A partir de agora você irá iniciar sua jornada com múltiplos e divisores. O que você irá aprender aqui:

• Múltiplos
• Divisores
• Números primos
• Máximo Divisor Comum (mdc)
• Números primos entre si
• Mínimo Múltiplo Comum (mmc)
• Relação entre MDC e MMC de dois números

Começar

Considere o seguinte exemplo:

3 ∙ 2 = 6

O 6 é o resultado da multiplicação entre 3 e 2. Logo, 6 é múltiplo de 3 e também é múltiplo de 2.

Entendi

Sendo X e Y números naturais, X é múltiplo de Y se e só se X é o produto de Y por um outro número natural K

X = Y ∙ K

No exemplo anterior vimos que 6 é múltiplo de 3 porque 6 é o produto de 3 por 2 (6 = 3 ∙ 2).

Vimos também que o 6 é múltiplo de 2 porque 6 é o produto de 2 por 3.

Voltar Entendi

Exemplos:

• 15 é múltiplo de 3 e de 5, pois 15 = 3 ∙ 5. Note que 15 é o produto de 3 por 5 (e vice-versa, de 5 por 3).
• 20 é múltiplo de 2.

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O 10 é múltiplo de 5 porque existe outro número natural que multiplicado por 5 dá 10. E você sabe que número é este?

1 2 5 10

Observações:

• 0 é múltiplo de qualquer número natural, porque todo número multiplicado por 0 é igual a 0;
• Indica-se por M(a) o conjunto dos múltiplos de a.

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Exemplos de múltiplos:

• M(1) = {0, 1, 2, 3, ...}
• M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, ...}
• M(3) = {0, 3, 6, ...}
• M(4) = {0, 4, 8, ...}

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Determine os múltiplos de 5.

Solução

Os múltiplos são

M(5) = {0, 5, 10, 15, ...}

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Quais são os múltiplos pares de 3 maiores do que 6?

Solução

Os múltiplos de 3 são:

M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, ...}

Os múltiplos pares maiores do que 6 são:

M = {6, 12, 18, 24, ...}

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Considere o exemplo que utilizamos quando estudamos múltiplos:

3 ∙ 2 = 6

Vimos que o 6 é múltiplo de 3 e também é múltiplo de 2.

Então, o 2 e o 3 são divisores de 6, pois dividindo 6 por 2 e por 3 dá conta exata, ou seja, o resto é zero.

Entendi

Você pode estar se perguntando: "Então quer dizer que sempre que tiver um número X que dividido por Y der resto 0, significa que Y é divisor de X?"

É isto mesmo!

Exemplos:

• 3 e 5 são divisores de 15.
• 2 e 4 são divisores de 8.

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Observações:

• 1 é divisor de qualquer número natural;
• Indica-se por D(a) o conjunto dos divisores de a.

Ok

Exemplos de divisores:

• D(1) = {1}
• D(2) = {1, 2}
• D(3) = {1, 3}
• D(4) = {1, 2, 4}

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Um número natural p diferente de zero e de 1 (p ≠ 0 e p ≠ 1), é primo se e só se, seus únicos divisores são 1 e p. Note que são 2 divisores naturais.

Ok

• D(1) = {1}
• D(2) = {1, 2}
• D(3) = {1, 3}
• D(4) = {1, 2, 4}

Desse exemplo, apenas 2 e 3 são números primos.

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Observação:

• um número primo sempre terá 2 divisores naturais;
• o único número natural primo e par é o 2.

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Dados dois naturais a e b, seu máximo divisor comum, que se indica por m.d.c(a, b), é o maior elemento do conjunto D(a) ∩ D(b).

Exemplo:

Qual é o máximo divisor comum de 16 e 20?

• Divisores de 16: D(16) = {1, 2, 4, 8, 16}
• Divisores de 20: D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Efetuando a intersecção entre eles, obtém-se:

D(16) ∩ D(20) = {1, 2, 4}

Observe que o maior elemento do conjunto obtido é 4. Logo, mdc(16, 20) = 4.

Entendi

Dois números naturais a e b são primos entre si (ou a é primo com b), se e só se, m.d.c.(a, b) = 1.

Exemplo:

Os divisores de 16 e 25 são:

• D(16) = {1, 2, 4, 8, 16}
• D(25) = {1, 5, 25}

Efetuando a intersecção entre eles, obtém-se:

D(16) ∩ D(25) = {1}

Observe que mdc(16, 25) = 1. Logo, 16 e 25 são primos entre si.

Ok

Observação:

• Se dois números distintos são ambos primos, então os dois números são também primos entre si.
• Mas, se dois números são primos entre si, não pode-se concluir que sejam ambos primos e nem mesmo que um deles seja primo.

No exemplo anterior, 16 e 25 são primos entre si. Mas nenhum dos dois são primos.

D(16) = {1, 2, 4, 8, 16}

D(25) = {1, 5, 25}

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Dados dois números naturais a e b, não nulos, seu mínimo múltiplo comum, que se indica por m.m.c(a, b), é o menor elemento positivo (maior do que zero) do conjunto M(a) ∩ M(b).

Exemplo:

Qual é o mínimo múltiplo comum de 16 e 20?

• Mínimo múltiplo comum de 16: M(16) = {0, 16, 32, 48, 64, 80, 96, ..., 160, ...}
• Mínimo múltiplo comum de 20: M(20) = {0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, ...}

Efetuando a intersecção entre eles, obtém-se:

M(16) ∩ M(20) = {0, 80, 160, 240, ...}

O menor elemento positivo do conjunto obtido é 80. Logo, mmc(16, 20) = 80.

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Determine o conjunto D(12) - M(2), onde D é o conjunto dos divisores e M o conjunto dos múltiplos.

Solução

D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}

D(12) - M(2) resulta no conjunto que possui os elementos que pertencem ao conjunto dos divisores de 12 e não pertencem ao conjunto dos múltiplos de 2.

D(12) - M(2) = {1, 3}

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Dois ônibus partem simultaneamente de um mesmo terminal fazendo itinerários diferentes. Um retorna ao terminal a cada 60 minutos e o outro a cada 1h20. Depois de quanto tempo, a partir das partidas simultâneas, os ônibus estarão juntos novamente no terminal?

Solução

O primeiro ônibus passa pelo terminal de 60 em 60 minutos.

O segundo ônibus passa pelo terminal de 80 em 80 minutos (1h20).

Logo, o tempo para que eles estejam juntos no terminal é dado pelo mmc(60, 80) = 240

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