A tabela abaixo apresenta alguns símbolos utilizados em conjuntos:
| Símbolo | Significado |
|---|---|
| ∧ | e |
| ∨ | ou |
| | | tal que |
| ∃ | existe |
| ∀ | qualquer que seja |
| ∈ | pertence |
| ∉ | não pertence |
| ⊃ | contém |
| ⊅ | não contém |
| ⊂ | contido |
| ⊄ | não contido |
| ∅ ou { } | vazio |
| ∃| | existe um único |
| \(\Rightarrow\) | implica (acarreta) |
| ⇔ | se e somente se |
Conjunto é sinônimo de agrupamento, classe, coleção etc.
Exemplos:
Elementos do conjunto são os objetos que constituem o conjunto.
Exemplos:
Marque os elementos que fazem parte ao conjunto do dos números ímpares.
Se um elemento é constituinte de um conjunto significa que ele pertence ao conjunto.
Então, dado um elemento qualquer, iremos verificar se ele pertence ou não pertence a um determinado conjunto.
Os símbolos utilizados para relacionar elementos e conjuntos são:
Exemplos:
1. Chamando o conjunto dos campeões brasileiros da era dos pontos corridos de B, tem-se:
2. Chamando o conjunto das vogais de V, tem-se:
3. Chamando de P o conjunto dos números pares positivos menores do que 10, temos:
Quantas vogais não pertencem à palavra ARARA?
Chamando de N o conjunto dos meios de transporte aéreo, coloque pertence (∈) e não pertence (∉) nos itens abaixo.
N
N
N
N
N
Geralmente, os conjuntos são representados por letras maiúsculas e os elementos por letras minúsculas.
Os conjuntos podem ser representados por enumeração, propriedade e diagrama.
Enumeração: Enumeramos seus elementos.
Exemplos:
Propriedade: Especificamos uma propriedade (regra) em que todos os elementos de um conjunto a satisfaz.
Exemplo:
Representando por propriedade o conjunto dos números inteiros ímpares maiores que 3 e menores que 11, temos:
A = {x | x é ímpar e 3 < x < 11}
Os elementos que satisfazem a propriedade x | x é ímpar e 3 < x < 11 são 5, 7 e 9.
Logo A = {x | x é ímpar e 3 < x < 11} = {5, 7, 9}
Diagrama: Fazemos um diagrama para visualização geométrica dos conjuntos. Esse diagrama é conhecido como diagrama de Venn.
Exexmplo:
O conjunto A = {1, 2, 3} pode ser representado pelo seguinte diagrama:
O conjunto A é formado pelos números inteiros positivos menores do que 4. Represente A por enumeração, propriedade e diagrama.
Solução:
Os elementos de A são 1, 2 e 3. Representando o conjunto A temos:
| Enumeração | Propriedade | Diagrama |
|---|---|---|
| A = {1, 2, 3} | A = {x ∈ \( \mathbb{Z} \) | 0 < x < 4} | |
Um conjunto pode ser classificado de acordo com a quantidade de elementos que ele possui.
Conjunto vazio (∅): É todo conjunto que não possui elemento algum.
Exemplos:
O conjunto vazio é representado por ∅ ou { }.
Conjunto unitário: É todo conjunto que possui apenas 1 elemento.
Exemplos:
Conjunto finito: É o conjunto cuja quantidade de elementos é finita, ou seja, é possível determinar a quantidade exata de elementos.
Exemplos:
Conjunto infinito: É o conjunto cuja quantidade de elementos não pode ser definida, ou seja, é infinita.
Exemplos:
O conjunto das consoantes é um conjunto
O conjunto dos números naturais é um conjunto
Dois conjuntos A e B são iguais se, e só se, possuem os mesmos elementos.
Neste caso, todos os elementos de A tem que pertencer a B e todos os elementos de B tem que pertencer a A.
Atenção:
A = {40, 60, 80}
B = {x | x é múltiplo de 10 e x está entre 35 e 85}
Os conjuntos A e B são iguais?
A = {40, 60, 80}
B = {x | x é múltiplo de 10 e x está entre 35 e 85}
Quais elementos faltam no conjunto A para ficar igual ao conjunto B?
Um conjunto A é subconjunto de B se, e só se, todos os elementos de A são elementos de B.
Dizemos, então, que A é subconjunto de B ou que A é parte de B ou, ainda, que A está contido em B.
Representado-os por diagrama de Venn, temos:
Quando todos os elementos do conjunto A pertencem ao conjunto B, podemos dizer que A está contido em B ou que B contém A.
Os símbolo utilizados para a relação entre conjuntos são:
Exemplo:
Considere os conjuntos J = {1, 3, 5} e M = {x | x é inteiro positivo ímpar menor do que 10}.
Enumerando o conjunto M temos: M = {1, 3, 5, 7, 9}.
Repare que todos os elementos de J também estão presentes em M. Logo, J está contido em M. Só pra lembrar, podemos dizer, também, que J é subconjunto de M ou que J é parte de M ou que M contém J.
Assim:
Conjunto universo (U): É o conjunto que contém todos os conjuntos envolvidos no estudo.
Neste caso, todos os elementos de todos os conjuntos pertencem ao conjunto universo.
Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3}, B = {2, 3, 4} e C = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, analise as seguintes sentenças classificando em verdadeira ou falsa.
Solução
a) A ⊂ B significa A está contido em B. Para A estar contido em B, todos os elementos de A tem que pertencer também a B.
Note que 0 e 1 pertencem a A mas não pertencem a B. Logo, Falsa
b) B ⊂ A significa B está contido em A. Para B estar contido em A, todos os elementos de B tem que pertencer também a A.
Note que 4 pertence a B mas não pertence a A. Logo, Falsa
c) A ⊂ B significa A está contido em C. Para A estar contido em C, todos os elementos de A tem que pertencer também a C.
Note que todos os elementos que pertencem a A pertencem também a C. Logo, Verdadeira
d) {1, 2} é um conjunto que possui os elementos 1 e 2.
Estes elementos pertencem a A. Assim, o conjunto {1, 2} está contido em A. Logo, Verdadeira
e) C ⊃ B significa C contém B. Para C conter B, C tem que possuir os mesmos elementos de B.
Note que C possui todos os elementos de B, além de outros. Logo, Verdadeira
Repare que:
Vamos ver agora o conjunto das partes de um conjunto.
Considere o conjunto X = {1, 2}.
Conjunto X possui 2 elementos. Com esses 2 elementos podemos ter outros conjuntos, como {1}, {2}. Note que os 2 conjuntos estão contidos em X.
Além desses 2 conjuntos, temos que { } e {1, 2} também estão contidos em X (Lembra das propriedades?)
Logo, temos 4 conjuntos que estão contidos em X. Esses conjuntos são subconjuntos de X e eles formam o conjunto das partes de X, pois são partes de X.
O conjunto das partes de um conjunto é representado por P(nome do conjunto).
Então, P(X) = { { }, {1}, {2}, {1, 2} }
Podemos representar assim também: P(X) = { { }, {1}, {2}, X }
Seja A um conjunto finito com n elementos. O número de subconjuntos de A que podemos formar com esses n elementos é igual a 2\( ^n \).
Exemplo:
O conjunto T = {1, 2, 3} possui 3 elementos. O número de subconjuntos de T é igual a 2\( ^3 \) = 8. Os subconjuntos são:
\( \varnothing \), {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} e {1, 2, 3}
O conjunto de todos os subconjuntos de A, como vimos, é chamado de conjunto das partes de A e é representado por P(A). Então, temos:
P(T) = {\( \varnothing \), {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
Determine os subconjuntos de A = {0, 1}
O conjunto A tem 2 elementos. Logo, o conjunto A tem 2\(^2\) = 4 subconjuntos. São eles:
P(A) = {\( \varnothing \), {0}, {1}, {0, 1}}
Determine os subconjuntos de B = {4, 6, 10}
Quantidade de subconjuntos de B = 2\(^3\) = 8
P(B) = {\( \varnothing \), {4}, {6}, {10}, {4, 6}, {4, 10}, {6, 10}, B}
As operações com conjuntos são:
Vamos ver em detalhes cada operação?
Se A e B são dois conjuntos quaisquer, sua intersecção é o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a A e a B.
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
Exemplo:
Considere os conjuntos E = {1, 5, 7, 8, 9}, H = {x | x é natural ímpar e 1 < x < 6} e K = {3, 4, 6, 10}.
Enumerando o conjunto H, temos H = {3, 5}.
E ∩ H = {5} (O 5 é comum a E e H)
H ∩ K = {3} (O 3 é comum a H e K)
E ∩ K = { } (E e K não possui elementos em comum)
Note que E ∩ H e H ∩ K geraram conjuntos unitários, enquanto que E ∩ K gerou um conjunto vazio.
Conjuntos disjuntos: quando os conjuntos não tem elemento em comum (ou seja, a intersecção entre eles é vazia), dizemos que eles são conjuntos disjuntos.
No exemplo anterior, E e K são conjuntos disjuntos, pois E ∩ K = { }.
Se A e B são dois conjuntos quaisquer, sua união é o conjunto dos elementos que pertencem a A ou a B.
A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}
Exemplo:
Considere os conjuntos E = {1, 5, 7, 8, 9}, H = {x | x é natural ímpar e 1 < x < 6} e K = {3, 4, 6, 10}.
Enumerando o conjunto H, temos H = {3, 5}.
E ∪ H = {1, 3, 5, 7, 8, 9}
H ∪ K = {3, 4, 5, 6, 10}
E ∪ K = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Se A e B são dois conjuntos quaisquer, a diferença A – B é o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B.
A - B = {x | x ∈ A e x ∉ B}
Exemplo:
Considere os conjuntos E = {1, 5, 7, 8, 9}, H = {x | x é natural ímpar e 1 < x < 6} e K = {3, 4, 6, 10}.
Enumerando o conjunto H, tem-se H = {3, 5}.
E - H = {1, 7, 8, 9}
H - E = {3}
H - K = {5}
K - H = {4, 6, 10}
E - K = {1, 5, 7, 8, 9} = E
K - E = {3, 4, 6, 10} = K
Repare que:
Quando B ⊂ A, a diferença A – B chama-se conjunto complementar de B em relação a A e indica-se por \( C_A^B \).
Em outras palavras, é o que falta em B para que fique igual a A.
Dados os conjuntos A = {0, 1, 2}, B = {1, 3, 4} e C = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, determine
Solução
a) A ∪ B = {0, 1, 2} ∪ {1, 3, 4} = {0, 1, 2, 3, 4}
Repare que a união pega todos os elementos de A e B.
b) A ∩ B = {0, 1, 2} ∩ {1, 3, 4} = {1}
Repare que a intersecção pega os elementos comuns de A e B.
c) (A ∩ B) ∪ C = ({0, 1, 2} ∩ {1, 3, 4}) ∪ {0, 1, 2, 3, 4, 5} = {1} ∪ {0, 1, 2, 3, 4, 5} = {0, 1, 2, 3, 4, 5} = C
Repare que o conjunto resultante é o próprio conjunto C.
d) A ∩ (B ∪ C) = {0, 1, 2} ∩ ({1, 3, 4} ∪ {0, 1, 2, 3, 4, 5}) = {0, 1, 2} ∩ {0, 1, 2, 3, 4, 5} = {0, 1, 2} = A
Repare que o conjunto resultante é o próprio conjunto A.
e) A - B = {0, 1, 2} - {1, 3, 4} = {0, 2}
Repare que a diferença pega os elementos de A que não pertencem a B.
f) B - A = {1, 3, 4} - {0, 1, 2} = {3, 4}
Repare que a diferença pega os elementos de B que não pertencem a A.
g) (C - A) ∩ B = ({0, 1, 2, 3, 4, 5} - {0, 1, 2}) ∩ {1, 3, 4} = {3, 4, 5} ∩ {1, 3, 4} = {3, 4}
Sendo V = {a, b, c, d}, X = {b, d, e, f} e T = {c, d, e, g}, determine
Solução
a) V ∪ X = {a, b, c, d} ∪ {b, d, e, f} = {a, b, c, d, e, f}
b) (V ∩ X) ∪ (V - T) = ({a, b, c, d} ∩ {b, d, e, f}) ∪ ({a, b, c, d} - {c, d, e, g}) = {b, d} ∪ {a, b} = {a, b, d}
c) (V - X) ∩ T = ({a, b, c, d} - {b, d, e, f}) ∩ {c, d, e, g} = {a, c} ∩ {c, d, e, g} = {c}
d) (V - X) ∩ (X - V) = ({a, b, c, d} - {b, d, e, f}) ∩ ({b, d, e, f} - {a, b, c, d}) = {a, c} ∩ {e, f} = { }
Se n(X) representa o número de elementos de um conjunto finito X qualquer, temos que:
Temos a seguinte propriedade:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
O conjunto A tem 30 elementos, B tem 50 elementos e 10 elementos pertencem a A e B simultaneamente.
Solução:
O enunciado cita dois conjuntos (A e B) e 10 elementos em comum aos dois conjuntos. Pelo diagrama de Venn, temos:
Note que:
Segundo o enunciado, n(A) = 30, n(B) = 50 e n(A ∩ B) = 10. Logo:
Substituindo y = 10 em n(A), vem:
x + (10) = 30 ⇔ x = 30 - 10 = 20
Substituindo y = 10 em n(B), vem:
(10) + z = 50 ⇔ z = 50 - 10 = 40
Pelo diagrama de Venn, temos:
a) Pertencer somente a A é equivalente a A - B.
Pelo diagrama, a quantidade de elementos que pertencem somente a A é 20
b) Pertencer somente a B é equivalente a B - A.
Pelo diagrama, a quantidade de elementos que pertencem somente a B é 40
c) Pelo diagrama, a quantidade de elementos que pertencem A ∪ B é 20 + 10 + 40 = 70
Utilizando a propriedade iremos obter o mesmo resultado:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) = 30 + 50 - 10 = 70
Considere dois conjuntos A e B não vazios. Sabendo que A ∩ B ≠ ∅, determine por meio do diagrama de Venn:
Solução:
Segundo o enunciado, esquematicamente temos:
a) A - B
A - B é o conjunto dos elementos que pertencem a A e não a B:
b) B - A
B - A é o conjunto dos elementos que pertencem a B e não a A:
c) A ∩ B
A ∩ B é o conjunto dos elementos que pertencem a A e a B simultaneamente:
d) (A - B) ∪ (B - A)
A - B é conjunto do item (a) e B - A é conjunto do item (b).
Unindo os dois conjuntos temos:
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