Um concurso público possui 10 vagas para o cargo A e 10 vagas para o cargo B. Considerando que todos os candidatos estão preparados para o concurso e que 1.000 candidatos irão concorrer às vagas do cargo A e 4.000 candidatos irão concorrer às vagas do cargo B, qual cargo oferece maiores chances de um candidato ingressar?
Considerando o concurso anterior, por que quem concorrer ao cargo A tem mais chances de assumí-lo?
Sejam S um espaço amostral finito e não-vazio, e E um evento de S. A probabilidade de ocorrer algum elemento de E é indicada por P(E) e definida por
P(E) = \( \dfrac{n(E)}{n(S)} \)
em que n(E) e n(S) indicam, respectivamente, o número de elementos de E e de S.
Exemplo:
O alfabeto brasileiro é composto por 26 letras, divididas entre vogais e consoantes. Se colocarmos cada letra dentro de uma urna, a probabilidade de tirarmos uma vogal será de:
Como temos 5 vogais dentre as 26 letras do alfabeto, a probabilidade de tirarmos uma vogal será de:
P(E) = \( \dfrac{5}{26} \)
Solução
O espaço amostral S possui 68.540 elementos (número total de inscritos).
O evento E possui 278 elementos (278 inscritos ocuparam as vagas).
Logo:
P = E/S = 278/68.540 = 1/246,5
Isto significa que o concurso teve 246,5 candidatos por vaga. Ou seja, a probabilidade de um candidato ter sido aprovado foi de 1 em 246,5.
Uma caixa contém 5 bolas vermelhas e 7 bolas amarelas. Retirando uma bola da caixa, qual a probabilidade desta bola ser vermelha?
Solução
O espaço amostral S possui 12 elementos (número total de bolas).
O evento E possui 5 elementos (5 bolas vermelhas).
Logo:
P = E/S = 5/12
No lançamento de dois dados, qual é a probabilidade de sair soma maior do que 10?
Solução
Tem-se 36 somas: (1, 1), (1, 2), ..., (6, 5), (6, 6).
Portanto, o espaço amostral S é 36.
Das 36 somas, 3 resultam em valor maior do que 10: (5, 6), (6, 5) e (6, 6).
Logo, o evento E possui 3 elementos.
P = E/S = 3/36 = 1/12
No lançamento simultâneo de três moedas, qual é a probabilidade de as três caírem com a mesma face voltada para cima?
Solução
No lançamento de uma moeda, está poderá sair com a cara ou a coroa voltada para baixo. Repare que tem-se 2 opções (cara ou coroa).
Como três moedas são lanladas simultâneamente, tem-se os seguintes resultados possíveis:
Espaço amostral S = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8
Para que as três moedas caem com a mesma face para cima, tem-se 2 eventos: cara-cara-cara ou coroa-coroa-coroa.
E = 2
P = E/S = 2/8 = 0,25
Um casal pretende ter filhos. Sabe-se que a cada mês a probabilidade da mulher engravidar é de 20%. Qual é a probabilidade dela vir a engravidar somente no quarto mês de tentativas?
Solução
Probabilidade da mulher engravidar = 20% = 0,2
Probabilidade da não mulher engravidar = 100% - 20% = 80% = 0,8
Engravidar apenas no 4º mês significa que ela não pode engravidar nos 3 primeiros meses. Logo:
P = 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 = 0,1024 = 10,24%
Um credor está à sua procura. A probabilidade dele encontrá-lo em casa é 0,4. Se ele fizer 5 tentativas, qual a probabilidade do credor lhe encontrar uma vez em casa?
Solução
Possibilidades: 2 (ele o encontra ou ele não o encontra).
Probabilidade do credor encontrá-lo = 0,4.
Probabilidade do credor não encontrá-lo = 1 - 0,4 = 0,6.
5 tentativas sendo que ele pode lhe encontrar na:
Note que são 5 possibilidades.
P = 5 ∙ 0,05184 = 0,2592
Seja E um espaço amostral finito e não-vazio. Para quaisquer eventos A e B de E, tem-se que:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Dois eventos A e B são chamados de eventos mutuamente exclusivos se, e só se, A ∩ B = \(\varnothing\).
Em uma caixa há 2 bolas amarelas, 5 bolas azuis e 7 bolas verdes. Se retirarmos uma única bola, qual a probabilidade dela ser verde ou amarela?
Solução
S = 2 + 5 + 7 = 14 bolas
Probabilidade de sair bola verde = 7/14
Probabilidade de sair bola amarela = 2/14
Logo:
Probabilidade de sair verde ou amarela = 7/14 + 2/14 = 9/14
Em uma caixa há 2 cartões amarelos, 5 cartões azuis e 7 cartões verdes. Se retirarmos um único cartão, qual a probabilidade dele ser azul ou verde?
Solução
S = 2 + 5 + 7 = 14 bolas
Sair azul ou verde é o mesmo que pedir para não sair amarelo. Então, pode-se calcular a probabilidade de sair cartão amarelo e depois subtrair de 100%. Acompanhe:
Probabilidade de sair cartão amarelo = 2/14
Logo:
Probabilidade de sair azul ou verde = 1 - 2/14 = 12/14 = 6/7
Alguns amigos estão em uma lanchonete. Sobre a mesa há duas travessas. Em uma delas há 3 pastéis e 5 coxinhas. Na outra há 2 coxinhas e 4 pastéis. Se ao acaso alguém escolher uma destas travessas e também ao acaso pegar um dos salgados, qual a probabilidade de se ter pego um pastel?
Solução
Probabilidade de escolher uma travessa = 1/2
Probabilidade de pegar 1 pastel na 1ª travessa P(A) = 3/8 (note que tem 8 salgados, sendo 3 pastéis e 5 coxinhas)
Probabilidade de pegar 1 pastel na 2ª travessa P(B) = 4/6 = 2/3 (note que tem 6 salgados, sendo 4 pastéis e 2 coxinhas)
Logo:
P(E) = P(A) + P(B) = \( \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{16} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{9 + 16}{48} \) = 25/48
O jogo de dominó é composto de peças retangulares formadas pela junção de dois quadrados. Em cada quadrado há a indicação de um número, representado por uma certa quantidade de bolinhas, que variam de nenhuma a seis. O número total de combinações possíveis é de 28 peças. Se pegarmos uma peça qualquer, qual a probabilidade dela possuir ao menos um 3 ou 4 na sua face?
Solução
S = 28 peças
Seja A o evento da ocorrência de um 3:
A = {(0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3)}
A tem 7 elementos:
n(A) = 7
Seja B o evento da ocorrência de um 4:
B = {(4, 0), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)}
B também tem 7 elementos:
n(B) = 7
Note que (4, 3) pertence aos conjuntos A e B. Logo: n(A ∩ B) = 1
Logo:
P(E) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = \( \dfrac{n(A)}{S} + \dfrac{n(B)}{S} - \dfrac{n(A \cap B)}{S} \)
P(E) = \( \dfrac{7}{28} + \dfrac{7}{28} - \dfrac{1}{28} \) = 13/28
Probabilidade condicional é a probabilidade de ocorrer um evento considerando-se que já ocorreu um outro evento. É indicado por P(B/A) e lê-se "probabilidade de B, dado A".
P(B/A) = \( \dfrac{n(A \cap B)}{n(A)} \)
Dois eventos A e B são chamados de eventos independentes se, e só se,
P(B/A) = P(B) ou P(A/B) = P(A)
Em uma escola de idiomas com 2000 alunos, 500 alunos fazem o curso de inglês, 300 fazem o curso de espanhol e 200 cursam ambos os cursos. Selecionando-se um estudante do curso de inglês, qual a probabilidade dele também estar cursando o curso de espanhol?
Solução
Total de alunos que cursam inglês (I) = 500
Total de alunos que cursam inglês e espanhol (E ∩ I) = 200
Logo:
P(E/I) = P(E ∩ I)/P(I) = 200/500 = 2/5
Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de sair um "ás vermelho" sabendo que ela é de copas?
Solução
n(E) = 52 cartas
Evento A → sair "ás vermelho"
Evento B → sair "copas"
Note que o enunciado pede P(A/B), ou seja, a probabilidade de sair "ás vermelho" tendo saído "copas".
O baralho contém 13 cartas de copas, logo n(B) = 13.
Das cartas vermelhas, 2 são "ás" (ás vermelho: às de copa e ás de ouro). Logo, n(A) = 2.
Note que os "ás de copas" está incluído no evento B e no evento A. Logo, n(A ∩ B) = 1.
Portanto:
P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B) = \(\dfrac{1/52}{13/52}\) = 1/13
A multiplicação de probabilidades é dada por:
P(A ∩ B) = P(A) ∙ P(B)
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