O símbolo \( \sqrt[n]{a} \), com

• a ∈ \( \mathbb{R} \)
• n ∈ \( \mathbb{N} \) e n > 1

lê-se raiz enésima de a, onde

• a é o radicando
• n é o índice da raiz
• o sinal \( \sqrt{\quad} \) é o radical

O símbolo \( \sqrt[n]{a} \) é definido nos seguintes casos:

• a) Para a real qualquer e n ímpar: \( \sqrt[n]{a} \) = b ⇔ b\(^n\) = a
• b) Para a real não negativo e n par: \( \sqrt[n]{a} \) = b ⇔ b\(^n\) = a

Em outras palavras, não existe raiz de índice par de número (radicando) negativo no conjunto dos reais.

Exemplos:

• \( \sqrt{-25} \) ∉ \(\mathbb{R}\) índice par (2) e radicando negativo (-25)
• \( \sqrt[3]{-8} \) = -2 ∈ \(\mathbb{R}\) índice ímpar (3) e radicando negativo (-8)
• \( \sqrt[4]{-16} \) ∉ \(\mathbb{R}\) índice par (4) e radicando negativo (-16)

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Observações:

• \( \sqrt{36} \), por exemplo, é igual a 6 e não a ±6.
• Quando o índice não for mencionado, subentende-se que o índice é 2, ou seja, a raiz é quadrada.

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A partir de agora iremos ver as propriedades dos radicais.

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Potência de radical

O radicando se torna elevado ao expoente:

\( \left( \sqrt[n]{a} \right)^m = \sqrt[n]{a^m} \)

Exemplos:

• a) \( \left( \sqrt{7} \right)^4 = \sqrt{7^4} \)
• b) \( \left( \sqrt[3]{5} \right)^2 = \sqrt[3]{5^2} \)
• c) \( \left( \sqrt{4} \right)^{-2} = \sqrt{4^{-2}} \)
• d) \( \left( \sqrt[6]{-2} \right)^3 = \sqrt[6]{(-2)^3} \)

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Produto (ou divisão) do índice e expoente

\( \sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n \cdot p]{a^{m \cdot p}} \)

Exemplos:

• a) \( \sqrt{3^4} = \sqrt[2 \cdot 5]{3^{4 \cdot 5}} \) Quando o índice não é mencionado, subentende-se que o índice é 2
• b) \( \sqrt[5]{8^2} = \sqrt[5 \cdot 3]{8^{2 \cdot 3}} \)
• c) \( \sqrt[8]{2^4} = \sqrt[8 \cdot (-3)]{2^{4 \cdot (-3)}} \)
• d) \( \sqrt[24]{2^{10}} = \sqrt[24 : 2]{2^{10 : 2}} = \sqrt[12]{2^{5}} \)

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Produto de radicais de mesmo índice

Conserva o índice e multiplica os radicandos:

\( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} \)

Exemplos:

• a) \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{3 \cdot 6} = \sqrt{18} \)
• b) \( \sqrt[5]{2} \cdot \sqrt[5]{7} = \sqrt[5]{2 \cdot 7} = \sqrt[5]{14} \)
• c) \( \sqrt[3]{(-3)} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{(-3) \cdot 4} = \sqrt[3]{-12} \)

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Divisão de radicais de mesmo índice

Conserva o índice e divide os radicandos:

\( \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} \)

Exemplos:

• a) \( \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\dfrac{7}{3}} \)
• b) \( \dfrac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\dfrac{8}{2}} = \sqrt[3]{4} \)

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Radical de radical

Conserva o radicando e multiplica os índices:

\( \sqrt[n]{ \sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a} \)

Exemplos:

• a) \( \sqrt{ \sqrt{20}} = \sqrt[2 \cdot 2]{20} = \sqrt[4]{20} \)
• b) \( \sqrt[3]{ \sqrt{10}} = \sqrt[3 \cdot 2]{10} = \sqrt[6]{10} \)
• c) \( \sqrt{\sqrt[4]{5}} = \sqrt[2 \cdot 4]{5} = \sqrt[8]{5} \)
• d) \( \sqrt[5]{\sqrt[3]{7}} = \sqrt[5 \cdot 3]{7} = \sqrt[15]{7} \)

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Potência de expoente racional

\( a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} \), com a > 0, n ∈ \( \mathbb{N}^*\) e m ∈ \( \mathbb{Z}\)

Exemplos:

• a) \( 5^{1/2} = \sqrt{5} \)
• b) \( x^{3/8} = \sqrt[8]{x^3} \)
• c) \( 3^{7/2} = \sqrt{3^7} \)
• d) \( 2^{1/4} = \sqrt[4]{2} \)

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Se o expoente do radicando por igual ao índice do radical, pode-se extrair o radicando.

\(\sqrt[n]{a^n}\) = a, com a ∈ \(\mathbb{R}_+\), n ∈ \(\mathbb{N}\) e n > 1

Exemplos:

• a) \(\sqrt[3]{28^3}\) = 28
• b) \(\sqrt[x]{8^x}\) = 8

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Classifique em verdadeiro ou falso.

• a) \(\sqrt[3]{-1}\) = -1
• b) \(\sqrt{-4}\) = 2
• c) \(\sqrt{(-3)^2}\) = -3

Solução

a) \(\sqrt[3]{-1}\) = -1

O radicando é negativo (-1) e o índice é ímpar (3). Verdadeiro

b) \(\sqrt{-4}\) = 2

O radicando é negativo (-4) e o índice é par (2). Logo \(\sqrt{-4}\) ∉ \(\mathbb{R}\). Falso

c) \(\sqrt{(-3)^2}\) = -3

\(\sqrt{(-3)^2}\) = \(\sqrt{9}\) = 3 (3 ≠ -3). Falso

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Determine o valor de x = \(\sqrt{576}\)

Solução

Decompondo 576 em fatores primos:

576 = 2\(^6\) ∙ 3\(^2\)

Logo:

\(\sqrt{576}\) = \(\sqrt{2^6 \cdot 3^2}\) = \(\sqrt{2^6} \cdot \sqrt{3^2}\) = 2³ ∙ 3 = 8 ∙ 3 = 24

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Determine o valor de T = \(\sqrt[3]{0,001}\) - \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}\)

Solução

T = \(\sqrt[3]{0,001}\) - \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}\)

T = \(\sqrt[3]{\dfrac{1}{1000}}\) - \(\sqrt{3 \cdot 12}\)

T = \(\dfrac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{1000}}\) - \(\sqrt{36}\)

T = \(\dfrac{1}{\sqrt[3]{10^3}}\) - 6

T = \(\dfrac{1}{10}\) - 6

T = 0,1 - 6 = -5,9

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Qual é o valor de y na expressão y = \(\sqrt[3]{27}\) + \(\sqrt{32}\) - \(\sqrt{8}\)?

Solução

y = \(\sqrt[3]{27}\) + \(\sqrt{32}\) - \(\sqrt{8}\)

y = \(\sqrt[3]{3^3}\) + \(\sqrt{2^5}\) - \(\sqrt{2^3}\)

y = 3 + \(\sqrt{2^4} \cdot \sqrt{2}\) - \(\sqrt{2^2} \cdot \sqrt{2}\)

y = 3 + 2\(^2\) ∙ \(\sqrt{2}\) - 2 ∙ \(\sqrt{2}\)

y = 3 + 4 \(\sqrt{2}\) - 2 \(\sqrt{2}\) = 3 + 2 \(\sqrt{2}\)

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Considere os números \(\sqrt{2}\), \(\sqrt[3]{3}\) e \(\sqrt[4]{5}\). Qual deles é o maior e o menor?

Solução

Para comparar radicais, é necessário reduzí-los ao mesmo índice. O índice comum é o mmc dos índices dados.

mmc(2, 3, 4) = 12

Tem então:

\(\sqrt{2}\) = \(\sqrt[2 \cdot 6]{2^6}\) = \(\sqrt[12]{64}\)

\(\sqrt[3]{3}\) = \(\sqrt[3 \cdot 4]{3^4}\) = \(\sqrt[12]{81}\)

\(\sqrt[4]{5}\) = \(\sqrt[4 \cdot 3]{5^3}\) = \(\sqrt[12]{125}\)

Como os radicais, agora, possuem o mesmo índice, basta comparar os radicandos:

64 < 81 < 125

Logo, o menor é \(\sqrt{2}\) e o maior é \(\sqrt[4]{5}\)

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