Consideremos um feixe de retas paralelas a, b, c e duas retas transversais r e s.

As retas paralelas cortam as retas transversais, formando os segmentos \( \overline{AB} \), \( \overline{BC} \), \( \overline{MN} \) e \( \overline{NP} \).

Teorema de Tales

Os segmentos situados sobre as transversais, entre as mesmas paralelas, são chamados de segmentos correspondentes. Assim, na figura, os segmentos correspondentes são: \( \overline{AB} \) e \( \overline{MN} \), \( \overline{BC} \) e \( \overline{NP} \), \( \overline{AC} \) e \( \overline{MP} \).

Um feixe de retas paralelas determina, sobre duas retas transversais, segmentos correspondentes que são proporcionais.

\( \dfrac{AB}{MN} = \dfrac{BC}{NP} = \dfrac{AC}{MP} \)

Determine x e y na figura seguinte, sabendo que r // s // t e que AB = 30.

Exercício resolvido sobre o teorema de Tales

Solução

Pelo teorema de Tales, tem-se:

\(\dfrac{7}{x} = \dfrac{14}{y}\)

7y = 14x

y = 2x (I)

Como AB = 30, então:

AB = 30

x + y = 30 (II)

Substituindo (I) em (II), vem:

x + (2x) = 30

3x = 30

x = 10

Substituindo x = 10 em (I), vem:

y = 2 (10) = 20

Portanto, x = 10 e y = 20

Determine CP na figura seguinte, sabendo que a // b // c.

Exercício resolvido sobre o teorema de Tales

Solução

Pelo teorema de Tales, tem-se:

\(\dfrac{AP}{BP} = \dfrac{PD}{PC}\)

\(\dfrac{10}{15} = \dfrac{4}{PC}\)

PC = \(\dfrac{15 × 4}{10}\) = 6

Observação: Tenha cuidado ao construir a proporção. Note que os segmentos de uma mesma transversal focam todos nos numeradores ou todos nos denominadores das frações.

Considere duas retas retas paralelas cortadas por uma reta transversal, conforme ilustra a figura:

Retas paralelas cortadas por uma transversal

  • Ângulos alternos internos: θ e α’; γ e β’.
  • Ângulos alternos externos: α e θ’; β e γ’.
  • Ângulos colaterais internos: θ e β’; γ e α’.
  • Ângulos colaterais externos: β e θ’; α e γ’.
  • Ângulos correspondentes: θ e θ’; α e α’; β e β’; γ e γ’.

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