Expressões algébricas são expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter também números. São conhecidas, também, como expressões literais.
Exemplos:
As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que cada letra pode ser substituída por um valor numérico.
São expressões matemáticas envolvendo valores numéricos e literais, onde podem aparecer somente operações de adição, subtração ou multiplicação. Os principais tipos são apresentados na tabela:
| Nome | Nº de termos | Exemplo |
|---|---|---|
| monômio | um | m(x, y) = 3 xy |
| binômio | dois | b(x, y) = 6 x\(^2\)y – 7y |
| trinômio | três | f(x) = ax\(^2\) + bx + c |
| polinômio | vários | p(x) = a\(_0\)x\(^n\) + a\(_1\)x\(^{n-1}\) + ... + a\(_{n-1}\)x + a\(_n\) |
Grau de polinômio: é o maior expoente das variáveis.
Eliminação de parênteses
Para eliminar os parênteses em uma expressão algébrica, deve-se multiplicar o sinal que está fora (e antes) dos parênteses pelo sinal que está dentro (e antes) dos parênteses com o uso da regra dos sinais. Se o monômio não tem sinal, o sinal é o positivo. Se o monômio tem o sinal +, o sinal é o positivo.
Exemplos:
Para somar ou subtrair de monômios, devemos primeiramente eliminar os parênteses e depois realizar as operações.
Exemplos:
Para multiplicar monômios, deve-se primeiramente multiplicar os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de multiplicação dos sinais, multiplicar as potências literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:
Exemplos:
Para dividir monômios, deve-se primeiramente dividir os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de divisão dos sinais, dividir as potências literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:
Exemplos:
Para realizar a potenciação de um monômio, deve-se primeiramente realizar a potenciação do valor numérico levando em consideração o sinal, tomar as potências literais e escrever a resposta de uma forma simplificada:
Exemplos:
Sabendo que X = 8x\(^3\) + 4x\(^2\) e Y = 2x\(^2\) + 2, determine:
Solução
a) X + Y = 8x\(^3\) + 4x\(^2\) + 2x\(^2\) + 2 = 8x\(^3\) + 6x\(^2\) + 2
b) X - Y = 8x\(^3\) + 4x\(^2\) - (2x\(^2\) + 2) = 8x\(^3\) + 4x\(^2\) - 2x\(^2\) - 2 = 8x\(^3\) + 2x\(^2\) - 2
c) X ∙ Y = (8x\(^3\) + 4x\(^2\)) ∙ (2x\(^2\) + 2) = 16x\(^5\) + 16x\(^3\) + 8x\(^4\) + 8x\(^2\)
d) X\(^2\) = (8x\(^3\) + 4x\(^2\))\(^2\) = (8x\(^3\))\(^2\) + 2 (8x\(^3\)) (4x\(^2\)) + (4x\(^2\))\(^2\) = 64x\(^6\) + 64x\(^5\) + 16x\(^4\)
Quanto vale A/B, sabendo que A = 12x\(^5\) e B = 4x\(^2\)?
Solução
A/B = \(\dfrac{12x^5}{4x^2}\) = 3x\(^3\)
O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor obtido para a expressão, ao substituir as variáveis literais por valores numéricos.
Exemplo:
Tomando p(x,y) = 3x\(^2\)y, então para x = 7 e y = 2 temos que:
p(7, 2) = 3 ∙ 7\(^2\) ∙ 2 = 294
Sabendo que x = 2 e y = -1, determine 5x\(^2\)y - 3xy\(^2\).
Solução
5x\(^2\)y - 3xy\(^2\) = 5(2)\(^2\)(-1) - 3(2)(-1)\(^2\) = -20 - 6 = -26
Simplificar uma fração algébrica é obter uma fração mais simples equivalente.
Para simplificar fatoramos o numerador e o denominador.
Exemplos:
Simplifique \( \dfrac{a + b}{a^2 + 2ab + b^2} \).
Solução
\( \dfrac{a + b}{a^2 + 2ab + b^2} = \dfrac{a + b}{(a + b)^2} = \dfrac{a + b}{(a + b)(a + b)} \) = \( \dfrac{1}{a + b} \)
Para calcular o MMC, basta igualá-los ao produto dos fatores comuns e não comuns, cada um deles com o maior expoente.
Exemplos:
a) mmc(4x + 2, 4x\(^2\) – 1)
mmc(4x + 2, 4x\(^2\) – 1) = 2 (2x + 1) (2x – 1)
b) mmc(a + b, a – b)
mmc(a + b, a – b) = (a + b) (a – b)
Não é possível fatorar nenhum dos polinômios, logo o m.m.c será o produto deles.
Determine o mmc entre 1 + 10a + 25a\(^2\), 1 - 25a\(^2\) e 1 + 5a.
Solução
Lembrando que para determinar o mmc basta "pegar" os fatores comuns e não comuns com maior expoente, tem-se (1 + 5a)\(^2\) (1 - 5a)
Calcule mmc(12x + 3y, 16x + 4y).
Solução
Decompondo as expressões em fatores primos:
| 12x + 3y | 16x + 4y | 2 |
| 12x + 3y | 8x + 2y | 2 |
| 12x + 3y | 4x + y | 3 |
| 4x + y | 4x + y | 4x + y |
| 1 | 1 | 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ (4x + y) |
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ (4x + y) = 12 (4x + y) = 48x + 12y
As operações de frações algébricas são as mesmas vistas anteriormente. Pronto para começar?
Quando as frações possuem o mesmo denominador, basta somar ou subtrair os numeradores.
Exemplo:
\( \dfrac{x + y}{z} + \dfrac{2x + y}{z} = \dfrac{3x + 2y}{z} \)
Quando as frações possuem denominadores diferentes, basta reduzí-las ao mesmo denominador e em seguida, somar ou subtrair os numeradores.
Exemplo:
\( \dfrac{a + b}{4} + \dfrac{2a + 3b}{2} = \dfrac{a + b}{4} + \dfrac{2(2a + 3b)}{4} = \dfrac{a + b}{4} + \dfrac{4a + 6b}{4} = \dfrac{5a + 7b}{4} \)
Para multiplicar ou dividir frações algébricas, usamos o mesmo processo das frações numéricas. Fatorando os termos da fração e simplificar os fatores comuns.
Exemplos:
Utilizamos o mesmo processo das frações numéricas.
Exemplos:
Determine \( \dfrac{a^2b}{2c} \cdot \dfrac{4c^3}{a^4} \).
Solução
\( \dfrac{a^2b}{2c} \cdot \dfrac{4c^3}{a^4} = \dfrac{a^2 \cdot b \cdot 4 \cdot c^3}{2 \cdot c \cdot a^4} \) = \( \dfrac{2bc^2}{a^2} \)
Determine \( \left( \dfrac{a}{b^2} \right)^{-2} \).
Solução
\( \left( \dfrac{a}{b^2} \right)^{-2} = \left( \dfrac{b^2}{a} \right)^2 = \dfrac{(b^2)^2}{a^2} \) = \( \dfrac{b^4}{a^2} \)
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