Antes de explicar o que é função, veremos alguns conceitos importantes que nos ajudarão no estudo desta fascinante matéria.

O plano cartesiano é constituído por eixos coordenados (retas com escala) perpendiculares entre si (formam ângulo de 90º entre si) num ponto O (origem). Para o nosso estudo, adotaremos o plano cartesiano formado por 2 eixos:

  • o eixo horizontal, conhecido como eixo x ou eixo das abscissas; e
  • o eixo vertical, conhecido como eixo y ou eixo das ordenadas.

Plano cartesiano

Dados dois elementos a e b formamos um novo elemento indicado por (a; b) e denominado par ordenado, cujo primeiro elemento é o a e o segundo elemento é o b.

Impomos as seguintes condições de igualdade entre pares ordenados:

  • (a; b) = (b; a) a = b
  • (a; b) = (c; d) a = c e b = d

Exemplos:

  • (3; 7) ≠ (7; 3);
  • (1; 5) = (x; y) x = 1 e y = 5;
  • (x; 1) = (0; y) x = 0 e y = 1.

Determinar x e y, de modo que os pares ordenados (2x + 1, 3) e (4x - y, y) sejam iguais.

Solução

Temos um sistemas com duas equações:

  • 2x + 1 = 4x - y 4x - 2x = y + 1(I)
  • y = 3 (II)

Substituindo (II) em (I), vem:

2x = 3 + 1 2x = 4 x = 2

x = 2 e y = 3

Uma aplicação muito usada de pares ordenados é a que se verifica na representação de pontos no plano cartesiano, onde representa-se, genericamente, um ponto P do plano através de suas coordenadas x e y, escritas na forma (x; y), onde x é a abscissa e y é a ordenada do ponto P.

Exemplo: Sejam A = (1; 3) e B = (3; 1). Representando A e B no plano cartesiano, tem-se:

Pares ordenados

Observação: O primeiro elemento do par ordenado é sempre representado no eixo x e o segundo, no eixo y.

Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A por B o conjunto de todos os pares ordenados (x; y), onde x ∈ A e y ∈ B.

Notação: A×B = {(x; y) | x ∈ A e y ∈ B}

Exemplo:

Sejam A = {1, 5} e B = {w, m, p}, determine A×B, B×A, A×A e B×B:

a) por enumeração.

A×B = {(1; w), (1; m), (1; p), (5; w), (5; m), (5; p)}

B×A = {(w; 1), (w; 5), (m; 1), (m; 5), (p; 1), (p; 5)}

A×A = {(1; 1), (1; 5), (5; 1), (5; 5)}

B×B = {(w; w), (w; m), (w; p), (m; w), (m; m), (m; p), (p; w), (p; m), (p; p)}

b) por diagramas.

A×B
Diagrama do plano cartesiano de dois conjuntos: A×B
B×A
Diagrama do plano cartesiano de dois conjuntos: B×A
A×A
Diagrama do plano cartesiano de dois conjuntos: A×A
B×B
Diagrama do plano cartesiano de dois conjuntos: B×B

Observações:

  • A×\( \varnothing \) = \( \varnothing \)
  • A×B ≠ B×A, a não ser que se tenha A = B
  • Se A tem m elementos e B tem n elementos, então A×B tem m ∙ n elementos (pares ordenados)
  • O produto cartesiano A×A pode ser representado por A².

Sejam dados 2 conjuntos não vazios A e B. Chama-se relação de A em B qualquer subconjunto de A×B.

Notação: R: A → B (relação de A em B)

Observação: Quando nos referirmos a relação de A em A, podemos também dizer apenas relação em A (R: A ⟶ A).

Seja R uma relação de A em B. Seja (x; y)∈ \(\mathbb{R}\). O elemento y é chamado imagem de x pela relação R.

Exemplo: Dada a relação

R = {(a; m), (b; n), (c; n), (d; p)}

Representando a relação graficamente, vem:

Neste exemplo, temos que o elemento m é imagem do elemento a, o elemento n é imagem dos elementos b e c e, por fim, o elemento p é imagem do elemento d.

Seja R uma relação de A em B.

Chama-se domínio da relação R o conjunto dos elementos de A que tem imagens em B.

Notação: D(R)

Chama-se conjunto imagem da relação R o conjunto dos elementos de B que são imagens de elementos de A.

Notação: Im(R)

Exemplo:

Domínio e conjunto-imagem de uma relação

D(f) = {p, c, m, w} e Im(f) = {x, b, y}

Em álgebra, tem maior interesse as relações que são definidas por sentenças abertas nas variáveis x e y ou fórmulas que relacionam x e y no par (x; y). Essas fórmulas estabelecem uma lei de correspondência entre os elementos x e y de 2 conjuntos.

Exemplo:

Seja A = {1, 3, 5, 7} e seja a relação R em A (ou seja, de A em A), definida por R = {(x; y) ∈ A×A | x < y}.

Escrevendo a relação R, temos R = {(1; 3), (1; 5), (1; 7) , (3; 5), (3; 7) , (5; 7)}

Dada uma relação R de A em B, isto é, R contido em A B, chama-se inversa de R a relação R\(^{ }\) de B em A (isto é, R ⊂ B×A) tal que se (x; y) ∈ R, então (y; x) ∈ R\(^{ }\).

Exemplo: Considere a relação R = {(1; 3), (1; 5), (1; 7), (3; 5), (3; 7), (5; 7)}

Sua inversa é R^{-1} = {(3; 1), (5; 1), (7; 1), (5; 3), (7; 3), (7; 5)}

Seja R uma relação de A em B. Dizemos que R é uma função de A em B se e só se as seguintes condições se verificam:

  • Todo elemento de A tem imagem em B
  • Cada elemento de A tem apenas uma imagem

Em outras palavras:

Sejam dois conjuntos A e B diferentes do vazio e seja f uma relação de A em B.

Diz-se que f é uma função (ou aplicação) de A em B se, e só se, todo elemento de A estiver associado, através de f, a um único elemento de B, tal que (x; y) ∈ f.

Observação: Pela definição de função, temos que função é um caso particular de relação, onde podemos dizer que toda função é uma relação. Mas cuidado, nem toda relação é uma função.

Notação: f: \(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)

Vamos ver alguns exemplos para entender melhor?

Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {a, b, c} e as relações f, g, h e i, de A em B, definidas por:

f = {(1; a), (3; c), (4; b)}

A relação f não é função de A em B, pois o elemento 2 ∈ A não associa nenhum elemento de B.

Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {a, b, c} e as relações f, g, h e i, de A em B, definidas por:

g = {(1; a), (2; b) , (3; c) , (4; a) , (4; c)}

A relação g não é função de A em B, pois e elemento 4 ∈ A associa-se com dois elementos distintos de B (a e c).

Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {a, b, c} e as relações f, g, h e i, de A em B, definidas por:

h = {(1; a), (2; a), (3; a), (4; a)}

A relação h é função, pois cada elemento de A está associado com apenas um elemento de B. Observe que todos os elementos de A estão associados ao elemento a de B.

Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {a, b, c} e as relações f, g, h e i, de A em B, definidas por:

i = {(1; a), (2; b), (3; a), (4; c)}

A relação i é função, pois cada elemento de A está associado com apenas um elemento de B.

São funções definidas por sentenças abertas nas variáveis x e y ou fórmulas que relacionam x e y no par (x; y). Essas fórmulas estabelecem uma lei de correspondência entre os elementos x e y de 2 conjuntos.

Seja a função f: A → B.

O conjunto A é chamado domínio da função f (ou conjunto de partida) e o conjunto B é o contradomínio de f (ou conjunto de chegada).

Os elementos de B que são imagens dos elementos de A pela função f constituem o conjunto imagem de f e são denotados por y = f(x).

A partir de agora iremos aprender o que são e as diferenças entre as funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras.

Seja a função f: A → B. f é injetora (ou injetiva, ou injeção) se e só se elementos distintos de A tem imagens distintas em B, isto é, ∀x\(_1\), x\(_2\) ∈ A, x\(_1\) ≠ x\(_2\) ⇒ f(x1) ≠ f(x2).

Função injetora ou injetiva

Seja a função f : A → B. f é sobrejetora (ou sobrejetiva, ou sobrejeção) se e só se ∀ ∈ B, existe x ∈ A tal que y = f(x), isto é, todos os elementos do contradomínio B são imagens.

Então f : A → B é sobrejetora se e só se a Im(f) = B.

Função sobrejetora ou sobrejetiva

Seja a função f : A → B. f é bijetora (ou bijetiva, ou bijeção) se e só se f é injetora e sobrejetora.

Função bijetora ou bijetiva

Você sabia que uma função pode ser par, ímpar ou não ter paridade?

Pois é! A partir de agora iremos explorar a paridade de funções.

Sejam A, B ⊂ \( \mathbb{R} \). Seja f: A → B. f é função par se e só se ∀x ∈ A, tem se f(x) = f(-x), isto é, f é função par se elementos opostos tem a mesma imagem.

Sejam A, B ⊂ \( \mathbb{R} \). Seja f: A → B. f é função ímpar se e só se ∀x ∈ A, tem se f(x) = -f(-x), isto é, f é função ímpar se elementos opostos tem imagens opostas.

É toda função que não é nem par e nem ímpar.

Agora iremos aprender os tipos de crescimento das funções. Dependendo do sentido da função, ela pode ser:

  • monótona
  • estritamente crescente
  • crescente
  • estritamente decrescente
  • decrescente
  • constante

Funções monótonas são funções que não mudam o sentido de crescimento.

Sejam A, B ⊂ \( \mathbb{R} \). Uma função f: A → B é crescente se e só se ∀x\(_1\), x\(_2\) ∈ A, vale:

x\(_1\) < x\(_2\) ⇒ f(x\(_1\)) < f(x\(_2\))

Sejam A, B ⊂ \( \mathbb{R} \). Uma função f: A → B é crescente se e só se ∀x\(_1\), x\(_2\) ∈ A, vale:

x\(_1\) < x\(_2\) ⇒ f(x\(_1\)) ≤ f(x\(_2\))

Sejam A, B ⊂ \( \mathbb{R} \). Uma função f: A → B é decrescente se e só se ∀x\(_1\), x\(_2\) ∈ A, vale:

x\(_1\) < x\(_2\) ⇒ f(x\(_1\)) > f(x\(_2\))

Sejam A, B ⊂ \( \mathbb{R} \). Uma função f: A → B é decrescente se e só se ∀x\(_1\), x\(_2\) ∈ A, vale:

x\(_1\) < x\(_2\) ⇒ f(x\(_1\)) ≥ f(x\(_2\))

Sejam A, B ⊂ \( \mathbb{R} \). Uma função f: A → B é constante se, e só se, f(x) = k, ∀x ∈ A. Isto é Im(f) = {k}.

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