Polinômios são expressões do tipo:
\( a_0 x^n + a_1 x^{n - 1} + \cdots + a_ {n - 1} x + a_n \)
onde
O valor numérico de um polinômio P(x) para x = a é dado por P(a).
Exemplo:
O valor numérico de P(x) = 2x³ - 4x² + x - 3 quando:
Observação: α será raiz ou zero do polinômio quando P(α) = 0.
Exemplo:
Em P(x) = x² - 4, x = 2 ou x = -2 são as raízes ou zeros de P(x), pois:
O valor numérico de P(x) = x² - 4x + 2 para x = 3 é
Em relação ao polinômio P(x) = x² - 4x + 4 podemos afirmar que
A condição necessária e suficiente para que um polinômio P(x) seja identicamente nulo é que seus coeficientes sejam todos nulos:
P(x) ≡ 0
P(a) = 0, ∀a
\(a_0\) = \(a_1\) = … = \(a_{n-1}\) = a\(a_n\) = 0.
Exemplo:
Para que P(x) = ax³ - (b + 2)x² + (c - 3) seja identicamente nulo, deve-se ter:
A condição necessária e suficiente para que dois polinômios sejam idênticos, é que seus coeficientes sejam ordenadamente iguais:
A(x) ≡ B(x)
A(a) = B(a), ∀a.
Exemplo:
Para que os polinômios A(x) = 3x² + (b + 1) x + 1 e B(x) = ax² + 4x + c sejam idênticos deve-se ter:
Grau de um polinômio P(x), representado por gr(P), é o maior expoente da variável x, com coeficiente não nulo, que aparece na representação de P(x).
Observação: Não se define grau para o polinômio nulo.
Exemplos:
O grau de um polinômio P(x) determina a quantidade de raízes (ou zeros) de P(x).
Exemplo:
O grau de A(x) = x² - 4 é 2. Repare que A(x) possui 2 raízes: -2 e 2.
Dado o polinômio P(x) = x³ - 4x² + x, determine P(0), P(-1) e P(2).
P(0) = (0)³ - 4(0)² + (0) = 0 - 0 + 0 = 0
P(-1) = (-1)³ - 4(-1)² + (-1) = -1 - 4 - 1 = -6
P(2) = (2)³ - 4(2)² + (2) = 8 - 16 + 2 = -6
Repare que x = 0 é uma raiz de P(x).
Determine os valores de a, b e c para que P(x) = (a - 2)x³ + bx² + c - 1 seja identicamente nulo.
Para que P(x) seja identicamente nulo, todos os coeficientes devem ser nulos:
a = 2, b = 0 e c = 1
Sejam A(x) = 4x³ + ax² e B(x) = bx³ + 2x² + cx. Determine os valores de a, b e c para que A e B sejam idênticos.
Solução
Para que A(x) ≡ B(x), deve-se ter:
(a, b, c) = (2, 4, 0)
Qual é o grau de P(x) = \(3x^2 + 2x^4 + x - 1\)?
Solução
O maior expoente de P(x) é 4. Logo, gr(P) = 4
Agora iremos operar os polinômios. Você vai perceber que é bem tranquilo. Vamos lá?
Sejam os polinômios \( A(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n - 1} + \cdots + a_{n - 1} x + a_n \) e \( B(x) = b_0 x^n + b_1 x^{n - 1} + \cdots + b_{n - 1} x + b_n \).
\( A(x) + B(x) = (a_0 + b_0) x^n + (a_1 + b_1) x^{n - 1} + \cdots + a_n + b_n \)
Exemplo: Sendo A(x) = \(x^2 - 2x + 4\) e B(x) = \(3x^3 + 3x^2 + 5x + 2\), a soma A(x) + B(x) vale:
A(x) + B(x) = \(x^2 - 2x + 4 + 3x^3 + 3x^2 + 5x + 2\) = \(3x^3 + (1 + 3)x^2 + (-2 + 5)x + (4 + 2)\) = \(3x^3 + 4x^2 + 3x + 6\)
Dados os polinômios A(x) = x³ - 2x² + 1, B(x) = x² + 1 e C(x) = 3x - 1, determine:
A(x) + C(x)
Solução
A(x) + C(x) = x³ - 2x² + 1 + 3x - 1 = x³ - 2x² + 3x
Sejam os polinômios \( A(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n - 1} + \cdots + a_{n - 1} x + a_n \) e \( B(x) = b_0 x^n + b_1 x^{n - 1} + \cdots + b_{n - 1} x + b_n \).
\( A(x) - B(x) = (a_0 - b_0) x^n + (a_1 - b_1) x^{n - 1} + \cdots + a_n - b_n \)
Exemplo: Sendo A(x) = \(x^2 - 2x + 4\) e B(x) = \(3x^3 + 3x^2 + 5x + 2\), a diferença A(x) - B(x) vale:
A(x) - B(x) = \(x^2 - 2x + 4\) - \(3x^3 + 3x^2 + 5x + 2\) = \(x^2 - 2x + 4 - 3x^3 - 3x^2 - 5x - 2\) = \(-3x^3 + (1 - 3)x^2 + (-2 - 5)x + (4 - 2)\) = \(-3x^3 - 2x^2 - 7x + 2\)
Dados os polinômios A(x) = x³ - 2x² + 1, B(x) = x² + 1 e C(x) = 3x - 1, determine:
A(x) - B(x)
Solução
A(x) - B(x) = x³ - 2x² + 1 - (x² + 1) = x³ - 2x² + 1 - x² - 1 = x³ - 3x²
Sejam os polinômios \( A(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n - 1} + \cdots + a_{n - 1} x + a_n \) e \( B(x) = b_0 x^n + b_1 x^{n - 1} + \cdots + b_{n - 1} x + b_n \).
\( A(x) \cdot B(x) = (a_0 x^n) (b_0 x^n) + (a_0 x^n) (b_1 x^{n - 1}) \cdot \cdots \cdot (a_n \cdot b_n) \)
Exemplo: Sendo A(x) = \(x^2 - 2x + 4\) e B(x) = 5x + 2, o produto A(x) ∙ B(x) vale:
A(x) ∙ B(x) = \(x^2 - 2x + 4\) ∙ (5x + 2) = \((x^2)(5x) + (x^2)(2) + (-2x)(5x) + (-2x)(2) + (4)(5x) + (4)(2)\) = \(5x^3 + 2x^2 - 10x^2 - 4x + 20x + 8\) = \(5x^3 - 8x^2 + 16x + 8\)
Dados os polinômios A(x) = x³ - 2x² + 1, B(x) = x² + 1 e C(x) = 3x - 1, determine:
B(x) ∙ C(x)
Solução
B(x) ∙ C(x) = (x² + 1) ∙ (3x - 1) = (x²) (3x) + (x²) (-1) + (1) (3x) + (1) (-1) = 3x³ - x² + 3x - 1
Dados os polinômios A(x) = x³ - 2x² + 1, B(x) = x² + 1 e C(x) = 3x - 1, determine:
[C(x)]²
Solução
[C(x)]² = (3x - 1)² = (3x)² - 2 (3x) (1) + (1)² = 9x² - 6x + 1
Dados os polinômios A(x) = x³ - 2x² + 1, B(x) = x² + 1 e C(x) = 3x - 1, determine:
[C(x)]² - B(x)
Solução
[C(x)]² - B(x) = (3x - 1)² - (x² + 1) = (3x)² - 2 (3x) (1) + (1)² - x² - 1 = 9x² - 6x + 1 - x² - 1 = 8x² - 6x
Sejam os polinômios \( A(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n - 1} + \cdots + a_{n - 1} x + a_n \) e \( B(x) = b_0 x^n + b_1 x^{n - 1} + \cdots + b_{n - 1} x + b_n \).
A(x) ≡ B(x) ∙ Q(x) + R(x), sendo que gr(R) < gr(B) ou R(x) ≡ 0.
Se o resto R(x) for nulo, dizemos que A(x) é divisível por B(x) (Lembra de divisibilidade?).
Para calcular a divisão de um polinômio A(x) por B(x) podemos utilizar o método da chave.
Exemplo:
Efetue a divisão de A(x) = 2x³ + 3x - 1 por B(x) = x² + 2x + 5 pelo método da chave.
Antes de iniciarmos a divisão temos que montar a chave:
Agora, seguimos os passos a seguir.
Passo 1: Verificamos se todos os termos estão presentes (do de maior grau até o termo independente). Caso falte, devemos completar.
Note que faltava o termo 0x². Ele adicionado a 2x³ + 3x - 1.
Passo 2: Divide-se o primeiro termo de A(x) pelo primeiro termo de B(x).
Resultado 2x.
Passo 3: Multiplica-se 2x por B(x) e o resultado coloca em baixo de A(x) com sinais trocados.
Observe que os termos de graus iguais foram colocados um em baixo do outro.
Passo 4: Efetua-se a operação.
Observe que o termo em x³ desaparece.
Passo 5: Desce a próxima casa (-1).
Passo 6: Do polinômio -4x² - 7x - 1, divide-se o primeiro termo pelo primeiro termo de B(x).
Resultado -4.
Passo 7: Multiplica-se -4 por B(x) e o resultado coloca em baixo de -4x² - 7x - 1 com sinais trocados.
Lembrando que os termos de graus iguais devem ser colocados um em baixo do outro.
Passo 8: Efetua-se a operação.
Observe que o termo em x² desaparece.
Finalizamos o cálculo e temos que A(x)/B(x) possui:
Em uma divisão de A(x) por B(x), sempre deverá ocorrer:
A(x) ≡ B(x) ∙ Q(x) + R(x)
No exemplo temos:
2x³ + 3x - 1 ≡ (x² + 2x + 5) ∙ (2x - 4) + (x + 19)
Repare que A(x) não é divisível por B(x), pois o resto é diferente de zero:
R(x) = x + 19 R(x)≠ 0
Dividindo P(x) por x² - x + 2, obtém-se quociente Q(x) = 2x + 1 e resto R(x) = 4x - 3. Determine P(x).
Solução
P(x) = D(x) ∙ Q(x) + R(x)
P(x) = (x² - x + 2) ∙ (2x + 1) + (4x - 3) = 2x³ - x² + 7x - 1
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