Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo desse plano é uma constante positiva.

ELEMENTOS DE UMA CIRCUNFERÊNCIA

Numa circunferência de centro O e raio r, tem-se os seguintes elementos:

ELementos de uma circunferência

onde:

  • \( \overline{AO} \) ... raio = r
  • \( \overline{AB} \) ... diâmetro = 2 r
  • \( \overline{CD} \) ... corda
  • CMD ... arco

Reta tangente: Uma reta é tangente a uma circunferência quando a reta e a circunferência têm apenas um ponto comum. Esse ponto é chamado de ponto de tangência.

Reta tangente à circunferência

A distância entre a reta e o centro da circunferência é igual ao raio da circunferência.

d = r

Reta secante: Uma reta é secante a uma circunferência quando a reta e a circunferência têm dois pontos (distintos) comuns.

Reta secante à circunferência

A distância entre a reta e o centro da circunferência é menor que o raio da circunferência.

d < r

Reta exterior: Uma reta é exterior a uma circunferência quando a reta e a circunferência não têm ponto comum.

Reta exterior à circunferência

A distância entre a reta e o centro da circunferência é maior que o raio da circunferência.

d > r

Propriedades:

  • Se uma reta é tangente a uma circunferência, então a reta é perpendicular ao raio da circunferência no ponto de tangência.
  • A partir de um ponto fora de uma circunferência é possível traçar duas retas tangentes à circunferência. Os comprimentos dos segmentos dessas tangentes, com extremidades nesse ponto e nos pontos de tangência, são iguais.
  • Se uma circunferência é tangente a duas retas concorrentes, então seu centro pertence à bissetriz do ângulo formado por essas duas retas.

Se um quadrilátero convexo está inscrito numa circunferência, então os ângulos opostos são suplementares.

Quadrilátero inscrito à circunferência

α + γ = 180º e β + δ = 180º

Se um quadrilátero convexo está circunscrito a uma circunferência, então a soma das medidas de dois lados opostos é igual a soma das medidas dos outros dois.

Quadrilátero circunscrito à circunferência

AB + CD = AD + BC

Considere o quadrilátero convexo ABCD inscrito na circunferência de centro O.

Exercício resolvido de quadrilátero inscrito

Calcule x e y.

Solução

x + 105º = 180º ⇔ x = 180º - 105º ⇔ x = 75º

y + 60º = 180º ⇔ y = 180º - 60º ⇔ y = 120º

O quadrilátero convexo ABCD está circunscrito à circunferência de centro O. Admitindo-se AB = 2x + 3, BC = 5x, CD = 4x + 1 e AD = 3x, calcule o valor de x e a medida do lado AB.

Solução

De acordo com o enunciado, tem-se a seguinte figura:

Exercício resolvido de quadrilátero circunscrito

Como AB + CD = AD + BC, vem:

AB + CD = AD + BC ⇔ 2x + 3 + 4x + 1 = 3x + 5x ⇔ 6x + 4 = 8x ⇔ x = 2

Como AB = 2x + 3, vem:

AB = 2x + 3 = 2(2) + 3 ⇔ AB = 7

Duas circunferências são tangentes quando possuem um único ponto comum. Elas podem ser tangentes exteriores ou interiores.

Propriedade: Quando duas circunferências são tangentes, seus centros e o ponto de tangência estão sempre alinhados (são os pontos C\(_1\), C\(_2\) e T na figura anterior).

Duas circunferências são tangentes e seus raios medem 9cm e 4cm. Calcule a distância entre os centros das circunferências.

Solução

Tem-se dois casos:

  • 1º caso: As circunferências podem ser tangentes interiores
  • 2º caso: As circunferências podem ser tangentes exteriores

1º caso: d = 9 - 4 = 5cm

2º caso: d = 9 + 4 = 13cm

PONTO INTERIOR À CIRCUNFERÊNCIA

Se em uma circunferência duas cordas \( \overline{AB} \) e \( \overline{CD} \) concorrem em um ponto P, então:

PA ∙ PB = PC ∙ PD

Cada um dos produtos PA ∙ PB e PC ∙ PD é chamado de potência do ponto P.

PONTO EXTERIOR À CIRCUNFERÊNCIA

Se duas retas secantes r e s, concorrentes em P, interceptam uma circunferência em A, B, C e D, conforme a figura abaixo, então:

PA ∙ PB = PC ∙ PD = PT²

Cada um dos produtos PA ∙ PB e PC ∙ PD é chamado de potência do ponto P.

ÂNGULO CENTRAL

É um ângulo cujo vértice é o centro da circunferência.

Na figura, o arco AB é chamado arco correspondente do ângulo central. A medida, em graus ou radianos, de um ângulo central é a medida do seu arco correspondente.

ÂNGULO INSCRITO

É um ângulo cujo vértice pertence a essa circunferência e cada lado é secante à mesma.

Na figura, o arco AB é chamado arco correspondente do ângulo inscrito. A medida, em graus ou radianos, de um ângulo inscrito é a metade da medida do arco correspondente.

ÂNGULO DE SEGMENTO

É um ângulo que tem o vértice numa circunferência, um lado é secante e o outro é tangente à circunferência.

Na figura, o arco AB é chamado arco correspondente. A medida, em graus ou radianos, de um ângulo segmento é a metade da medida do arco correspondente.

Determine x na figura abaixo sabendo que O é o centro da circunferência.

Solução

x = 2 (76º) = 152º

Determine x na figura abaixo sabendo que O é o centro da circunferência.

Solução

(68º + 102º)/2 = 170º/2 = 85º

x + 85º = 180º ⇔ x = 180º - 85º = 95º

Determine x na figura abaixo sabendo que O é o centro da circunferência.

Solução

(106º + 38º)/2 = 68º/2 = 34º

Todas as circunferências são semelhantes entre si, por isso, a razão entre a medida c do comprimento de uma circunferência e a medida d de seu diâmetro é constante. Essa constante é um número irracional (3,14159265...) e é representado pela letra grega π (pi).

\( \dfrac{c}{d} = \dfrac{c}{2r} \) = constante = π

Logo, o comprimento de uma circunferência é o produto da medida de seu diâmetro pela constante π.

c = 2 ∙ π ∙ r

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