Equação irracional é toda equação em que a variável aparece sob o sinal de radical (ou elevada a expoente fracionário).

Exemplos:

a) \( \sqrt{x + 2} = 4\)

b) \( (x + 1)^{1/3} = 5 \)

c) \( 3 - \sqrt{x + 2} = 2 \)

Vamos ver na prática como resolver as equações?

Sim

\( \sqrt{x + 2} = 4\)

Para eliminar o radical, basta elevar ambos os lados ao quadrado.

\( \left( \sqrt{x + 2} \right) ^2 = \left( 4 \right) ^2\)

Assim, teremos:

x + 2 = 16

x = 14

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\( (x + 1)^{1/3} = 5 \)

Neste caso, basta elevar ambos os lados ao cubo.

\( \left[(x + 1)^{1/3}\right]^3 = 5^3 \)

Assim, teremos:

\( (x + 1)^{3/3} = 125 \)

x + 1 = 125

x = 124

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\( 3 - \sqrt{x + 2} = 2 \)

Neste caso, temos que, primeiramente, isolar o radical.

\( 3 - 2 = \sqrt{x + 2} \)

\( 1 = \sqrt{x + 2} \)

Agora, basta elevar ambos os lados ao quadrado.

\( 1^2 = \sqrt{x + 2}^2 \)

Assim, teremos:

1 = x + 2

x = -1

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Qual é a solução da equação

x + \(\dfrac{3}{x - 3}\) = 3 + \(\dfrac{3}{x - 3}\)

Solução

Repare que temos x - 3 no denominador.

Sabemos que o denominador não pode ser zero.

Então, x - 3 deve ser diferente de 0:

x - 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ 3

Sabendo da condição de que o valor de x tem que ser diferente de 3, vamos calcular a equação:

x + \(\dfrac{3}{x - 3}\) = 3 + \(\dfrac{3}{x - 3}\)

x = 3 + \(\dfrac{3}{x - 3}\) - \(\dfrac{3}{x - 3}\)

x = 3 (não serve pois x deve ser diferente de 3)

S = { }

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Determine o valor de x na equação

\(\sqrt{x}\) (x + 1) = \(\sqrt{x^3 + 3}\)

Solução

Condição:

• I) \(\sqrt{x}\) ⇔ x ≥ 0
• II) \(\sqrt{x^3 + 3}\) ⇔ \(x^3 + 3\) ≥ 0 ⇔ \(x^3\) ≥ -3 ⇔ x ≥ \(\sqrt[3]{-3}\) ⇔ x ≥ -1

Fazendo I ∩ II obtemos a condição: x ≥ 0.

Elevando os membros ao quadrado, tem-se:

\( \left[ \sqrt{x} (x + 1) \right]^2 \) = \( \left[ \sqrt{x^3 + 3} \right]^2\)

x (x + 1)² = x\(^3\) + 3

x (x² + 2x + 1) = x\(^3\) + 3

x\(^3\) + 2x² + x = x\(^3\) + 3

2x² + x - 3 = 0

x = \(\dfrac{-(1) \pm \sqrt{(1)^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)}\) = \(\dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4}\) = \(\dfrac{-1 \pm 5}{4}\)

x' = \(\dfrac{-1 + 5}{4}\) = 4/4 = 1

x" = \(\dfrac{-1 - 5}{4}\) = (-6)/4 = -3/2 (não serve, pois x ≥ 0)

S = {1}

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Determine o valor de x na equação

\(\sqrt{\sqrt{x^2 + 5} + 1}\) = x

Solução

Condição:

• I) \(\sqrt{x^2 + 5}\) ⇔ x² + 5 ≥ 0 ⇔ Qualquer valor de x terá x² + 5 ≥ 0
• II) x ⇔ x ≥ 0

Fazendo I ∩ II obtemos a condição: x ≥ 0.

Elevando os membros ao quadrado, tem-se:

\( \left( \sqrt{\sqrt{x^2 + 5} + 1} \right)^2 \) = \(x^2\)

\(\sqrt{x^2 + 5}\) + 1 = x²

\(\sqrt{x^2 + 5}\) = x² - 1

Elevando os membros ao quadrado, tem-se:

\( \left( \sqrt{x^2 + 5} \right)^2 \) = \( \left( x² - 1 \right)^2 \)

x² + 5 = x\(^4\) - x² + 1

x\(^4\) - 3x² - 4 = 0

Fazendo x² = y, tem-se:

y² - 3y - 4 = 0

y = \(\dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)}\)

y = \(\dfrac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}\)

y = \(\dfrac{3 \pm 5}{2}\)

y' = \(\dfrac{3 + 5}{2}\) = 4

y" = \(\dfrac{3 - 5}{2}\) = -1

Como y = x², tem-se:

Para y = 4 → x² = 4 ⇔ x = ±\(\sqrt{4}\) = ±2 (-2 não serve pois x ≥ 0)

Para y = -1 → x² = -1 ⇔ x = ±\(\sqrt{-1}\) (não serve, pois \(\sqrt{-1}\) ∉ \(\mathbb{R}\))

S = {2}

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O valor de x na equação x - \(\sqrt{25 - x^2}\) = 1 é

Solução

Condição:

• \(\sqrt{25 - x^2}\) ≥ 0 ⇔ 25 - x² ≥ 0 ⇔ -5 ≤ x ≤ 5

x - \(\sqrt{25 - x^2}\) = 1

x - 1 = \(\sqrt{25 - x^2}\)

Elevando os membros ao quadrado, tem-se:

(x - 1)² = \( \left( \sqrt{25 - x^2} \right)^2 \)

x² - 2x + 1 = 25 - x²

2x² - 2x - 24 = 0

x = \(\dfrac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(2)(-24)}}{2(2)}\)

x = \(\dfrac{2 \pm \sqrt{4 + 192}}{4}\)

x = \(\dfrac{2 \pm 14}{4}\)

x' = \(\dfrac{2 + 14}{4}\) = 4

x" = \(\dfrac{2 - 14}{4}\) = -3

Como os membros foram elevados ao quadrado, deve-se verificar os resultados encontrados na equação. Verifica-se que -3 não satisfaz a igualdade. Logo, -3 não é raiz da equação.

S = {4}

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