Sendo a um número real positivo e diferente de 1 (a > 0 e a ≠ 1), chama-se função logarítmica de base a a função f: \( \mathbb{R}_+^* \rightarrow \mathbb{R} \) definida por
f(x) = log\(_a\)x
Por exemplo: Na função
f(x) = log\(_3\)x
Cada valor de x (elemento do domínio) será associado a um valor log\(_3\)x (imagem).
Se x = 9, teremos
f(9) = log\(_3\)9 = 2
Neste caso encontramos o par ordenado (9, 2). Lembre-se que f(x) pode ser representado por y.
E assim por diante:
| x | log\(_3\)x | Par ordenado |
|---|---|---|
| 1 | log\(_3\)1 = 0 | (1, 0) |
| 3 | log\(_3\)3 = 1 | (3, 1) |
| 9 | log\(_3\)9 = 2 | (9, 2) |
| 27 | log\(_3\)27 = 3 | (27, 3) |
Graficamente temos:
\( log_ab = c \)
O logaritmando é
Relacione com os nomes de acordo com
f(x) = log\(_a\)x
Vamos voltar ao exemplo anterior.
f(x) = log\(_3\)x
Substituindo os valores de x para encontrar log\(_3\)x, podemos montar a seguinte tabela.
| x | log\(_3\)x | Par ordenado |
|---|---|---|
| 1/9 | log\(_3\)1/9 = -2 | (1/9, -2) |
| 1/3 | log\(_3\)1/3 = -1 | (1/3, -1) |
| 1 | log\(_3\)1 = 0 | (1, 0) |
| 3 | log\(_3\)3 = 1 | (3, 1) |
| 9 | log\(_3\)9 = 2 | (9, 2) |
| 27 | log\(_3\)27 = 3 | (27, 3) |
| 81 | log\(_3\)81 = 4 | (81, 4) |
Colocando os pares ordenados no plano cartesiano teremos um gráfico do tipo:
Se a base é maior do que 1, o gráfico é crescente.
a > 1 ⇔ função é crescente
Observações:
E o que acontece se a base for maior do que 0 e menor do que 1?
Vamos analisar a seguinte função
f(x) = log\(_{1/2}\)x
Substituindo os valores de x para encontrar log\(_{1/2}\)x, podemos montar a seguinte tabela.
| x | log\(_{1/2}\)x | Par ordenado |
|---|---|---|
| 4 | log\(_{1/2}\)4 = -2 | (4, -2) |
| 2 | log\(_{1/2}\)2 = -1 | (2, -1) |
| 1 | log\(_{1/2}\)1 = 0 | (1, 0) |
| 1/2 | log\(_{1/2}\)1/2 = 1 | (1/2, 1) |
| 1/4 | log\(_{1/2}\)1/4 = 2 | (1/4, 2) |
| 1/8 | log\(_{1/2}\)1/8 = 3 | (1/8, 3) |
| 1/16 | log\(_{1/2}\)1/16 = 4 | (1/16, 4) |
Colocando os pares ordenados no plano cartesiano teremos um gráfico do tipo:
Note que ele é decrescente. Isso ocorreu porque a base é \(\dfrac{1}{2}\).
Se 0 < a < 1, o gráfico é decrescente
0 < a < 1 ⇔ função decrescente
Observe, ainda, que
O gráfico
Representa uma função logarítmica:
O gráfico
Representa uma função logarítmica:
A soma das corretas é
Determine o domínio e a imagem de f(x) = log\(_2\)x
Solução
Atribuindo valores para x, vem:
| x | y |
|---|---|
| 1/4 | -2 |
| 1/2 | -1 |
| 1 | 0 |
| 2 | 1 |
| 4 | 2 |
Lembrando que x > 0.
Graficamente, tem-se:
O domínio é D(f) = ]0, ∞[
A imagem é Im(f) = IR
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