Considere um segmento de reta AB, onde A possui coordenada (\(x_A\), \(y_A\)) e B, (\(x_B\), \(y_B\)).
A abscissa e a ordenada do ponto médio M de um segmento \( \overline{AB} \) são iguais, respectivamente, à média aritmética das abscissas e das ordenadas dos extremos do segmento.
Formalizando, temos:
\( x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2} \) e \( y_M = \dfrac{y_A + y_B}{2} \)
Considere os pontos A(0, 0) e B(4, 8). Determine os pontos que dividem o segmento AB e, quatro partes iguais.
Solução
Esquematizando, tem-se:
Observe que P2 é ponto médio de AB. Então:
P2 = (2, 4)
Observe que P1 é ponto médio de AP2. Então:
P1 = (1, 2)
Observe que P3 é ponto médio de P2B. Então:
P3 = (3, 6)
Os pontos sãoP1(1, 2), P2(2, 4) e P3(3,6)
O ponto médio de A(1, 2) e B(5, 4) é
A abscissa e a ordenada do baricentro G, de um triângulo ABC, são iguais, respectivamente, à média aritmética das abscissas e das ordenadas dos vértices do triângulo.
\( x_G = \dfrac{x_A + x_B + x_C}{3} \) e \( y_G = \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3} \)
Determine as coordenadas do baricentro G e do vértice A de um triângulo ABC, sabendo que G pertence ao eixo das abscissas, A pertence ao eixo das ordenadas, B = (6, -1) e C = (-3, -3).
Solução
Seja G = (x, y). Como G pertence ao eixo das abscissas, \(y_G\) = 0.
Seja A = (\(x_A\), \(y_A\)). Como A pertence ao eixo das ordenadas, \(x_A\) = 0.
\( x_G = \dfrac{x_A + x_B + x_C}{3} \)
\( x_G = \dfrac{0 + 6 + (-3)}{3} \) = 1
\( y_G = \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3} \)
\( 0 = \dfrac{y_A + (-1) + (-3)}{3} \)
\(y_A\) = 4
Portanto, A = (0, 4) e G = (1, 0)
Sendo A e B dois pontos distintos, chamamos de distância entre A e B ao comprimento do segmento \( \overline{AB} \).
Num plano cartesiano, sendo A(\(x_A\); \(y_A\)) e B(\(x_B\); \(y_B\)), a distância (\(d_{AB}\)) entre eles é calculada pela fórmula:
\( d_{AB} = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2} \)
Calcular o perímetro do triângulo ABC, cujos vértices são A(3, 4), B(-2, 4) e C(2, 2).
Solução
O perímetro de um triângulo é a soma de seus lados. Para obter as medidas dos lados do triângulo, basta determinar as distâncias entre os vértices e após, somá-los.
\( d_{AB} = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2} = \sqrt{[3 - (-2)]^2 + (4 - 4)^2} = \sqrt{5^2 + 0^2} \) = 5
\( d_{AC} = \sqrt{(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2} = \sqrt{(3 - 2)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \)
\( d_{BC} = \sqrt{(x_B - x_C)^2 + (y_B - y_C)^2} = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)
P = \(d_{AB} + d_{AC} + d_{BC}\) = 5 + \(\sqrt{5}\) + 2\(\sqrt{5}\) = 5 + 3\(\sqrt{5}\)
Consideremos o triângulo ABC:
A área S desse triângulo ABC, de vértices A(\(x_A\); \(y_A\)), B(\(x_B\); \(y_B\)) e C(\(x_C\); \(y_C\)) é calculada pela fórmula:
\( S = \dfrac{1}{2} \cdot mod \left| \begin{array}{ccc} x_A & y_A & 1 \\ x_B & y_B & 1 \\ x_C & y_C & 1 \end{array} \right| \)
onde mod significa módulo.
Determine a área do triângulo ABC, cujos vértices são A(1, -1), B(2, 2) e C(0, 3).
Solução
S = \( \dfrac{1}{2} \cdot mod \left| \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \end{array} \right| \)
S = \( \dfrac{1}{2} \) ∙ |2 + 6 - 3 + 2| = 7/2
Sejam A, B e C três pontos de um plano cartesiano:
A condição necessária e suficiente para que os pontos A(\(x_A\); \(y_A\)), B(\(x_B\); \(y_B\)) e C(\(x_C\); \(y_C\)) estejam alinhados (colineares), isto é, para que pertençam a mesma reta, é que o determinante D das coordenadas seja nulo.
\( D = \left| \begin{array}{ccc} x_A & y_A & 1 \\ x_B & y_B & 1 \\ x_C & y_C & 1 \end{array} \right| = 0 \)
Determine p para que os pontos A(3, 2), B(p, 0) e C(2, p).
Solução
Pela condição de alinhamento, os pontos A, B e C estarão alinhados se o determinante
\( \left| \begin{array}{ccc} x_A & y_A & 1 \\ x_B & y_B & 1 \\ x_C & y_C & 1 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 1 \\ p & 0 & 1 \\ 2 & p & 1 \end{array} \right| \) for igual a zero.
Desenvolvendo \( \left| \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 1 \\ p & 0 & 1 \\ 2 & p & 1 \end{array} \right| \) = 0, vem:
0 + 4 + p² - 0 - 3p - 2p = 0
p² - 5p + 4 = 0
Pensando em dois números cuja soma é 5 e o produto 4, vem:
p' = 1 e p" = 4
Os pontos A(3, 2), B(-1, 4) determinam uma reta r. Determine o ponto em que a reta r intercepta o eixo das abscissas.
Solução
Chamando o ponto de intersecção com o eixo das abscissas (eixo x) de P, tem-se P(x, 0).
Como A, B e P pertencem à mesma reta, , eles estão alinhados. Pela condição de alinhamento:
\( \left| \begin{array}{ccc} x_A & y_A & 1 \\ x_B & y_B & 1 \\ x_P & y_P & 1 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 1 \\ -1 & 4 & 1 \\ x & 0 & 1 \end{array} \right| \) = 0
Desenvolvendo o determinante, vem:
12 + 2x + 0 - 4x - (-2) - 0 = 0
14 - 2x = 0
x = 7
Logo, o ponto que intercepta o eixo x é P(7, 0)
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