Lembra de funções? Agora iremos conhecer as funções trigonométricas.

Chama-se função seno a função definida por

f: \( \mathbb{R} \) → [-1, 1] tal que f(x) = sen x

Função seno

Observe no gráfico que:

  • o domínio de sen x é D(f) = \( \mathbb{R} \)
  • a imagem de sen x é Im(f) = [-1, 1]

PARIDADE, PERÍODO E AMPLITUDE

Paridade: O seno é uma função ímpar, pois ∀x, x ∈ \(\mathbb{R}\), tem-se sen (-x) = - sen x

Período: Observe que sen x = sen (x + 2\(\pi\)), ∀x, x ∈ \(\mathbb{R}\). Logo, a função seno é periódica e seu período vale 2\(\pi\)

Determine k de modo que sen x = 3k + 1.

Solução

Como -1 ≤ sen x ≤ 1, tem-se:

-1 ≤ 3k + 1 ≤ 1

-1 - 1 ≤ 3k ≤ 1 - 1

-2 ≤ 3k ≤ 0

-2/3 ≤ k ≤ 0

Determine o conjunto imagem de y = 1 + sen x.

Solução

A imagem de sen x é [-1, 1]

A imagem de 1 + sen x é [1 - 1, 1 + 1] = [0, 2]

Chama-se função seno a função definida por

f: \( \mathbb{R} \) → [–1, 1] tal que f(x) = cos x

Função cosseno

Observe no gráfico que:

  • o domínio de cos x é D(f) = \( \mathbb{R} \)
  • a imagem de cos x é Im(f) = [-1, 1]

PARIDADE, PERÍODO E AMPLITUDE

Paridade: O cosseno é uma função par, pois ∀x, x ∈ \(\mathbb{R}\), tem-se cos (-x) = cos x

Período: Observe que cos x = cos (x + 2\(\pi\)), ∀x, x ∈ \(\mathbb{R}\). Logo, a função cosseno é periódica e seu período vale 2\(\pi\)

Determine k de modo que cos x = \(\dfrac{k - 3}{2}\).

Solução

Como -1 ≤ cos x ≤ 1, tem-se:

-1 ≤ \(\dfrac{k - 3}{2}\) ≤ 1

2 ∙ (-1) ≤ k - 3 ≤ 2 ∙ 1

-2 ≤ k - 3 ≤ 2

-2 + 3 ≤ k ≤ 2 + 3

1 ≤ k ≤ 5

Determine o conjunto imagem de y = 1 + 2 cos x.

Solução

A imagem de cos x é [-1, 1]

A imagem de 2 cos x é [2(-1), 2(1)] = [-2, 2]

A imagem de 1 + 2 cos x é [1 - 2, 1 + 2] = [-1, 3]

Chama-se função tangente a função definida por

f: {x ∈ \( \mathbb{R} \) | x ≠ \( \dfrac{\pi}{2} \) + k π, k ∈ \( \mathbb{Z} \)} → \( \mathbb{R} \) tal que f(x) = tg x

Função tangente

Observe no gráfico que:

  • o domínio de tg x é D(f) = {x ∈ \(\mathbb{R}\) | x ≠ \(\dfrac{\pi}{2}\) + k\(\pi\), k ∈ \(\mathbb{Z}\)}
  • a imagem de tg x é Im(f) = \(\mathbb{R}\)

PARIDADE, PERÍODO E AMPLITUDE

Paridade: A tangente é uma função ímpar, pois ∀x, x ∈ D, tem-se tg (-x) = - tg x

Período: Observe que tg x = tg (x + \(\pi\)), ∀x, x ∈ D. Logo, a função cosseno é periódica e seu período vale \(\pi\)

Determine o domínio de y = tg \(\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)\).

Solução

Para tg x, o domínio D(f) = {x ∈ \(\mathbb{R}\) | x ≠ \(\dfrac{\pi}{2}\) + k\(\pi\)}

Logo, para tg \(\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)\), tem-se:

2x - \(\pi\)/3 ≠ \(\pi\)/2 + k\(\pi\)

2x ≠ \(\pi\)/2 + k\(\pi\) + \(\pi\)/3

2x ≠ 5\(\pi\)/6 + k\(\pi\)

x ≠ 5\(\pi\)/12 + k\(\pi\)/2

D(f) = {x ∈ \(\mathbb{R}\) | x ≠ 5\(\pi\)/12 + k\(\pi\)/2, k ∈ \(\mathbb{Z}\)}

Esta foi uma demonstração gratuita.

Logue para ter acesso a todo conteúdo interativo.

Hum, ainda não criou conta!?

Crie sua conta e ative-a para ter acesso a todo conteúdo interativo.

Criar conta Login