Um poliedro convexo é regular se, e só se:
Em todo poliedro convexo tem-se:
V – A + F = 2
onde, V é o número de vértices, A é o número de arestas e F o número de faces.
Exemplo: Para determinar o número de arestas de uma pirâmide pentagonal, deve-se inicialmente, observar o números de faces e vértices.
A pirâmide pentagonal tem 6 faces e 6 vértices. Então:
V – A + F = 2
6 - A + 6 = 2
A = 12 - 2 = 10
Portanto, a pirâmide pentagonal tem 10 arestas
Um poliedro convexo tem 7 faces e 15 arestas. Determine o número de vértices da superfície desse poliedro.
Solução
F = 7 e A = 15
Substituindo, vem:
V – A + F = 2
V - 15 + 7 = 2
V = 10
Um poliedro convexo tem 30 arestas e o número de faces igual ao número de vértices. Determine o número de vértices desse poliedro.
Solução
A = 30 e F = V
Substituindo, vem:
V – A + F = 2
V - 30 + V = 2
2V = 32
V = 16
A soma das medidas, em graus, dos ângulos das faces da superfície de um poliedro convexo que tem V vértices é tal que:
S = (V - 2) ∙ 360º
Exemplo: Para determinar a soma das ângulos das faces de uma pirâmide pentagonal, inicialmente deve-se obter o número de vértices e após, aplicar a fórmula:
O número de vértices da pirâmide pentagonal é 6
S = (V - 2) ∙ 360º = (6 - 2) ∙ 360º = 4 ∙ 360º = 1440º
Um poliedro convexo tem 30 arestas e a soma dos ângulos de suas faces é 20\(\pi\) rad. Determine o número de vértices e de faces desse poliedro.
Solução
S = (V - 2) ∙ 2\(\pi\) = 20\(\pi\)
V - 2 = 10
V = 12
Pela relação de Euler, vem:
V – A + F = 2
12 - 30 + F = 2
F = 20
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