção p ∧ q tem como valor lógico V se, e somente se, p e q forem ambas V. Caso contrário, seu valor será F, ou seja, basta p ou q for F para a conjunção ser F.
Observe que:
Temos 2 átomos, o que nos dá \(2^2\) = 4 linhas.
| p | q |
|---|---|
Para preencher a tabela, utilizaremos um método simples para evitar linhas repetidas.
Dividiremos o número de linhas por 2.
4/2 = 2 (I) guarde esse resultado
O resultado representa de quanto em quanto iremos preencher as linhas da 1ª coluna (por opção, pois poderia ser a 2ª coluna) com V (por opção, pois poderia ser F).
Por opção, preencheremos as duas primeiras linhas da primeira coluna com V.
| p | q |
|---|---|
| V | |
| V | |
As outras duas linhas preencheremos com F.
| p | q |
|---|---|
| V | |
| V | |
| F | |
| F |
Você já deve ter notado que na 1ª coluna, a primeira metade das linhas recebe o valor lógico V e a outra metade, recebe F. Por opção, construiremos todas as tabelas utilizando esse método.
Agora iremos preencher a 2ª coluna. Basta pegar o resultado (I) e dividir novamente por 2.
2/2 = 1
O resultado representa de quanto em quanto iremos preencher as linhas da 2ª coluna com V (por opção, pois poderia ser F). Repare que iremos intercalar os valores V e F.
Por opção, iniciaremos com V.
Repare que a intercalação será de 1 em 1. Isso sempre acontece na coluna da última proposição simples.
| p | q |
|---|---|
| V | V |
| V | F |
| F | V |
| F | F |
Assim, obtemos todos os valores possíveis na relação entre os átomos.
Em seguida acrescentaremos a coluna da proposição p ∧ q.
| p | q | p ∧ q |
|---|---|---|
| V | V | |
| V | F | |
| F | V | |
| F | F |
E, finalmente, analisaremos a operação.
1ª linha: se p e q tem V como valor lógico, a conjunção entre elas é V.
| p | q | p ∧ q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | |
| F | V | |
| F | F |
2ª linha: se p tem V como valor lógico e q tem F, a conjunção entre elas é F. Lembre-se que a conjunção será V se e só se todas forem V.
| p | q | p ∧ q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | |
| F | F |
3ª linha: se p tem F como valor lógico e q tem V, a conjunção entre elas é F.
| p | q | p ∧ q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F |
4ª linha: se p e q tem F como valor lógico, a conjunção entre elas é F.
| p | q | p ∧ q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
Pronto! Obtemos, assim, a tabela-verdade da conjunção entre dois átomos.
Obter a tabela-verdade da seguinte proposição p ∧ q ∧ r
Solução
Repare que temos 3 átomos: p, q e r.
Então, nossa tabela-verdade terá \(2^3\) = 8 linhas.
| p | q | r | p ∧ q | p ∧ q ∧ r |
|---|---|---|---|---|
| V | V | V | ||
| V | V | F | ||
| V | F | V | ||
| V | F | F | ||
| F | V | V | ||
| F | V | F | ||
| F | F | V | ||
| F | F | F |
Fazendo p ∧ q, vem:
| p | q | r | p ∧ q | p ∧ q ∧ r |
|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | |
| V | V | F | V | |
| V | F | V | F | |
| V | F | F | F | |
| F | V | V | F | |
| F | V | F | F | |
| F | F | V | F | |
| F | F | F | F |
Fazendo p ∧ q ∧ r, vem:
| p | q | r | p ∧ q | p ∧ q ∧ r |
|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V |
| V | V | F | V | F |
| V | F | V | F | F |
| V | F | F | F | F |
| F | V | V | F | F |
| F | V | F | F | F |
| F | F | V | F | F |
| F | F | F | F | F |
Considere duas proposições p e q. Chama-se disjunção de p e q a proposição representada por:
p ∨ q
e se lê p ou q.
A disjunção p ∨ q, ao contrário da conjunção, tem como valor lógico F se, e somente se, p e q forem ambas F. Caso contrário, seu valor será V, ou seja, se p ou q for V, a disjunção será V.
Observe que:
Temos 2 átomos, o que nos dá \(2^2\) = 4 linhas.
| p | q |
|---|---|
Dividiremos o número de linhas por 2.
4/2 = 2 (I) guarde esse resultado
Preencheremos as duas primeiras linhas da primeira coluna com V.
| p | q |
|---|---|
| V | |
| V | |
As outras duas linhas preencheremos com F.
| p | q |
|---|---|
| V | |
| V | |
| F | |
| F |
O resultado (I) e dividir novamente por 2.
2/2 = 1
Iremos intercalar os valores lógicos na 2ª coluna, iniciando por V.
| p | q |
|---|---|
| V | V |
| V | F |
| F | V |
| F | F |
Em seguida acrescentaremos a coluna da proposição p ∨ q.
| p | q | p ∨ q |
|---|---|---|
| V | V | |
| V | F | |
| F | V | |
| F | F |
E, finalmente, analisaremos a operação.
1ª linha: se p e q tem V como valor lógico, a conjunção entre elas é V.
| p | q | p ∨ q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | |
| F | V | |
| F | F |
2ª linha: se p tem V como valor lógico e q tem F, a disjunção entre elas é V. Lembre-se que para a disjunção ser V, basta apenas uma proposição ser V.
| p | q | p ∨ q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | V |
| F | V | |
| F | F |
3ª linha: se p tem F como valor lógico e q tem V, a disjunção entre elas é V.
| p | q | p ∨ q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F |
4ª linha: se p e q tem F como valor lógico, a disjunção entre elas é F.
| p | q | p ∨ q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
Pronto! Obtemos, assim, a tabela-verdade da disjunção entre dois átomos.
Considere duas proposições p e q. Chama-se proposição condicional de p e q a proposição denotada por:
p → q
que se lê se p então q.
O átomo p é chamado antecedente e q chamado conseqüente.
A condicional p → q será F somente se p for V e q for F, onde teremos:
se V então F (V → F)
Observe que:
Temos 2 átomos, o que nos dá \(2^2\) = 4 linhas.
| p | q |
|---|---|
Dividiremos o número de linhas por 2.
4/2 = 2 (I) guarde esse resultado
Preencheremos as duas primeiras linhas da primeira coluna com V.
| p | q |
|---|---|
| V | |
| V | |
As outras duas linhas preencheremos com F.
| p | q |
|---|---|
| V | |
| V | |
| F | |
| F |
O resultado (I) e dividir novamente por 2.
2/2 = 1
Iremos intercalar os valores lógicos na 2ª coluna, iniciando por V.
| p | q |
|---|---|
| V | V |
| V | F |
| F | V |
| F | F |
Em seguida acrescentaremos a coluna da proposição p → q.
| p | q | p → q |
|---|---|---|
| V | V | |
| V | F | |
| F | V | |
| F | F |
E, finalmente, analisaremos a operação.
1ª linha: se p e q tem V como valor lógico, a condicional entre elas será V.
| p | q | p → q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | |
| F | V | |
| F | F |
2ª linha: se p tem V como valor lógico e q tem F, a condicional entre elas será F.
| p | q | p → q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | |
| F | F |
3ª linha: se p tem F como valor lógico e q tem V, a condicional entre elas será V.
| p | q | p → q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F |
4ª linha: se p e q tem F como valor lógico, a condicional entre elas será V.
| p | q | p → q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
Pronto! Obtemos, assim, a tabela-verdade da disjunção entre dois átomos.
Considere duas proposições p e q. Chama-se proposição bicondicional de p e q a proposição denotada por:
p ↔ q.
que se lê p se, e somente se, q.
A bicondicional p ↔ q será V se p e q tiverem valores lógicos iguais (ou ambas V ou ambas F).
Observe que:
Temos 2 átomos, o que nos dá \(2^2\) = 4 linhas.
| p | q |
|---|---|
Dividiremos o número de linhas por 2.
4/2 = 2 (I) guarde esse resultado
Preencheremos as duas primeiras linhas da primeira coluna com V.
| p | q |
|---|---|
| V | |
| V | |
As outras duas linhas preencheremos com F.
| p | q |
|---|---|
| V | |
| V | |
| F | |
| F |
O resultado (I) e dividir novamente por 2.
2/2 = 1
Iremos intercalar os valores lógicos na 2ª coluna, iniciando por V.
| p | q |
|---|---|
| V | V |
| V | F |
| F | V |
| F | F |
Em seguida acrescentaremos a coluna da proposição p ↔ q.
| p | q | p ↔ q |
|---|---|---|
| V | V | |
| V | F | |
| F | V | |
| F | F |
E, finalmente, analisaremos a operação.
1ª linha: se p e q tem V como valor lógico, a bicondicional entre elas será V.
| p | q | p ↔ q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | |
| F | V | |
| F | F |
2ª linha: se p tem V como valor lógico e q tem F, a bicondicional entre elas será F.
| p | q | p ↔ q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | |
| F | F |
3ª linha: se p tem F como valor lógico e q tem V, a condicional entre elas será F.
| p | q | p ↔ q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F |
4ª linha: se p e q tem F como valor lógico, a condicional entre elas será V.
| p | q | p ↔ q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | V |
Pronto! Obtemos, assim, a tabela-verdade da bicondicional entre dois átomos.
Montar a tabela-verdade de (p ∧ q) ∨ r.
Solução
| p | q | r | p ∧ q | (p ∧ q) ∨ r |
|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V |
| V | V | F | V | V |
| V | F | V | F | V |
| V | F | F | F | F |
| F | V | V | F | V |
| F | V | F | F | F |
| F | F | V | F | V |
| F | F | F | F | F |
Montar a tabela-verdade de p → (q ∨ ~ p).
Solução
| p | q | ~p | q ∨ ~ p | p → (q ∨ ~ p) |
|---|---|---|---|---|
| V | V | F | V | V |
| V | F | F | F | F |
| F | V | V | V | V |
| F | F | V | V | V |
Montar a tabela-verdade de (r ∨ s) ↔ (r ∧ ~ s).
Solução
| r | s | ~s | r ∨ s | r ∧ ~ s | (r ∨ s) ↔ (r ∧ ~ s) |
|---|---|---|---|---|---|
| V | V | F | V | F | F |
| V | F | V | V | V | V |
| F | V | F | V | F | F |
| F | F | V | F | F | V |
Montar a tabela-verdade de a ∧ (b → ~ c).
Solução
| a | b | c | ~c | b → ~ c | a ∧ (b → ~ c) |
|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | F | F | F |
| V | V | F | V | V | V |
| V | F | V | F | V | V |
| V | F | F | V | V | V |
| F | V | V | F | F | F |
| F | V | F | V | V | F |
| F | F | V | F | V | F |
| F | F | F | V | V | F |
Apresente o valor lógico da proposição: 2 × 8 = 15 ↔ 15 ÷ 6 = 2.
Solução
2 × 8 = 15 ↔ 15 ÷ 6 = 2
F ↔ F
V
Apresente o valor lógico da proposição: ~ (3 × 4 = 12) → 19 é número primo.
Solução
~ (3 × 4 = 12) → 19 é número primo
~ (V) → V
F → V
V
Apresente o valor lógico da proposição: 4 é divisor de 8 ou fevereiro tem 30 dias.
Solução
4 é divisor de 8 ou fevereiro tem 30 dias
V ou F
V
Apresente o valor lógico da proposição: 12 × 3 > 19 e mdc(28,35) = 7.
Solução
12 × 3 > 19 e mdc(28,35) = 7
V e V
V
Apresente o valor lógico da proposição: ~ (3 é múltiplo de 12).
Solução
~ (3 é múltiplo de 12)
~ (F)
V
Apresente o valor lógico da proposição: ~[~(4 é múltiplo de 16)].
Solução
~[~(4 é múltiplo de 16)]
~[~(F)]
~[V]
F
Até aqui, as proposições apresentavam parênteses. Observe as seguintes proposições compostas.
E agora, como proceder?
E estas cinco últimas não apresentam parênteses.
Os conectivos ∧ e ∨ tem prioridade sobre os conectivos → e ↔. Ou seja, a conjunção e a disjunção tem prioridade sobre a condicional e a bicondicional.
Já o conetivo ~ tem prioridade sobre os demais. Assim:
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