Um sistema de duas equações do 1º grau, nas variáveis x e y, ambos reais, é um conjunto de duas equações do tipo:
\( \begin{cases} ax + by = c \\ mx + ny = p \end{cases} \)
onde a, b, c, m, n, p ∈ \( \mathbb{R} \)
Resolver um sistema desse tipo é obter um par ordenado de números reais (x; y) de modo que esse par, substituído em ambas as equações, transforme-as em igualdades numéricas verdadeiras.
Em outras palavras, é determinar x e y de modo que torne verdadeiras as equações do sistema.
Os dois processos de resolução mais utilizados são substituição e adição.
O processo de substituição consiste em isolar uma das variáveis em uma equação e substituir o valor encontrado na outra equação.
Exemplo:
Considere o sistema \( \begin{cases} x + 2y = 8 \\ 2x + y = 7 \end{cases} \)
Note que tem-se duas equações:
Isolando x na equação (I), vem:
x + 2y = 8
x = 8 - 2y
Substituindo x = 8 - 2y na equação (II), vem:
2x + y = 7
2 (8 - 2y) + y = 7
16 - 4y + y = 7
-3y = 7 - 16
-3y = -9 ⇔ y = 3
Podemos substituir y = 3 na equação (I) ou (II). Vamos substituir em (I):
x + 2 (3) = 8
x + 6 = 8
x = 8 - 6 = 2
Não é necessário, mas vamos supor que a substituição ocorresse na equação (II):
2x + (3) = 7
2x = 7 - 3
2x = 4
x = 4/2 = 2 (Note que o resultado é o mesmo)
No processo de adição escolhe-se uma das variáveis para eliminar. Para isso, multiplica-se cada equação pelo coeficiente que essa variável tem na outra equação e somam-se (ou subtraem-se) membro a membro.
Exemplo:
Considere o mesmo sistema anterior: \( \begin{cases} x + 2y = 8 \\ 2x + y = 7 \end{cases} \)
Podemos eliminar a variável x ou y. Vamos eliminar a x.
Note que tem-se duas equações:
Para eliminar x, devemos multiplicar a equação (I) por -2:
\( \begin{cases} x + 2y = 8 \ (\times -2) \\ 2x + y = 7 \end{cases} \) ⇔ \( \begin{cases} -2x - 4y = -16 \\ 2x + y = 7 \end{cases} \)
Agora, realizamos a soma entre as duas equações:
\( \begin{cases} -2x - 4y = -16 \ (+) \\ 2x + y = 7 \end{cases} \)
-2x + 2x - 4y + y = -16 + 7
-3y = -9
y = (-9)/(-3) = 3
Podemos substituir y = 3 na equação (I) ou (II). Iremos substituir na (I):
x + 2(3) = 8
x + 6 = 8
x = 8 - 6 = 2
Determine a e b no sistema \( \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 7x - 4y = 3 \end{cases} \)
Solução
Lembre-se: qualquer método pode ser utilizado para resolver sistemas. Vamos resolver por adição, mas poderia ser resolvido também por substituição.
Para eliminar y, devemos multiplicar a equação (I) por 4 e a (II) por 3:
\( \begin{cases} 2x + 3y = 5 \ (\times 4) \\ 7x - 4y = 3 \ (\times 3) \end{cases} \) ⇔ \( \begin{cases} 8x + 12y = 20 \\ 21x - 12y = 9 \end{cases} \)
Agora, realizamos a soma entre as duas equações:
\( \begin{cases} 8x + 12y = 20 \ (+) \\ 21x - 12y = 9 \end{cases} \)
8x + 21x + 12y - 12y = 20 + 9
29x = 29
x = 29/29 = 1
Podemos substituir x = 1 na equação (I) ou (II). Iremos substituir na (I):
2(1) + 3y = 5
2 + 3y = 5
3y = 5 - 2
y = 3/3 = 1
(x, y) = (1, 1)
Numa fazenda criam-se galinhas e coelhos, num total de 80 animais. O número total de pés é 260. Quantas são as galinhas e os coelhos?
Solução
Sejam g o número de galinhas e c o número de coelhos.
Número total de animais = g + c = 80.
Cada galinha tem 2 pés e cada coelho, 4. Logo, temos 2g + 4c = 260.
Assim, temos o sistema:
\( \begin{cases} g + c = 80 \\ 2g + 4c = 260 \end{cases} \)
Isolando g na primeira equação, vem:
g + c = 80
g = 80 - c
E substituindo na segunda, vem:
2(80 - c) + 4c = 260
160 - 2c + 4c = 260
2c = 260 - 160
c = 100/2 ⇔ c = 50
Substituindo c = 50 na primeira equação, vem:
g + 50 = 80
g = 80 - 50 ⇔ g = 30
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