O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.

Capitalização: Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal.

Montante: M = P ∙ (1 + i)\(^n\)

Observação: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:

J = M - P

Uma loja oferece duas opções de pagamento:

  • 1ª opção: à vista com desconto de 15% no valor da compra;
  • 2ª opção: em duas parcelas iguais, a primeira paga no momento da compra e a segunda, passados dois meses da data da compra.

Determine a taxa percentual de juros mensais simples embutidos na 2ª opção.

Solução

Considerando V o valor da compra, tem-se:

  • na 1ª opção, o pagamento seria de P = V(1 – 0,15) = 0,85V
  • na 2ª opção, no ato seria pago a primeira parcela P1 = V/2 e a segunda parcela seria P2 = V/2 = 0,5V

Repare que, tendo pago metade no ato, sem considerar os juros, faltaria pagar 0,85V – 0,5V = 0,35V, mas a loja espera receber em 2 meses P2 = 0,5V (pois estão embutidos juros)

Assim:

  • Vf = 0,5V (valor que a loja espera receber em 2 meses)
  • Vi = 0,35V (valor que seria pago sem juros embutidos)

M = C (1 + i ∙ n) ⇔ 0,5V = 0,35V (1 + 2i) ⇔ \(\dfrac{0,5V}{0,35V}\) – 1 = 2i

2i = 1,428 - 1 ⇔ 2i = 0,428 ⇔ i = 0,214 = 21,4%

Determine os juros e o montante de uma aplicação financeira a juros compostos, com um capital de R$300,00, taxa mensal de 2% em 4 meses.

Solução

  • C = 300
  • i = 2% a.m. = 0,02 a.m.
  • t = 4 meses
  • M = ?
  • J = ?

M = C (1 + i)\(^t\) ⇔ M = 300 (1 + 0,02)\(^4\) = 300 (1,0824) = 324,72

J = M – C = 324,72 – 300,00 = 24,72

M = R$ 324,72 e J = R$ 24,72

Uma poupança especial rende 1% ao mês, em regime de juros compostos. Flávia aplicou R$ 480 nessa poupança e retirou a quantia um ano depois. Qual foi o valor retirado por Flávia?

Solução

  • C = 480
  • i = 1% a.m. = 0,01 a.m.
  • t = 1 ano = 12 meses (convertido para meses por a taxa é mensal)
  • M = ?

M = C (1 + i)\(^t\) ⇔ M = 480 (1 + 0,01)\(^12\) = 480 (1,1268) = R$ 540,88

Ana emprestou x reais de uma amiga, prometendo devolver a quantia emprestada, acrescida de juros, após oito meses. O regime combinado foi de juros compostos, e a taxa, de 2,5% a.m. Se após o prazo combinado Ana quitou a dívida com R$500,00, determine o valor emprestado x e o valor que Ana deveria devolver á amiga, caso tivesse estabelecido regime de juros simples.

Solução

  • C = x
  • i = 2,5% a.m. = 0,025 a.m.
  • t = 8 meses
  • M = 500

M = C (1 + i)\(^t\) ⇔ 500 = x (1 + 0,025)\(^8\) ⇔ 500 = x (1,2184) ⇔ x = 500/1,2184 = R$ 410,34

Se o regime fosse a juros simples:

  • C = 410,34
  • i = 2,5% a.m. = 0,025 a.m.
  • t = 8 meses
  • M = ?

M = C (1 + i)\(^t\) = 410,34 (1 + 0,025 x 8) = 410,34 (1 + 0,2) = 410,34 (1,2) = R$ 492,40

Um investidor comprou R$ 1.000,00 um lote de ações de uma empresa e o revendeu, após n meses, por R$3000,00. Admita que a valorização mensal dessas ações tenha sido de 8% a.m. Qual é o valor de n? (Use log2 = 0,3 e log3 = 0,48).

Solução

Essa situação representa uma aplicação a juros compostos de R$1000,00 por n meses com resgate de R$3000,00 sendo a taxa de 8% a.m.

  • C = 1.000
  • t = n meses = ?
  • M = 3.000
  • i = 8% a.m. = 0,08

M = C (1 + i)\(^t\) ⇔ 3.000 = 1.000 (1 + 0,08) \(^t\) ⇔ 3 = (1,08) \(^t\) ⇔ n = log\(_{1,08}\) 3

Mudando para a base decimal:

n = \(\dfrac{log 3}{log 1,08}\) = \(\dfrac{0,48}{log 1,08}\)

Note que 1,08 = \(\dfrac{108}{100}\) = \(\dfrac{2^2 \cdot 3^3}{10^2}\)

Então:

n = \(\dfrac{0,48}{log 1,08}\) = \(\dfrac{0,48}{log \dfrac{2^2 \cdot 3^3}{10^2}}\) = \(\dfrac{0,48}{2 log 2 + 3 log 3 – 2 log 10}\)

\(\dfrac{0,48}{2 (0,3) + 3 (0,48) – 2 (1)}\) = \(\dfrac{0,48}{0,6 + 1,44 – 2}\) = \(\dfrac{0,48}{0,04}\) = 12 meses

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