No popular, ângulo é a região compreendida entre dois lados que possuem um ponto em comum, chamado de vértice.

Ângulo

Um ângulo α pode ser:

  • agudo
  • reto
  • obtuso
  • raso

Ângulo agudo

O ângulo é agudo quando está compreendido entre 0º e 90º (0º < α < 90º)

Ângulo agudo

Ângulo reto

O ângulo é reto quando é igual a 90º (α = 90º)

Ângulo reto

Ângulo obtuso

O ângulo é obtuso quando está compreendido entre 90º e 180º (90º < α < 180º)

Ângulo obtuso

Ângulo raso

O ângulo é raso quando é igual a 180º (α = 180º)

Ângulo raso

Menino Neymar Francisco pergunta que tipo de ângulo ele está formando com os braços

Quais ângulos são agudos?

O ângulo 135º é um ângulo

Ângulo de 45º

O ângulo da figura é um ângulo

Dois ângulos α e β podem ser:

  • complementares
  • suplementares
  • opostos pelo vértice (OPV)

Ângulos complementares

Dois ângulos são complementares quando a soma entre eles é 90º:

Ângulos complementares

α + β = 90º

Ângulos suplementares

Dois ângulos são suplementares quando a soma entre eles é 180º:

Ângulos suplementares

α + β = 180º

Ângulos opostos pelo vértice (OPV)

São ângulos formados pelas mesmas retas e que se encontram opostos pelo ponto em comum (vértice) das retas.

Ângulos opostos pelo vértice

α = β

Observe que ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes, ou seja, possuem medidas iguais.

Bissetriz de um ângulo é a semi-reta de origem no vértice do ângulo e que o divide em dois ângulos iguais.

Bissetriz

A principal unidade utilizada para medir ângulos é o grau (º).

1 grau equivale a 60 minutos. Como 1 minuto equivale a 60 segundos, 1 grau equivale a 3.600 segundos.

Assim:

1º ⇔ 60' ⇔ 3.600"

  • a) 30º ⇔ 30 ∙ 60' = 1.800'
  • b) 15º ⇔ 15 ∙ 3.600" = 54.000"

Os ângulos podem ser somados, multiplicados, subtraídos e divididos. Para fazer isso, no entanto, é necessário considerar suas sub-unidades (minutos e segundos). Há casos em que é necessário fazer transformações com medidas de ângulos durante essas operações.

43º 18' 20'' + 25º 18' 30''

43º 18' 20'' + 25º 18' 30'' = 68º 36' 50''

10º 36' 30'' + 23º 45' 50''

10º 36' 30'' + 23º 45' 50'' = 33º 81' 80''

Note que 80'' é igual a 1' 20''. Este 1' somamos aos minutos. Assim, tem-se que 33º 81' 80'' = 33º 82' 20''

Note, agora, que 82' é igual a 1º 22''. Este 1º somamos aos graus. Assim, tem-se que 33º 82' 20'' = 34º 22' 20''

90º – 35º 49' 46''

Vamos apresentar 90º com as casas dos minutos e dos segundos.

90º = 89º 60' ("empresta-se" 1º para os minutos)

89º 60' = 89º 59' 60'' ("empresta-se" 1' para os segundos)

Assim, tem-se que 90º = 89º 59' 60''

Fazendo 89º 59' 60'' - 35º 49' 46'':

89º 59' 60'' - 35º 49' 46'' = 54º 10' 14''

Dois ângulos consecutivos e de mesmo vértice são chamados de ângulos adjacentes.

Na figura, o ângulo raso XÂY é dividido em três ângulos pelas semi-retas \(\overrightarrow{AM}\) e \(\overrightarrow{AN}\) de modo que MÂN = 2 ∙ XÂM e NÂY = XÂM + 20º. Determine os ângulos XÂM, MÂN e NÂY.

Exercício resolvido sobre ângulo raso

O ângulo XÂY é raso, logo XÂY = 180º.

Note que XÂM + MÂN + NÂY = XÂY

Chamando XÂM = x, tem-se, de acordo com o enunciado:

  • MÂN = 2x
  • NÂY = x + 20º

Exercício resolvido sobre ângulo raso

XÂM + MÂN + NÂY = XÂY ⇔ x + 2x + x + 20º = 180º ⇔ 4x = 180º - 20º ⇔ x = 160º/4 = 40º

Portanto:

XÂM = 40º

MÂN = 2 (40º) = 80º

NÂY = (40º) + 20º = 60º

Quatro ângulos â, ê, ô e û, unidos pelo mesmo vértice, formam um ângulo de volta completa. Determine os ângulos ô e û, sabendo que â e ê são retos e ô é o triplo de û.

De acordo com o enunciado:

  • (I) â + ê + ô + û = 360º
  • (II) â = ê = 90º
  • (III) ô = 3û

Substituindo (II) e (III) em (I), vem:

â + ê + ô + û = 360º

90º + 90º + 3û + û = 360º

180º + 4û = 360º

4û = 360º - 180º ⇔ û = 180º/4 = 45º

Substituindo û = 45º em (III), vem:

ô = 3û ⇔ ô = 3 (45º) = 135º

A soma de dois ângulos adjacentes é 120º. Calcule a medida de cada ângulo, sabendo que a medida de um deles é o triplo do outro menos 40º.

Sejam x e y dois ângulos adjacentes. Tem-se:

  • (I) x + y = 120º
  • (II) x = 3y – 40º

Substituindo (II) em (I) vem:

x + y = 120º

(3y – 40º) + y = 120º

4y = 160º ⇔ y = 40º

Substituindo y = 40º em (II) vem:

x = 3y – 40º

x = 3(40º) – 40º

x = 120º - 40º ⇔ x = 80º

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