Considere o triângulo ABC, retângulo em A.
Sabemos que b e c são catetos (lados adjacentes ao ângulo reto) e a é a hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto).
O seno de um ângulo é dado por:
Seno de um ângulo = \( \dfrac{cateto \ oposto \ a \ este \ angulo}{hipotenusa} \)
O cosseno de um ângulo é dado por:
Cosseno de um ângulo = \( \dfrac{cateto \ adjacente \ a \ este \ angulo}{hipotenusa} \)
A tangente de um ângulo é dada por:
Tangente de um ângulo = \( \dfrac{seno \ deste \ angulo}{ cosseno \ deste \ angulo } = \dfrac{cateto \ oposto \ a \ este \ angulo}{ cateto \ adjacente \ a \ este \ angulo } \)
Chamando o ângulo B de α e o ângulo C de β no triângulo acima, temos as seguintes relações trigonométricas:
Para o ângulo α:
sen α = \( \dfrac{b}{a} \) cos α = \( \dfrac{c}{a} \) tg α = \( \dfrac{b}{c} \)
Para o ângulo β:
sen β = \( \dfrac{c}{a} \) cos β = \( \dfrac{b}{a} \) tg β = \( \dfrac{c}{b} \)
Podemos observar que o seno de um ângulo é igual ao cosseno do seu complemento e que a tangente de um ângulo é igual ao inverso da tangente do seu complemento.
Determine a hipotenusa BC e o cateto AC de um triângulo retângulo sabendo que o lado AB mede 2 e o ângulo oposto ao lado AB mede 30º.
Solução
sen 30º = \(\dfrac{AB}{BC}\) ⇔ \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{BC}\) ⇔ BC = 2 ∙ 2 = 4
tg 30º = \(\dfrac{AB}{AC}\) ⇔ \(\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{AC}\) ⇔ AC = \(\dfrac{6}{\sqrt{3}}\) = \(\dfrac{6}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) = \(\dfrac{6 \sqrt{3}}{3}\) = 2\(\sqrt{3}\)
Determine os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 8 e um dos ângulos mede 30º.
Solução
Sejam x e y os catetos desse triângulo.
sen 30º = \(\dfrac{x}{8}\) ⇔ \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{x}{8}\) ⇔ x = 4
cos 30º = \(\dfrac{y}{8}\) ⇔ \(\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{y}{8}\) ⇔ y = 4\(\sqrt{3}\)
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