Sendo a um número real positivo e diferente de 1 (a > 0 e a ≠ 1), e b um número real positivo (b > 0), chama-se logaritmo de b na base a o número ao qual devemos elevar a base a para se obter b.

\( log_ab = x \Leftrightarrow a^x = b \)

com a > 0, a ≠ 1 e b > 0

onde:

• x é o logaritimo de b.
• a é a base.
• b é o logaritmando (costuma-se também dizer que b é o antilogaritmo de x na base a).

Condições de existência \( \left\{\begin{array}{l} a > 0 \\ a \ne 1 \\ b > 0 \end{array}\right. \)

Exemplos:

• a) log\(_4\)16 = 2, pois 2\(^4\) = 16
• b) log\(_5\)1/5 = -1, pois 5\(^{-1}\) = 1/5
• c) log\(_{1/5}\)5 = -1, pois (1/5)\(^{-1}\) = 5
• d) log\(_7\)1 = 0, pois 7\(^0\) = 1
• e) log\(_2 \sqrt{2}\) = 1/2, pois 2\(^{1/2}\) = \(\sqrt{2}\)

Entendi

Qual é o valor de x em log\(_4\)x = 3?

Solução

log\(_4\)x = 3

4\(^3\) = x

x = 256

Voltar Entendi

Determine o valor de y em log\(_{y - 1}\)4 = 2

Solução

Condição de existência:

• y - 1 > 0 ⇔ y > 1
• y - 1 ≠ 1 ⇔ y ≠ 2

log\(_{y - 1}\)4 = 2

(y - 1)\(^2\) = 4

y - 1 = ±\( \sqrt{4} \)

y - 1 = ±2

• Para y - 1 = -2 ⇔ y = -1 (pela condição de existência não serve)
• Para y - 1 = 2 ⇔ y = 3

S = 3

Voltar Entendi

A partir de agora você irá ver as propriedades operatórias dos logaritimos.

Voltar Vamos iniciar

O logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores.

\( log_a(b \cdot c) = log_ab + log_ac \)

com a > 0, a ≠ 1, b > 0 e c > 0

Exemplos:

• a) \( log_430 = log_4(5 \cdot 6) = log_45 + log_46 \)
• b) log 3 + log 5 = log (3 ∙ 5) = log 15

Voltar Entendi

O logaritmo do quociente de dois números é igual à diferença entre os logaritmos do dividendo e do divisor.

\( log_a\dfrac{b}{c} = log_ab – log_ac \)

com a > 0, a ≠ 1, b > 0 e c > 0

Exemplos:

• a) \( log_3\dfrac{2}{5} = log_32 - log_35 \)
• b) \( log_83 - log_86 = log_8\dfrac{3}{6} = log_8\dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{3} \)

Voltar Entendi

O logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.

\( log_ab^\alpha = \alpha \cdot log_ab \)

com a > 0, a ≠ 1 e b > 0

Exemplos:

• a) \( log_32^5 = 5 \cdot log_32 \)
• b) \( 4 \cdot log_52 = log_52^4 = log_516 \)

Voltar Entendi

O logaritmo de um número numa base que é uma potência, é igual ao produto do inverso do expoente dessa base pelo logaritmo (do mesmo número) cuja base é a da potência.

\( log_{a^\alpha}b = \dfrac{1}{\alpha} \cdot log_ab \)

com a > 0, a ≠ 1, b > 0 e α ≠ 0

Exemplos:

• a) \( log_{3^4}6 = \dfrac{1}{4} \cdot log_36 \)
• b) \( \dfrac{1}{3} \cdot log_25 = log_{2^3}5 = log_85 \)

Voltar Entendi

Tem-se, ainda, a seguinte propriedade:

\( log_ab \cdot log_ba = 1 \)

com a > 0, a ≠ 1, b > 0 e b ≠ 1

Exemplos:

• a) \( log_23 \cdot log_32 = 1 \)
• b) \( log_57 \cdot log_75 = 1 \)

Voltar Entendi

Há expressões em que os logarítmos não se encontram na mesma base. Nestes casos, deve-se passar todos os logarítmos para a mesma base.

\( log_ab \)

Passando para a base c

\( log_ab = \dfrac{log_cb}{log_ca} \)

com a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0 e c ≠ 1

Exemplos:

a) \( log_35 \)

Passando para a base 2:

\( \dfrac{log_25}{log_23} \)

b) \( log_37 \)

Passando para a base 10:

\( \dfrac{log 7}{log 3} \)

c) \( log_46 \)

Passando para a base 2:

\( \dfrac{log_26}{log_24} = \dfrac{log_26}{2} \)

Voltar Entendi

Para a resolução de equações envolvendo logaritmos, aplica-se as propriedades vistas, tentando sempre reduzir a equação dada a uma equação do tipo

\( log_ab = log_ac \)

concluindo, então, que b = c.

Exemplo:

Considere a seguinte equação

\( log_2 (x - 3) + log_2 (x - 2) = 1 \).

Para resolvê-la, primeiramente deve-se analisar a condição de existência:

• x - 3 > 0 ⇔ x > 3
• x - 2 > 0 ⇔ x > 2

Fazendo a intersecção entre os dois intervalos obtém-se que x deve ser maior do que 3.

Basta, agora, aplicar as propriedades:

\( log_2 (x - 3) + log_2 (x - 2) = 1 \)

\( log_2 (x - 3)(x - 2) = 1 \)

(x - 3)(x - 2) = 2\(^1\)

(x - 3)(x - 2) = 2

x\(^2\) - 5x + 6 = 2

x\(^2\) - 5x + 4 = 0

• x' = 1 (não serve pois, pela condição de existência, x > 3)
• x" = 4

Assim, S = {4}

Voltar Entendi

Calcule o valor de x na equação

log\(_2\)x + log\(_4\)x = log\(_8\)x + 1

Solução

Condição de existência: x > 0

log\(_2\)x + log\(_4\)x = log\(_8\)x + 1

log\(_2\)x + log\(_{2^2}\)x = log\(_{2^3}\)x + 1

log\(_2\)x + \(\dfrac{1}{2}\) ∙ log\(_2\)x = \(\dfrac{1}{3}\) ∙ log\(_2\)x + 1

log\(_2\)x + \(\dfrac{log_2x}{2}\) = \(\dfrac{log_2x}{3}\) + 1

Fazendo log\(_2\)x = y, vem:

y + \(\dfrac{y}{2}\) = \(\dfrac{y}{3}\) + 1

\(\dfrac{6y + 3y = 2y + 6}{6}\)

6y + 3y = 2y + 6

7y = 6

y = 6/7

Como log\(_2\)x = y, tem-se:

log\(_2\)x = 6/7

x = 2\(^{6/7}\) = \(\sqrt[7]{2^6}\) = \(\sqrt[7]{64}\)

Voltar Entendi