Seja f uma função real de variável real cuja representação gráfica é:
Sejam dois pontos A (x\(_0\), f(x\(_0\))) e P(x, f(x)) pertencentes ao gráfico de f.
Pelos pontos A e P passa uma reta secante ao gráfico de f.
O coeficiente angular da reta AP (secante ao gráfico de f) é dado por:
\(\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\)
Deslocando o ponto P em direção ao ponto A pelo gráfico de f, temos:
Quando x → x\(_0\), a reta que se obtém é tangente ao gráfico da função no ponto A e o seu declive é o numero real (quando existe) que é, precisamente, a derivada de f no ponto de abcissa x\(_0\).
A derivada de uma função num ponto representa geometricamente o declive de reta tangente ao gráfico de função nesse ponto, ou seja, a tangente trigonométrica do ângulo positivo que a reta faz com o semieixo positivo do x.
Definição: Se uma função f admite derivada finita num ponto, então diz-se derivável nesse ponto.
Teorema: Toda a função derivável num ponto é contínua nesse ponto.
Nota: O recíproco deste teorema não é valido. Por exemplo, a função definida por f(x) = | x - 1 |, é contínua no ponto de abcissa 1 e não é derivável nesse ponto.
Seja f uma função real de variável real.
Se a cada elemento do domínio de f se associar a derivada de f nesse ponto, estabelece-se uma correspondência unívoca e define-se uma nova função, a que se chama função derivada de f e que se representa por f.
O domínio desta nova função é o conjunto dos elementos do domínio da função dada em que esta for derivável.
Nota: Nem sempre o domínio da função derivada coincide com o domínio da função dada.
A tabela apresenta as regras de derivação:
| Descrição | f(x) | f'(x) |
|---|---|---|
| Derivada de uma função constante | f(x) = c | f'(x) = 0 |
| Regra da potência | f(x) = x\(^n\) (n ≠ 0) | f'(x) = n ∙ x' ∙ x\(^{n-1}\) |
| Derivada do produto de uma constante por uma função | f(x) = c ∙ g(x) | f'(x) = c ∙ g'(x) |
| Derivada de uma soma | h(x) = f(x) + g(x) | h'(x) = f'(x) + g'(x) |
| Derivada de um produto | h(x) = f(x) ∙ g(x) | h'(x) = f(x) ∙ g'(x) + f'(x) ∙ g(x) |
| Derivada de um quociente | h(x) = \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\) | h'(x) = \(\dfrac{g(x) \cdot f'(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}\) |
A tabela apresenta a derivada das funções elementares:
| f(x) | f'(x) |
|---|---|
| y = a\(^u\) (a > 0 e a ≠ 1) | y' = a\(^u\) ∙ ln a ∙ u' |
| y = e\(^u\) | y' = e\(^u\) ∙ u' |
| y = \(log_a u\) | y' = \(\dfrac{u'}{u}\) ∙ \(log_a e\) |
| y = ln u | y' = \(\dfrac{u'}{u}\) |
| y = u\(^v\) | y' = v ∙ u\(^{v-1}\) ∙ u' + u\(^v\) ∙ ln u ∙ v' (u > 0) |
| y = sen u | y' = cos u ∙ u' |
| y = cos u | y' = sen u ∙ u' |
| y = tan u | y' = sec\(^2\)u ∙ u' |
| y = cotg u | y' = -cosec\(^2\)u ∙ u' |
| y = sec u | y'= sec u ∙ tan u ∙ u' |
| y = cosec u | y' = -cosec u ∙ cotg u ∙ u' |
| y = arc sen u | y' = \(\dfrac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}\) |
| y = arc cos u | y' = \(\dfrac{-u'}{\sqrt{1 - u^2}}\) |
| y = arc tag u | y' = \(\dfrac{u'}{1 + u^2}\) |
| y = arc cotg u | y' = \(\dfrac{-u'}{1 + u^2}\) |
| y = arc sec u (|u| ≥ 1) | y' = \(\dfrac{u'}{|u| \sqrt{u^2 - 1}}\) (|u| > 1) |
| y = arc cosec u (|u| ≥ 1) | y' = \(\dfrac{-u'}{|u| \sqrt{u^2 - 1}}\) (|u| > 1) |
| y = senh u | y' = cosh u ∙ u' |
| y = cosh u | y' = senh u ∙ u' |
| y = tanh u | y' = sech\(^2\) u ∙ u' |
Exemplos:
a) g(x) = 3x\(^2\) - 1
A função derivada de g é:
g'(x) = 3 ∙ 2 ∙ x\(^{2 - 1}\) = 6x
b) f(x) = \(\dfrac{x+1}{x+2}\) (3x\(^2\) + 6x)
Note que temos um produto. Para facilitar podemos atribuir uma letra para cada termo de f(x): u = \(\dfrac{x+1}{x+2}\) e v = 3x\(^2\) + 6x
u = \(\dfrac{x+1}{x+2}\)
Logo a derivada de u, de acordo com regra de derivação, será:
u' = \(\dfrac{(x+2)(x+1)' - (x+1)(x+2)'}{(x+2)^2}\) = \(\dfrac{(x+2)(1) - (x+1)(1)}{(x+2)^2}\) = \(\dfrac{x + 2 - x - 1)}{(x+2)^2}\) = \(\dfrac{1)}{(x+2)^2}\)
v = 3x\(^2\) + 6x
Derivada de v:
v'= 6x + 6
Agora podemos calcular a derivada de f(x), seguindo a regra de derivada de um produto:
f'(x)= u ∙ v' + v ∙ u'
f'(x) = \(\dfrac{x+1}{x+2}\) ∙ (6x + 6) + (3x\(^2\) + 6x) ∙ \(\dfrac{1)}{(x+2)^2}\)
f'(x) = \(\dfrac{6x^2 + 6x + 6x + 6}{x+2}\) + \(\dfrac{3x^2 + 6x}{(x+2)^2}\)
f'(x) = \(\dfrac{6x^2 + 12x + 6}{x+2}\) + \(\dfrac{3x(x + 2)}{(x+2)^2}\)
f'(x) = \(\dfrac{6x^2 + 12x + 6}{x+2}\) + \(\dfrac{3x}{x+2}\)
f'(x) = \(\dfrac{6x^2 + 12x + 6 + 3x}{x+2}\)
f'(x) = \(\dfrac{6x^2 + 15x + 6}{x+2}\)
Determine a derivada de f(x) = \(\sqrt[3]{x^2}\).
Solução
\(\sqrt[3]{x^2}\) = x\(^{\dfrac{2}{3}}\)
f'(x) = \(\dfrac{2}{3}\) ∙ x\(^{\dfrac{2}{3} - 1}\)
f'(x) = \(\dfrac{2}{3}\) ∙ x\(^{-\dfrac{1}{3}}\)
f'(x) = \(\dfrac{2}{3}\) ∙ \(\dfrac{1}{x^{\dfrac{1}{3}}}\)
f'(x) = \(\dfrac{2}{3}\) ∙ \(\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\)
f'(x) = \(\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}\)
Determine a derivada de f(x) = \(\left( \dfrac{3x+2}{2x+1} \right)^5\).
Solução
f'(x) = 5 ∙ \(\left( \dfrac{3x+2}{2x+1} \right)^4\) ∙ \(\dfrac{(2x+1)(3) - (3x+2)(2)}{(2x+1)^2}\)
f'(x) = 5 ∙ \(\left( \dfrac{3x+2}{2x+1} \right)^4\) ∙ \(\dfrac{(6x + 3 - 6x - 4}{4x^2 + 4x + 1}\)
f'(x) = 5 ∙ \(\left( \dfrac{3x+2}{2x+1} \right)^4\) ∙ \(\dfrac{-1}{4x^2 + 4x + 1}\)
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