Quadrado da soma
\( (a + b)^2 = (a + b) \cdot (a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
Exemplos:
Quadrado da diferença
\( (a - b)^2 = (a - b) \cdot (a - b) = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
Exemplos:
Produto da soma pela diferença
\( (a + b) \cdot (a – b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 – b^2 \)
Exemplos:
Cubo da soma
\( (a + b)^3 = (a + b) \cdot (a + b) \cdot (a + b) = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \)
Exemplo:
Cubo da diferença
\( (a - b)^3 = (a - b) \cdot (a - b) \cdot (a - b) = a^3 - 3a^2 b + 3a b^2 - b^3 \)
Exemplo:
A tabela abaixo apresenta os produtos notáveis vistos anteriormente.
| Quadrado da soma | \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) | Quadrado da diferença | \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) | Produto da soma pela diferença | \( (a + b) (a – b) = a^2 – b^2 \) | Cubo da soma | \( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \) | Cubo da diferença | \( (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \) |
Existem outras regras para produtos notáveis, mas que não precisam ser decoradas.
Exemplo:
Para desenvolver (a + b + c)\(^2\), basta aplicar a propriedade distributiva:
(a + b + c)\(^2\) = (a + b + c) ∙ (a + b + c) = a\(^2\) + ab + ac + ba + b\(^2\) + bc + ca + cb + c\(^2\) = a\(^2\) + b\(^2\) + c\(^2\) + 2ab + 2ac + 2bc
Desenvolver
Solução
a) (2x + 1)\(^2\) = (2x)\(^2\) + 2(2x)(1) + (1)\(^2\) = 4x\(^2\) + 4x + 1
b) \((x + \sqrt{x})^2\) = (x)\(^2\) + 2(x)(\(\sqrt{x}\)) + (\(\sqrt{x}^2\)) = x\(^2\) + 2x\(\sqrt{x}\) + x
c) \(\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2\) = (x)\(^2\) + 2(x)\(\left(\dfrac{1}{x}\right)\) + \(\left(\dfrac{1}{x}\right)^2\) = x\(^2\) + 2 + \(\dfrac{1}{x^2}\)
Se \(a + \dfrac{1}{a}\) = b, determine \(a^2 + \dfrac{1}{a^2}\) em função de b.
Solução
Elevando ambos os membros da igualdade \(a + \dfrac{1}{a}\) = b ao quadrado:
\(\left(a + \dfrac{1}{a}\right)\) = b\(^2\) ⇔ \(a^2 + 2 \cdot a \cdot \dfrac{1}{a} + \left(\dfrac{1}{a}\right)^2\) = b\(^2\)
\(a^2 + 2 + \dfrac{1}{a^2}\) = b\(^2\) ⇔ \(a^2 + \dfrac{1}{a^2}\) = b\(^2\) - 2
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