Relações trigonométricas são relacionamentos entre seno, cosseno, tangente, secante, cossecante e cotangente.
Parece assustador, não é?
Mas fique tranquilo, porque só parece!
São duas as relações fundamentais. Elas são fundamentais porque a partir delas são determinadas outras relações trigonométricas.
1ª relação fundamental: Seno ao quadrado de um ângulo mais cosseno ao quadrado desse mesmo ângulo é igual a um.
sen² x + cos² x = 1
2ª relação fundamental: Tangente de um ângulo é igual ao seno desse ângulo dividido pelo cosseno desse ângulo.
tg x = \(\dfrac{sen x}{cos x}\)
Guarde-as bem antes de prosseguir.
Sendo x um ângulo agudo, calcule cos x sabendo que sen x = 8/17.
Solução
Substituindo sen x = 8/17 em sen² x + cos² x = 1, vem:
sen² x + cos² x = 1
\(\left(\dfrac{8}{17}\right)^2\) + cos² x = 1
\(\dfrac{64}{289}\) + cos² x = 1
cos² x = 1 - \(\dfrac{64}{289}\)
cos² x = \(\dfrac{289 - 64}{289}\)
cos² x = \(\dfrac{225}{289}\)
cos x = ±\(\sqrt{\dfrac{225}{289}}\) = ±\(\dfrac{15}{17}\)
Como x é ângulo agudo, cos x é positivo. Portanto:
cos x = 15/17
Sendo x um ângulo agudo, calcule tg x sabendo que cos x = 12/13.
Solução
Substituindo cos x = 12/13 em sen² x + cos² x = 1, vem:
sen² x + cos² x = 1
sen² x + \(\left(\dfrac{12}{13}\right)^2\) = 1
sen² x + \(\dfrac{144}{169}\) = 1
sen² x = 1 - \(\dfrac{144}{169}\)
sen² x = \(\dfrac{169 - 144}{169}\)
sen² x = \(\dfrac{25}{169}\)
sen x = ±\(\sqrt{\dfrac{25}{169}}\) = ±\(\dfrac{5}{13}\)
Como x é ângulo agudo, sen x é positivo. Portanto:
Como tg x = \(\dfrac{sen x}{cos x}\), basta substituir sen x e cos x:
tg x = \(\dfrac{sen x}{cos x}\) = \(\dfrac{5/13}{12/13}\) = 5/12
Secante
sec x = \( \dfrac{1}{cos x} \), com cos x ≠ 0
Cossecante
cossec x = \( \dfrac{1}{sen x} \), com sen x ≠ 0
Cotangente
cotg x = \( \dfrac{1}{tg x} \) = \( \dfrac{cos x}{sen x} \), com sen x ≠ 0
Temos, ainda, as seguintes relações derivadas:
sec² x = 1 + tg² x
cossec² x = 1 + cotg² x
Sendo x um ângulo agudo tal que sen x = 3/5, calcule sec x, cossec x e cotg x.
Solução
Para calcularmos sec x, cossec x e cotg x precisaremos descobrir o cos x primeiro.
Vamos, então, calcular cos x.
Como sen x = 3/5, cos x = 4/5 (pois 3, 4 e 5 formam um triângulo retângulo)
Mas, pode-se calcular cos x substituindo sen x = 3/5 em sen² x + cos² x = 1:
sen² x + cos² x = 1
\(\left(\dfrac{3}{5}\right)^2\) + cos² x = 1
\(\dfrac{9}{25}\) + cos² x = 1
cos² x = 1 - \(\dfrac{9}{25}\)
cos² x = \(\dfrac{25 - 9}{25}\)
cos² x = \(\dfrac{16}{25}\)
cos x = ±\(\sqrt{\dfrac{16}{25}}\) = ±\(\dfrac{4}{5}\)
Como x é ângulo agudo, cos x é positivo. Portanto, cos x = 4/5
Basta, agora, calcular o que se pede:
Determine tg x sabendo que sen²x - 5 ∙ sen x ∙ cos x + 6 ∙ cos²x = 0
Solução
Primeiramente, deve-se transformar a equação (que está em sen x e cos x) para que apareça tg x.
Lembrando que:
tg x = \(\dfrac{sen x}{cos x}\)
pode-se dividir a equação por cos² x. Observe:
\( \dfrac{sen^2x - 5 \cdot sen x \cdot cos x + 6 \cdot cos^2x = 0}{cos^2 x} \)
\( \dfrac{sen^2x}{cos^2 x} - \dfrac{5 \cdot sen x \cdot cos x}{cos^2 x} + \dfrac{6 \cdot cos^2x}{cos^2 x} = \dfrac{0}{cos^2 x} \)
tg²x - 5 ∙ tg x + 6 = 0
Repare que tem, agora, uma equação do 2º cuja variável é tg x. O próximo passo é resolvê-la:
∆ = b² - 4ac = (-5)² - 4 (1) (6) = 25 - 24 = 1
tg x = \(\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\) = \(\dfrac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2(1)}\) = \(\dfrac{5 \pm 1}{2}\)
tg' x = \(\dfrac{5 + 1}{2}\) = 6/2 = 3
tg" x = \(\dfrac{5 - 1}{2}\) = 4/2 = 2
Finalizando, tg x = 3 ou tg x = 2
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