Fatorar significa transformar uma expressão na forma de produto de fatores. Por exemplo:
A expressão ax + bx possui duas parcelas: ax e bx. O x aparece nas duas parcelas. Logo, pode ser colcado em evidência:
ax + bx = x (a + b). Desse modo, a expressão ax + bx foi transformada na forma de produto de fatores: x e (a + b).
A seguir estão os principais casos de fatoração.
Fator comum:
ax + bx = x (a + b)
Exemplos:
Agrupamento:
ax + bx + ay + by = (x + y) (a + b)
Exemplo:
Diferença de dois quadrados:
\( a^2 – b^2 \) = (a + b) (a – b)
Exemplo:
Trinômio quadrado perfeito:
\( a^2 + 2 a b + b^2 = (a + b)^2 \)
\( a^2 - 2 a b + b^2 = (a - b)^2 \)
Soma de dois cubos:
\( a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 – a b + b^2) \)
Diferença de dois cubos:
\( a^3 – b^3 = (a – b) (a^2 + a b + b^2) \)
A tabela apresenta os casos de fatoração vistos acima:
| Fator comum | ax + bx = x (a + b) |
| Agrupamento: | ax + bx + ay + by = (x + y) (a + b) |
| Diferença de dois quadrados | \( a^2 – b^2 \) = (a + b) (a – b) |
| Trinômio quadrado perfeito (soma) | \( a^2 + 2 a b + b^2 = (a + b)^2 \) |
| Trinômio quadrado perfeito (diferença) | \( a^2 - 2 a b + b^2 = (a - b)^2 \) |
| Soma de dois cubos: | \( a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 – a b + b^2) \) |
| Diferença de dois cubos: | \( a^3 – b^3 = (a – b) (a^2 + a b + b^2) \) |
Fatorar as expressões
Solução
a) \( 2ab^3 - 6a^2b^2 \) = \( 2ab^2 (b - 3a) \)
b) ax + a - bx - b = a (x + 1) - b (x + 1) = (x + 1) (a - b)
c) \( (a - b)^2 - (b - c)^2 \) = [(a - b) + (b - c)] [(a - b) - (b - c)] = (a - b + b - c) (a - b - b + c) = (a - c) (a - 2b + c)
d) \( x^6 - 1 \) = \( \left(x^3\right)^2 - 1^2 \) = \( (x^3 + 1) (x^3 - 1) \) = (x + 1) (x\(^2\) - x + 1) (x - 1) (x\(^2\) + x + 1) (x\(^2\) - 1) (x\(^2\) - x + 1) (x\(^2\) + x + 1)
Nos casos em que o denominador de uma fração for um número irracional, pode-se utilizar técnicas para transformar a fração em outra equivalente cujo denominador seja racional.
As principais são apresentadas na tabela.
| Frações do tipo | O que fazer | Exemplos |
|---|---|---|
| \( \dfrac{a}{\sqrt{b}} \) | Multiplicar o numerador e denominador por \( \sqrt{b} \) | \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) = \(\dfrac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}\) = \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) |
| \( \dfrac{a}{\sqrt[n]{b^m}} \) | Multiplicar o numerador e denominador por \( \sqrt[n]{b^s} \) de modo tal que m + s = n | \(\dfrac{2}{\sqrt[5]{3}}\) = \(\dfrac{2 \cdot \sqrt[5]{3^4}}{\sqrt[5]{3} \cdot \sqrt[5]{3^4}}\) = \(\dfrac{2 \sqrt[5]{81}}{\sqrt[5]{3^5}}\) = \(\dfrac{2 \sqrt[5]{81}}{3}\) |
| \( \dfrac{a}{\sqrt{b} \pm \sqrt{c}} \) | Multiplicar o numerador e denominador por \( \sqrt{b} \pm \sqrt{c} \) | \(\dfrac{2}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}\) = \(\dfrac{2 (\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})}\) = \(\dfrac{2 (\sqrt{3} - \sqrt{2})}{\sqrt{3}^2 - \sqrt{2}^2}\) = \(\dfrac{2 (\sqrt{3} - \sqrt{2})}{3 - 2}\) = \(2 (\sqrt{3} - \sqrt{2})\) |
Racionalize os denominadores das seguintes frações
Solução
a) \(\dfrac{5}{\sqrt[4]{3}}\) = \(\dfrac{5 \cdot \sqrt[4]{3^3}}{\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{3^3}}\) = \(\dfrac{5 \sqrt[4]{27}}{\sqrt[4]{3^4}}\) = \(\dfrac{5 \sqrt[4]{27}}{3}\)
b) \(\dfrac{3}{2\sqrt{3} + 1}\) = \(\dfrac{3 (2\sqrt{3} - 1)}{(2\sqrt{3} + 1) (2\sqrt{3} - 1)}\) = \(\dfrac{3 (2\sqrt{3} - 1)}{(2\sqrt{3})^2 - 1^2}\) = \(\dfrac{3 (2\sqrt{3} - 1)}{4 \cdot 3 - 1}\) = \(\dfrac{3 (2\sqrt{3} - 1)}{11}\)
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