Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo desse plano é uma constante positiva.
ELEMENTOS DE UMA CIRCUNFERÊNCIA
Numa circunferência de centro O e raio r, tem-se os seguintes elementos:
onde:
Reta tangente: Uma reta é tangente a uma circunferência quando a reta e a circunferência têm apenas um ponto comum. Esse ponto é chamado de ponto de tangência.
A distância entre a reta e o centro da circunferência é igual ao raio da circunferência.
d = r
Reta secante: Uma reta é secante a uma circunferência quando a reta e a circunferência têm dois pontos (distintos) comuns.
A distância entre a reta e o centro da circunferência é menor que o raio da circunferência.
d < r
Reta exterior: Uma reta é exterior a uma circunferência quando a reta e a circunferência não têm ponto comum.
A distância entre a reta e o centro da circunferência é maior que o raio da circunferência.
d > r
Propriedades:
Se um quadrilátero convexo está inscrito numa circunferência, então os ângulos opostos são suplementares.
α + γ = 180º e β + δ = 180º
Se um quadrilátero convexo está circunscrito a uma circunferência, então a soma das medidas de dois lados opostos é igual a soma das medidas dos outros dois.
AB + CD = AD + BC
Considere o quadrilátero convexo ABCD inscrito na circunferência de centro O.
Calcule x e y.
Solução
x + 105º = 180º ⇔ x = 180º - 105º ⇔ x = 75º
y + 60º = 180º ⇔ y = 180º - 60º ⇔ y = 120º
O quadrilátero convexo ABCD está circunscrito à circunferência de centro O. Admitindo-se AB = 2x + 3, BC = 5x, CD = 4x + 1 e AD = 3x, calcule o valor de x e a medida do lado AB.
Solução
De acordo com o enunciado, tem-se a seguinte figura:
Como AB + CD = AD + BC, vem:
AB + CD = AD + BC ⇔ 2x + 3 + 4x + 1 = 3x + 5x ⇔ 6x + 4 = 8x ⇔ x = 2
Como AB = 2x + 3, vem:
AB = 2x + 3 = 2(2) + 3 ⇔ AB = 7
Duas circunferências são tangentes quando possuem um único ponto comum. Elas podem ser tangentes exteriores ou interiores.
Propriedade: Quando duas circunferências são tangentes, seus centros e o ponto de tangência estão sempre alinhados (são os pontos C\(_1\), C\(_2\) e T na figura anterior).
Duas circunferências são tangentes e seus raios medem 9cm e 4cm. Calcule a distância entre os centros das circunferências.
Solução
Tem-se dois casos:
1º caso: d = 9 - 4 = 5cm
2º caso: d = 9 + 4 = 13cm
PONTO INTERIOR À CIRCUNFERÊNCIA
Se em uma circunferência duas cordas \( \overline{AB} \) e \( \overline{CD} \) concorrem em um ponto P, então:
PA ∙ PB = PC ∙ PD
Cada um dos produtos PA ∙ PB e PC ∙ PD é chamado de potência do ponto P.
PONTO EXTERIOR À CIRCUNFERÊNCIA
Se duas retas secantes r e s, concorrentes em P, interceptam uma circunferência em A, B, C e D, conforme a figura abaixo, então:
PA ∙ PB = PC ∙ PD = PT²
Cada um dos produtos PA ∙ PB e PC ∙ PD é chamado de potência do ponto P.
ÂNGULO CENTRAL
É um ângulo cujo vértice é o centro da circunferência.
Na figura, o arco AB é chamado arco correspondente do ângulo central. A medida, em graus ou radianos, de um ângulo central é a medida do seu arco correspondente.
ÂNGULO INSCRITO
É um ângulo cujo vértice pertence a essa circunferência e cada lado é secante à mesma.
Na figura, o arco AB é chamado arco correspondente do ângulo inscrito. A medida, em graus ou radianos, de um ângulo inscrito é a metade da medida do arco correspondente.
ÂNGULO DE SEGMENTO
É um ângulo que tem o vértice numa circunferência, um lado é secante e o outro é tangente à circunferência.
Na figura, o arco AB é chamado arco correspondente. A medida, em graus ou radianos, de um ângulo segmento é a metade da medida do arco correspondente.
Determine x na figura abaixo sabendo que O é o centro da circunferência.
Solução
x = 2 (76º) = 152º
Determine x na figura abaixo sabendo que O é o centro da circunferência.
Solução
(68º + 102º)/2 = 170º/2 = 85º
x + 85º = 180º ⇔ x = 180º - 85º = 95º
Determine x na figura abaixo sabendo que O é o centro da circunferência.
Solução
(106º + 38º)/2 = 68º/2 = 34º
Todas as circunferências são semelhantes entre si, por isso, a razão entre a medida c do comprimento de uma circunferência e a medida d de seu diâmetro é constante. Essa constante é um número irracional (3,14159265...) e é representado pela letra grega π (pi).
\( \dfrac{c}{d} = \dfrac{c}{2r} \) = constante = π
Logo, o comprimento de uma circunferência é o produto da medida de seu diâmetro pela constante π.
c = 2 ∙ π ∙ r
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