Para resolver equações trigonométricas, é primordial conhecer praticamente todos os conceitos vistos anteriormente em Trigonometria.

Dominar o ciclo trigonométrico é fundamental para ir bem em Trigonometria. Então, observe com atenção e procure montá-lo em seu caderno para melhor fixação.

Circunferência trigonométrica

Note que:

  • sen 30º = sen 150º = 1/2
  • cos 135º = cos 225º = -\(\sqrt{2}\)/2
  • tg 120º = tg 300º = -\(\sqrt{3}\)

Exemplo:

Para determinar seno, cosseno e tangente de 1920º, deve-se primeiramente obter o arco côngruo situado entre 0º e 360º. Para isso, basta dividir 1920º por 360º:

Dividindo 1920º por 360º obtém 5 voltas completas e resto 120º. Esse resto é o arco côngruo situado entre 0º e 360º de 1920º.

Assim:

  • sen 1920º = sen 120º = \(\sqrt{3}\)/2
  • cos 1920º = cos 120º = -1/2
  • tg 1920º = tg 120º = -\(\sqrt{3}\)

Resolva a equação cos 3x = 1/2.

Solução

Observando o ciclo trigonométrico, 1/2 = cos 60º = cos 300º = cos -60º = ...

Assim, pode-se escrever:

cos 3x = 1/2

cos 3x = cos 60º = cos 300º = cos -60º = ...

Repare que 3x = 60º = 300º = -60º = ...

Isso significa que 3x deve ser côngruo de 60º. Então:

3x = ±60º + k ∙ 360º (÷3)

x = ±20º + k ∙ 120º, k ∈ \(\mathbb{Z}\)

Resolva a equação sen x + cos x = ±\(\sqrt{2}\).

Solução

Elevando os dois membros ao quadrado:

(sen x + cos x)² = \((\pm\sqrt{2})^2\)

sen²x + 2 ∙ sen x ∙ cos x + cos²x = 2

Como:

  • sen²x + cos²x = 1
  • 2 ∙ sen x ∙ cos x = sen 2x

Substituindo, vem:

sen²x + 2 ∙ sen x ∙ cos x + cos² = 2 x

1 + sen 2x = 2

sen 2x = 1

Tem-se seno igual a 1 para o arco de 90º ou para os arcos côngruos de 90º. Logo:

2x = 90º + k ∙ 360º

x = 45º + k ∙ 180º, k ∈ \(\mathbb{Z}\)

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