Equação do 2º grau é toda equação do tipo
a ∙ x² + b ∙ x + c = 0
com a ≠ 0.
O a tem que ser diferente de zero, porque se a = 0, o termo a ∙ x² será igual a 0, pois 0 ∙ x² = 0.
Em uma equação do 2º grau a ∙ x² + b ∙ x + c = 0, o coeficiente que acompanha o x² tem que ser diferente de 0, porque se a = 0, o termo a ∙ x² será nulo, pois 0 ∙ x² = 0.
a ∙ x² sendo igual a 0, irá eliminar o termo que contém x² e a equação
Considerando a equação x² + 3x + 5 = 0, preencha
a =
b =
c =
Para resolver uma equação do 2º grau, primeiramente separamos os coeficientes a, b e c.
Após a separação, calcula-se o delta (∆), conhecido também como discriminante.
∆ = b² - 4 a c
O ∆ fornece informações importantes. Observe:
| Discriminante | Qtde de raízes reais |
|---|---|
| ∆ > 0 (delta positivo) | A equação possui 2 raízes reais e distintas |
| ∆ = 0 (delta nulo) | A equação possui 2 raízes reais e iguais |
| ∆ < 0 (delta negativo) | A equação não possui raízes reais |
Se ∆ < 0, a solução é vazia no conjunto dos números reais (S = { }). Caso contrário, as raízes reais serão determinadas por meio da fórmula:
\( x = \dfrac{b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)
onde
\( x' = \dfrac{b - \sqrt{\Delta}}{2a} \) e \( x" = \dfrac{b + \sqrt{\Delta}}{2a} \)
Calcule as raízes reais da equação:
x² - 5x + 6 = 0
1º passo: separar os coeficientes a, b e c.
2º passo: Calcular o ∆.
∆ = b² - 4 a c = (-5)² - 4 (1) (6) = 25 - 24 = 1
Repare que o ∆ > 0, logo teremos 2 raízes reais diferentes
3º passo: Calcular as raízes
\( x = \dfrac{b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 (1)} \), onde teremos
\( x_1 = \dfrac{-(-5) - \sqrt{1}}{2} = \dfrac{5 - 1}{2} = 2 \)
\( x_2 = \dfrac{-(-5) + \sqrt{1}}{2} = \dfrac{5 + 1}{2} = 3 \)
Resposta: S = {2, 3}
Obs: 2 e 3 são diferentes. Lembra por que isso aconteceu? Delta positivo (∆ = 1).
Calcule as raízes reais da equação:
5x² - 3x - 2 = 0
1º passo: separar os coeficientes a, b e c.
2º passo: Calcular o ∆.
∆ = b² - 4 a c = (-3)² - 4 (5) (-2) = 9 + 40 = 49
Repare que o ∆ > 0, logo teremos 2 raízes reais distintas
3º passo: Calcular as raízes
\( x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{49}}{2 (5)} \), onde teremos
\( x_1 = \dfrac{-(-3) - \sqrt{49}}{10} = \dfrac{3 - 7}{10} = \dfrac{-4}{10} = -\dfrac{2}{5} \)
\( x_2 = \dfrac{-(-3) + \sqrt{49}}{10} = \dfrac{3 + 7}{10} = \dfrac{10}{10} = 1 \)
Resposta: S = {- 2/5, 1}
Obs: raízes diferentes novamente, pois o delta é maior do que zero, ou seja, positivo (∆ = 49).
Calcule as raízes reais da equação:
9x² - 12x + 4 = 0
1º passo: separar os coeficientes a, b e c.
2º passo: Calcular o ∆.
∆ = b² - 4 a c = (-12)² - 4 (9) (4) = 144 - 144 = 0
Repare que o ∆ > 0, logo teremos 2 raízes reais iguais
3º passo: Calcular as raízes
x = \( \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-(-12) \pm \sqrt{0}}{2 (9)} \), onde teremos
x' = \( \dfrac{-(-12) - \sqrt{0}}{18} = \dfrac{12 - 0}{18} = \dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3} \)
x" = \( \dfrac{-(-12) + \sqrt{0}}{18} = \dfrac{12 + 0}{18} = \dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3} \)
Resposta: S = {2/3}
Obs: raízes iguais. Lembra porque isso aconteceu: delta nulo (∆ = 0). Quando o delta for nulo, não precisa calcular x' e x". Basta calcular apenas um pois os resultados serão iguais.
Atenção: não é apenas uma raiz, são duas raízes iguais. Mas pode colocar na solução apenas uma vez.
Calcule as raízes reais da equação:
5x² + 3x + 5 = 0
1º passo: separar os coeficientes a, b e c.
2º passo: Calcular o ∆.
∆ = b² - 4 a c = (3)² - 4 (5) (5) = 9 - 100 = - 91
Repare que o ∆ < 0. Como o exercício pede para encontrar as raízes reais, logo, não existem raízes reais.
Nem precisa ir para o 3º passo.
Resposta: S = { } ou S = \( \varnothing \)
Calcule as raízes reais da equação:
2x² - 8 = 0
1º passo: separar os coeficientes a, b e c.
2º passo: Calcular o ∆.
∆ = b² - 4 a c = (0) ² - 4 (2) (-8) = 0 + 64 = 64
Repare que o ∆ > 0, logo teremos 2 raízes reais distintas
3º passo: Calcular as raízes
x = \( \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-(-0) \pm \sqrt{64}}{2 (2)} \), onde teremos
x' = \( \dfrac{-(-0) - \sqrt{64}}{4} = \dfrac{0 - 8}{4} = \dfrac{-8}{4} = -2 \)
x" = \( \dfrac{-(-0) + \sqrt{64}}{4} = \dfrac{0 + 8}{4} = \dfrac{8}{4} = 2 \)
Resposta: S = {-2, 2}
Obs: raízes diferentes novamente, pois o delta deu positivo (∆ = 64).
Calcule as raízes reais da equação:
x² - 9x = 0
1º passo: separar os coeficientes a, b e c.
2º passo: Calcular o ∆.
∆ = b² - 4 a c = (-9)² - 4 (1) (0) = 81 - 0 = 81
Repare que o ∆ > 0, logo teremos 2 raízes reais distintas
3º passo: Calcular as raízes
x = \( \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-(-9) \pm \sqrt{81}}{2 (1)} \), onde teremos
x' = \( \dfrac{-(-9) - \sqrt{81}}{2} = \dfrac{9 - 9}{2} = \dfrac{0}{2} = 0 \)
x" = \( \dfrac{-(-9) + \sqrt{81}}{2} = \dfrac{9 + 9}{2} = \dfrac{18}{2} = 9 \)
Resposta: S = {0, 9}
Obs: raízes diferentes novamente, pois o delta deu positivo (∆ = 81).
Vimos alguns exemplos de como resolver equações do 2º grau. Quando uma equação do 2º grau tem pelo menos um termo que não aparece, dizemos que ela é incompleta. Os exemplos V e VI vistos anteriormente temos equações do 2º grau incompletas. Nestes casos, existem outras maneiras mais rápidas para resolvê-las.
2x² - 8 = 0
Vamos resolver a equação do exemplo V vista anteriormente de outro jeito? Note que o termo que contém o coeficiente b não aparece, ou seja, b = 0. Há outra maneira mais rápida de resolver quando isso acontecer.
2x² = 8 (passou 8 para o outro lado e inverteu seu sinal)
x² = \( \dfrac{8}{2} \) (2 estava multiplicando, passou para o outro lado dividindo)
x² = 4
x = ± \( \sqrt{4} \) (quadrado passa para o outro lado como raiz. Como é par, vai com ± antes da raiz)
x = ± 2
Resposta: S = {-2, 2}
Pode conferir que o resultado é o mesmo.
Obs: Se as raízes forem reais, equações desse tipo sempre terão raízes simétricas, ou seja, - r e r.
Vamos pegar a equação do exemplo VI vista anteriormente. Note que o termo que contém o coeficiente c não aparece, ou seja, c = 0. Há outra maneira mais rápida de resolver quando isso acontecer.
x² - 9x = 0
x ∙ (x - 9) = 0 (como o x aparece nos 2 termos, coloca-o em evidência)
x = 0 ou x - 9 = 0 (Para a equação ser 0, basta que um dos dois seja 0)
x = 0 (primeira raiz)
x - 9 = 0 ⇔ x = 9 (segunda raiz)
Resposta: S = {0, 9}
Pode conferir que o resultado é o mesmo.
Obs:
Estas duas últimas equações:
são chamadas de equações do 2º grau incompletas. Por que?
Porque não aparece um de seus termos. Na primeira não aparece o termo que contém x (ou seja, b = 0). Na segunda, não aparece o termo independente (ou seja, c = 0).
E o que acontece na seguinte equação:
50 x² = 0
Não aparecem nem o termo x nem o termo independente, ou seja, b = 0 e c = 0.
Este é outro tipo de equação do 2º grau incompleta. Este tipo possui resolução muito mais simples.
As 2 raízes são 0. Para a equação ser 0, o x tem que ser 0.
Em resumo, as equações do 2º grau incompletas são aquelas em que:
Determine o valor de x na equação \(\dfrac{x}{x - 2} + \dfrac{4}{x - 1} = 5\).
Solução
Para a equação existir é necessário que os denominadores sejam diferentes de zero. Logo:
O mmc entre x - 2 e x - 1 é (x - 2)(x - 1)
\(\dfrac{(x - 1) \cdot x + (x - 2) \cdot 4 = (x - 2) \cdot (x - 1) \cdot 5}{(x - 2)(x - 1)} \)
Como foi realizada a operação nos dois membros da igualdade, o denominador (x - 2)(x - 1) deve ser retirado:
x² - x + 4x - 8 = (x² - 2x - x + 2) · 5
x² + 3x - 8 = (x² - 3x + 2) ∙ 5
x² + 3x - 8 = 5x² - 15x + 10
5x² - x² - 15x - 3x + 10 + 8 = 0
4x² - 18x + 18 = 0
Repare que o 2 é comum aos termos. Logo, pode-se simplificar a equação dividindo cada termo por 2:
2x² - 9x + 9 = 0
∆ = \(b^2 - 4ac\) = \((-9)^2 - 4(2)(9)\) = 81 - 72 = 9
x = \(\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\) = \(\dfrac{-(-9) \pm \sqrt{9}}{2(2)}\) = \(\dfrac{9 \pm 3}{4}\)
x' = \(\dfrac{9 + 3}{4}\) = 12/4 = 3
x'' = \(\dfrac{9 - 3}{4}\) = 6/4 = 3/2
Note que x' nem x'' anulam o denominador. Portanto, S = {3, 3/2}
Toda equação do 2º grau, completa ou incompleta, possui as seguintes propriedades de suas raízes:
x² - 5x + 6 = 0
S = {2, 3}
Soma: \( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \)
2 + 3 = - (-5)/1
5 = 5
Produto: \( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} \)
2 ∙ 3 = 6/1
6 = 6
5x² - 3x - 2 = 0
S = {- 2/5, 1}
Soma: \( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \)
- 2/5 + 1 = - (-3)/5
(- 2 + 5)/5 = 3/5
3/5 = 3/5
Produto: \( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} \)
- 2/5 ∙ 1 = -2/5
-2/5 = -2/5
Determine o valor de m de modo que a soma das raízes da equação 3x² - 6mx + 1 = 0 seja 2.
Solução
Separando os coeficientes, tem-se:
S = x' + x" = -\(\dfrac{b}{a}\) = -\(\dfrac{-6m}{3}\) = 2m
Para que a soma seja 2, tem-se:
2m = 2 ⇔ m = 2/2 = 1
Determine o valor de m de modo que as raízes da equação x² - 2mx + m - 1 = 0 sejam opostas.
Solução
Separando os coeficientes, tem-se:
Raízes opostas: x' = -x'' ⇔ x' + x'' = 0
Note que a soma das raízes é zero. Logo:
S = x' + x" = -\(\dfrac{b}{a}\) = -\(\dfrac{-2m}{1}\) = 2m
2m = 0 ⇔ m = 0
Determine o valor de m na equação x² - 2mx + m - 1 = 0 de modo que uma das raízes seja o inverso da outra.
Solução
Separando os coeficientes, tem-se:
Uma raiz inversa da outra: \(x_1 = \dfrac{1}{x_2}\) ⇔ \(x_1 \cdot x_2\) = 1
Note que produto das raízes é um. Logo:
P = \(x_1 \cdot x_2\) = \(\dfrac{c}{a}\) = \(\dfrac{m - 1}{1}\) = m - 1
m - 1 = 1 ⇔ m = 1 + 1 = 2
Esta foi uma demonstração gratuita.
Logue para ter acesso a todo conteúdo interativo.
Hum, ainda não criou conta!?
Crie sua conta e ative-a para ter acesso a todo conteúdo interativo.