Sequência é todo conjunto cujos elementos obedecem a uma determinada ordem.
Escreva os cinco primeiros termos da sequência cujo termo geral é
\(a_n = n^2 + 3n\)
com n ∈ \(\mathbb{N}^*\).
Obtém-se os cinco primeiros termos da sequência substituindo n, sucessivamente, por 1, 2, 3, 4 e 5 na fórmula
\(a_n = n^2 + 3n\)
Temos, então:
a\(_1\) = 1² + 3(1) = 1 + 3 = 4
a\(_2\) = 2² + 3(2) = 4 + 6 = 10
a\(_3\) = 3² + 3(3) = 9 + 9 = 18
a\(_4\) = 4² + 3(4) = 16 + 12 = 28
a\(_5\) = 5² + 3(5) = 25 + 15 = 40
Logo, a sequência é (4; 10; 18; 28; 40)
Navegue pelos termos e veja seus valores na sequência
\(a_n = 2n^2 - n + 1\)
com n ∈ \(\mathbb{N}^*\).
an = 2n² - n + 1 = ?
Escreva a sequência a\(_n\) = 2n para n ∈ {1, 2, 3, 4, 5}.
Solução
Para:
(2, 4, 6, 8, 10)
Achar os cinco primeiros termos da sequência dada por a\(_1\) = 3 e a\(_{n+1}\) = a\(_n\) + 5 e n ∈ \(\mathbb{N}^*\).
Solução
Observe que no enunciado é dado o 1º termo. A partir dele, obtém-se os demais.
(3, 8, 13, 18, 23)
Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência de números reais onde cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se uma constante r (razão) ao termo anterior.
\( a_n = a_{n – 1} + r \)
Uma PA pode ser:
P1. Cada termo é a média aritmética entre o seu antecedente e o seu consequente.
Dada a sequência (...; a; b; c; ...), tem-se:
b = \( \dfrac{a + c}{2} \)
P2. Generalizando, cada termo é a média aritmética entre os termos que ocupam posições simétricas na sequência em relação ao termo.
Dada a sequência (...; a; b; c; d; e; ...), tem-se:
\( c = \dfrac{b + d}{2} = \dfrac{a + e}{2} \)
P3. A soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.
Dada a sequência (...; a; b; c; d; e; f; g; ...), tem-se:
a + g = b + f = c + e
O termo geral de uma PA é dado por:
\( a_n = a_1 + (n – 1) \cdot r \)
A soma de n termos de uma PA é dado por:
\( S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} \)
Qual é o termo geral da PA (4, 7, ...)?
Solução
Sabe-se que
a\(_n\) = a\(_1\) + (n - 1) r
Substituindo, vem:
a\(_n\) = a\(_1\) + (n - 1) r
a\(_n\) = 4 + (n - 1) (3)
a\(_n\) = 4 + 3n - 3
a\(_n\) = 3n + 1
Determine o vigésimo termo da PA (3, 8, ...).
Solução
Sabe-se que:
a\(_{20}\) = a\(_1\) + (20 - 1)r = a\(_1\) + 19r
Substituindo, vem:
a\(_{20}\) = 3 + 19(5) = 3 + 95 = 98
Determinar o número de termos da PA (-3, 1, 5, ..., 113).
Solução
Sabe-se que a\(_n\) = a\(_1\) + (n - 1) r
Substituindo, vem:
113 = -3 + (n - 1) (4)
\(\dfrac{113 + 3}{4}\) = n - 1
29 + 1 = n
n = 30
Quantos múltiplos de 5 estão compreendidos entre 21 e 623?
Solução
Observe que 21 e 623 não são múltiplos de 5. Assim, o primeiro passo é determinar o primeiro e o último múltiplos de 5 compreendidos entre eles:
Observe que os múltiplos formam uma PA de razão 5: (25, 30, 35, ..., 620)
Para determinar a quantidade de múltiplos de 5 basta determinar a quantidade de elementos da PA.
Substituindo em a\(_n\) = a\(_1\) + (n - 1) r, vem:
620 = 25 + (n - 1)(5)
620 = 25 + 5n - 5
620 = 5n + 20
620 - 20 = 5n
n = 600/5 = 120
Três números estão em PA, de tal forma que a soma entre eles é 18 e o produto é 66. Determine os três números.
Solução
Considere a PA de três números:
(x, x + r, x + 2r)
A soma entre eles é 18:
(x) + (x + r) + (x + 2r) = 18
3x + 3r = 18
3(x + r) = 18
x + r = 18/3
x + r = 6 (I)
Observe que x + r é o termo do meio. Então o 2º termo vale 6.
O produto entre eles é 66:
(x) (x + r) (x + 2r) = 66
Repare que (x) (x + r) (x + 2r) = 66 pode ser escrito como
(x) (x + r) (x + r + r) = 66
e que
x + r = 6 (I)
Substituindo, vem:
(x) (6) (6 + r) = 66
x (6 + r) = 66/6
x (6 + r) = 11 (II)
Basta, agora, resolver o sistema formado por (I) e (II)
Isolando r em (I), vem: r = 6 - x
Substituindo em (II), vem:
x (6 + r) = 11
x (6 + 6 - x) = 11
x (12 - x) = 11
Dois números cujo produto seja igual a 11:
11 e 1 (pois 11 ∙ 1 = 11)
Note que cabe perfeitamente em
x (12 - x) = 11
11 (12 - 11) = 11
11 (1) = 11
Logo, x = 11 ou x = 1.
Para x = 1, tem-se:
x + r = 6
(1) + r = 6
r = 5
Chega-se na sequência (1, 6, 11)
Para x = 11, tem-se:
x + r = 6
(11) + r = 6
r = -5
Chega-se na sequência (11, 6, 1)
Observe que os números são 1, 6 e 11
Aqui foi utilizado (x, x + r, x + 2r), mas poderia ser utilizado outros como, por exemplo, (x - r, x, x + r).
Resolva o exercício utilizando (x - r, x, x + r) e verifique o resultado.
Interpolar cinco meios aritméticos entre 6 e 30.
Solução
A sequência é a PA
(6, __, __, __, __, __, 30).
Repare que ela tem 7 elementos onde a\(_1\) = 1 e a\(_7\) = 30.
Como a\(_7\) = a\(_1\) + 6r, tem-se:
a\(_7\) = a\(_1\) + 6r
30 = 6 + 6r
6r = 30 - 6
r = 24/6 = 4
Montando a PA vem:
(6, 10, 14, 18, 22, 26, 30)
Quantos meios aritméticos devem ser interpolados entre 100 e 124 para que a razão seja 4?
Solução
a\(_n\) = a\(_1\) + (n - 1) r
124 = 100 + (n - 1) (4)
\(\dfrac{124 - 100}{4}\) = n - 1
6 = n - 1
n = 7
Calcule a soma dos 30 primeiros termos da PA (2, 5, ...).
Solução
a\(_{30}\) = 2 + (30 - 1) (3) = 2 + (29) (3) = 89
A soma é dada por:
\(S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}\)
Substituindo, vem:
\(S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}\)
\( S_{30} = \dfrac{(2 + 89) \cdot 30}{2}\) = 1.365
Determine o valor de x na equação 1 + 7 + ... + x = 280, sabendo que os termos do 1º membro formam uma PA.
Solução
Aplicando o termo geral temos:
Como x é o valor procurado, pode-se isolar n nas equações:
Substituindo, vem:
\(\dfrac{x + 5}{6}\) = \(\dfrac{560}{1 + x}\)
(x + 5) (1 + x) = 6 ∙ 560
(x + 5) (1 + x) = 3.360
x + x² + 5 + 5x = 3.360
x² + 6x - 3.355 = 0
∆ = (6)² - 4(1)(-3.355) = 36 + 13.420 = 13.456
x = \(\dfrac{-(6) \pm \sqrt{13.456}}{2(1)}\) = \(\dfrac{-6 \pm 116}{2}\)
x' = \(\dfrac{-6 + 116}{2}\) = \(\dfrac{110}{2}\) = 55
x" = \(\dfrac{-6 - 116}{2}\) = \(\dfrac{-122}{2}\) = -61 (não serve pois a PA é crescente)
S = {55}
Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência de números reais onde cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando-se o termo anterior a uma constante q (quociente ou razão).
\( a_n = a_{n – 1} \cdot q \)
Uma PG pode ser:
Cada termo é a média geométrica entre o seu antecedente e o seu consequente.
Dada a sequência (...; a; b; c; ...), tem-se
b = \( \sqrt{a \cdot c} \)
Generalizando, cada termo é a média geométrica entre os termos que ocupam posições simétricas na sequência em relação ao termo.
Dada a sequência (...; a; b; c; d; e; ...), tem-se:
\( c = \sqrt{b \cdot d} = \sqrt{a \cdot e} \)
A soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos.
Dada a sequência (...; a; b; c; d; e; f; g; ...), tem-se:
a ∙ g = b ∙ f = c ∙ e
O termo geral da PG é dado por:
\( a_n = a_1 \cdot q^{n – 1} \)
A soma de n termos de uma PG irá depender de sua classificação. Portanto, temos:
Encontre o quinto termo da PG (2, 6, ...).
Solução
Sabe-se que
\(a_n = a_1 \cdot q^{n - 1}\)
Substituindo, vem:
\(a_n = a_1 \cdot q^{n - 1}\)
\(a_5 = 2 \cdot (3)^{5 - 1}\) = 2 ∙ 3\(^4\) = 2 ∙ 81 = 162
Determine a razão de uma PG de 6 termos, cujo primeiro termo é 2 e o último termo é 486.
Solução
Sabe-se que
\(a_n = a_1 \cdot q^{n - 1}\)
Substituindo, vem:
\(a_n = a_1 \cdot q^{n - 1}\)
\(a_6 = 2 \cdot q^{6 - 1}\)
\(486 = 2 \cdot q^5\)
\(q^5 = \dfrac{486}{2}\)
q\(^5\) = 243
q = \(\sqrt[5]{243}\) = 3
Em uma PG, a soma do segundo e terceiro termos vale 18 e a\(_6\) + a\(_7\) = 288. Determine a razão dessa PG.
Solução
Repare que:
Substituindo, vem:
Fazendo (II)/(I), vem:
\(\dfrac{a_1 \cdot q^5 \cdot (1 + q)}{a_1 \cdot q \cdot (1 + q)} = \dfrac{288}{18}\)
q\(^4\) = 16
q = ±\(\sqrt[4]{16}\)
q = ±2
Interpolar três meios geométricos entre 3 e 48.
Solução
Interpolar é equivalente a inserir. O enunciado pede para inserir 3 números entre 3 e 48 de tal modo que a sequência seja uma PG.
A sequência é (3, __, __, __, 48). Repare que ela tem 5 termos, onde:
a\(_5\) = a\(_1\) ∙ q\(^4\)
48 = 3 ∙ q\(^4\)
q\(^4\) = 16
q = ± 2
Como a razão pode ser 2 ou -2, tem-se, portanto 2 sequências que satisfazem o enunciado.
Para q = 2: (3, 6, 12, 24, 48)
Para q = -2: (3, -6, 12, -24, 48)
Determine o valor de n para que a soma dos n primeiros termos da PG (1, 3, 9, 27, ...) seja 29 524.
Solução
A soma é dada por:
\(S_n = \dfrac{a_1 \cdot (q^n - 1)}{q - 1}\)
Substituindo, vem:
\(S_n = \dfrac{a_1 \cdot (q^n - 1)}{q - 1}\)
29 524 = \(\dfrac{1 \cdot (3^n - 1)}{3 - 1}\)
3\(^n\) - 1 = 2 ∙ 29 524
3\(^n\) = 59 048 + 1 = 59 049
3\(^n\) = 3\(^{10}\)
n = 10
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